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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,廿一世紀數學展望,丘成桐教授,浙江大学,哈佛大学,六月二十五日,1/52,數學,社會現象,工程現象,物理現象,2/52,社會現象,經濟,金融,保險,估值,病歷調查生物統計調查,城市規劃人口流動人口調查民意調查,文獻整理歷史研究,訊息科學網絡科學,3/52,工程現象,計算機科學，圖像識別，密碼問題,半導体，量子工程學，分子結構,固体科學,軟体結構,材料力學,結構理論,地質結構,流体科學,血液流問題,氣象科學,Fusion,熱力學,油管科學,航空，航天,湍流問題,海洋,大氣,太空,4/52,物理現象,弦理論,量子多体問題,多体問題,古典力學,電磁理論,廣義相對論,量子力學,量子場論,基本粒子,統一場論,5/52,數學和工程科學乃是社會科學基礎,理論物理乃是工程科學基礎,數學乃是理論物理基礎,6/52,人類科技愈進步愈能發現新現象,種種繁複現象使人極度迷惘,(比如：湍流問題、黑洞問題,),不过主宰全部現象變化只是幾個小數基,本定律。,Standard model(,標準模型,),統一了三個基本場：電磁場、弱力、強力,不过重力場和這三個場還未統一,7/52,重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和,牛頓力學統一理論而形成。,這是愛因斯坦最富有想像力偉大創作。,愛因斯坦方程是,其中,g,ij,是測度張量（引力場）,T,ij,是物質張量,R,ij,是,Ricci,曲率張量,8/52,弦理論企圖統一重力場和其它全部場。,在廿一世紀，基本數學會碰到同樣挑戰：,基本數學大統一，只有在各門分支大統一,時，全部分支才會放出燦爛火花。,每一門學問才會得到本質上瞭解。,9/52,數學大統一將會比物理大統一來得基,本，也將由統一場論孕育而出。,近代弦論發展已經成功將,微分幾何,代數幾何,群表示理論,數論,拓樸學,相當主要部份統一起來。數學已經由此得,到豐富果實。,10/52,大自然提供了極為主要數學模型，以,上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出,來，不过數學家卻能够用自己想像，在,觀察基礎上創造新結構。,成功新數學結構往往是幾代數學家,共同努力得出结果，也往往是數學中幾,個不一样分支合併出來火花。,Andrew Wiles,工作是,Elliptic curve,和,A,utomorphic form,Representation theory,大合併。,11/52,幾何和數字,(,尤其是整數,),可說是數學裏最,直觀對象，所以在大統一中起着最要緊,作用。,廿世紀數論學家通過代數幾何方法,已經將整數方程一部份與幾何結合，群表,示理論亦逐漸與數論和幾何學結合。,每次進步都有結構性變化,比如算術幾,何產生。,12/52,在這廿年間，拓樸學和幾何已經融合。,三維空間和四維空間研究非懂幾何不,可。,Thurston,猜測，是在三維空間上引用,幾何結構，這些創作新結構理論有劃時代,主要性，正等如十九世紀引用,Rieman,surface,概念一樣主要。,13/52,分析和幾何亦逐漸融合，到当前為止，,微分方程在複幾何和拓撲學上有傑出貢,獻。通過分析方法，陳氏類，Hodge理論，,Atiyah-Singer指標定理和我們在復流型上搆,造Kahler-Einstein度量，在代數幾何中解決,了主要問題。最近HamiltonRicci Flow通,過Perelman工作可能解決Thurston猜,想。,14/52,在四維空間上，,Donaldson,利用,Taubes,，,Uhlenbeck,規範場上存在性定理得到四維,拓撲突破。,上述工作和,Donaldson-Uhlenbeck-Yau,在,Yang-Mills,工作都與弦理論息息相關。,事實上弦理論提供了極為主要訊息，使,得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理,論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深,入暸解。,15/52,在二十一世纪数学里，三维双曲空间会变得如黎曼曲面一样主要，数学会进入一个盡情享受低维空间特殊性质局面，在代数几何上，二维、三维和四维流型将会有更彻底了解。,我们希望Hodge猜测会得到圆满处理，从而得知一个拓扑子流型什么时候能够由代数子流型来表示。一样问题也适合用于Vector burdle上。由弦理论得到启示，有些特殊子流形或可代替换数流型。,16/52,現在舉一個理論物理，數學和應用科學,上共同而主要問題：,基本物理上,Hierachy,問題，是一個,Scale,問題。,引力場和其它力場,Scale,相差極遠，,怎样統一，怎样解釋？,在古典物理，微分方程，微分幾何和各,類分析中亦有不一样,Scale,怎样融合問題。,在統計物理和高能物理中，用到所謂,renormalization group,方法，是非穩定,系統一個主要工具。,17/52,怎样用基本方法去處理不一样,Scale,是應,用數學中一個主要問題。,純數學將會是處理不一样度量主要工,具。而事實上，純數學本身亦有不一样度量,問題。,在微分方程，或微分幾何碰到奇異點或,在研究漸近分析時，,Blowing up,分析是一個,很主要工具，而這種,Blowing up,工具亦,是代數幾何中最有效工具。,18/52,在非綫性微分方程中，我們需要更進一步做定,性和定量分析來研究由,Blowing up,得出来結,果，所以對不一样,scale,量得到進一步認識。,微分幾何張量分析,(,曲率張量,),在,multiscale,分,析中應該會有主要應用，因為即使在同一點上，有,不一样方向變化，而此種變化亦應當受到scale影,响。,當一個圖,(graph),迫近一個幾何圖形或微分方程,解時，,multiscale,分析極為主要，怎样解決這些問,題無論在純數學和應用數學都是主要問題，我希望,研究離散數學學者亦注意到這一點。,19/52,近代弦論發現有不一样量子場論能够相互,同構,(,isomorphic,),然而,scale,剛好相反,所以一個強,Coupling Constant,理論可,以同另一個弱,Coupling Constant,理論,同構，而後者能够從漸近分析理論來計,算。,20/52,由於,R,這種奇妙對稱能够保持量子場論結構，使得我們能够用擾動性（,perturbation analysis,）方法去計算非擾動場論，在數學上得到驚人結果。,更要注意到一點是時空結構可能所以有基本上觀念改變。極小空間不再有意義。時空量子化描述需要更進一步探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到目標但已得到美妙數學現象。,21/52,約在兩百年前，,Gauss,發現,Gauss,曲率觀念而了解到內蘊幾何時，就感歎到空間觀念與時而變，和人類對大自然瞭解有亲密關係。,這二十年來，超對稱觀念深深地影響著基本物理和數學發展，在實驗上雖然还未發現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝能力，我們寧可相信在極高能量時，超對稱確實存在，但怎样对待超對稱在現實時空中殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學一個主要命題。,22/52,舉例來說，在超對稱結構中，規範場和電磁場會與完全不相關子流形理論同構，是否意味著這種日常能見場論能够用不一样手法來處理？,種種不一样現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂,Arakelov,理論中，除了在複數上定義代數空間外，還需要考慮特微為,p,代數空間，才能夠對算術空間有完滿瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題？由此观之，数论上,L,函数和Birch-Swinnerton-Dyer猜测有没有其它解释？,现在用一个简单例子来解释上述,duality,现象。,23/52,例子：,Laplace,算子,我們要求 在 上定義，,24/52,Z,n,是一個,lattice,R,n,而,l,必定要在這個,lattice,對偶中,(Z,n,)*,對偶是,這個對偶在弦論中起相當重要作用。,在,Fourier,分析和數論中也已得主要發揮。,25/52,在,L,2,(T),上譜,(Spectrum),是,它譜分解全部能够算出,假如,f,：,R,R,則,假如我們有辦法用分析方法算出,f(),，則可,以得到,trace formula,26/52,舉例來說,f,(,x,)=,exp,(,tx,),exp,(,t,),核函數能够算出為,所以,27/52,Poisson formula：,數論上基本公式！,Trace formula,Automorphic form,群表示理論,數論,28/52,這個,Torus,對偶正是弦理論對偶基礎，現代數論一個最主要環節叫,Langlands,理論，也有對偶問題，與代,數幾何和表示理論有亲密關係。希望能夠與這一系列想法也掛鈎。,29/52,Symmetry(,對稱,),群觀念,小群：,如鏡對稱,如雪花對稱,連續群,(,李群,),：,物理上用途,非緊離散群：,在數論和幾何上用途,無限維對稱：,規範場中規範群,種種不一样對稱觀唸,在廿世紀後半期理論科學有基本貢,獻。,Dulality,比,Symmetry,更廣義，不一样理論基本同構將是廿,一世紀一個主要命題。,30/52,對稱觀念可說是基本科學中最基本工具，,不过,運用之妙,存乎一心,在于作者經驗和直觀。,廿一世紀基本科學基本命題：怎样將對稱,物理基本現象與非對稱世界聯合？,Symmetry breaking,眾生色相,何由而生？,基本物理定律是,Time Symmetric,，為何我,們擔憂時光消逝？因为直觀世界是,Time Symmetric,。由Time Symmetric定律來解釋直觀世界是現,代數學和物理一個主要問題。,31/52,熱力第二基本定理說,Randomness,隨時間而增,Entropy increase with time,這是一個奇妙定理，到如今還未得到徹底,瞭解。,時間箭咀在廣義相對論中是一個主要題,目。,Roger Penrose,和,Hawking,都花了很多時間討,論。這是因為Einstein方程對時間來說是對稱，然,而在現實世界，時間是不對稱。,熵研究在現代物理和現代數學都起了極重,要作用。,32/52,湍流問題，將是其中一個例子。,流体力学中奇异点和boundary,layer,都需要,大量理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解,释。,在某種意義下，基本方程式或基本物理現,象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。,但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産,生，同時起着無比主要性。,波浪重疊，最後產生能够是極為光滑,波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一,切分析和應用數學精華。,33/52,Superpositio,n是線性方程特微，在研究非線,性integrabl,e方程時，也由非線,性Superpositio,n，普通而言，我們有沒有辦法由少數解來產生新解是一個主要問題。非線性現象是二十一世紀研究物件。,34/52,由Stationary物理現象到Dynamical物理現象，我們會碰到極為困扰而又刺激數學問題。在方程觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型方程組，有極度睏難奇異點處理問題，在物理上有震波處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。,35/52,高維空間非綫性波和各種物理幾何關繫將會影響這幾十年應用數學，其中有孤立子現象，有震波現象，多種粒子在非綫性互動時得出宏觀現象，方程帶有隨機變數時處理將會是應用數學主要題目。,很多古典方法或近代物理方法應當能够應用到離散問題上去。大型網絡極為復雜，怎样有傚傳播訊息，怎样尋找資料，提供暸數學極有意義問題。,36/52,圖像處理和計算幾何更是一個電腦、幾何、組合數學結合好地方，在醫學上有主要貢獻，自動控製論和上述種種應用都會結合，要得到最有傚用途需要數學傢亲密合作。,37/52,在某種意義下，基本方程式或基本,物理現象，用數學形式表達出來時，是用等,式來表達。,但往往在澈底研究這種等式以前，不等,式會産生，同時起着無比主要性。,波浪重疊，最後產生能够是極為光,滑波。怎样控制這種現象要依靠好不等,式。也是一切分析和應用數學精華。,38/52,研究,應用數學方法,Modeling,實驗,數字計算，統計,物理,應用需要,分析,純數學，方程，統計,物理，化學，生物,理論,應用,39/52,當微分方程和幾何和組合數學，真正大,統一時，應用數學會有大進步。,有宏大胸襟數學家會在前進途徑上創,造新結構來因應這個統一使命，來瞭解,不一样數學分枝。,40/52,數學在工業上應用,工業問題，科學觀察實驗,統計，分析處理,理論，模型,計算，程序,應用,預測,控制,優化,仿真,設計,41/52,單靠程序和計算數學即使有短暫生,長力量，不會有深遠影响。,怎样解釋由計算得出來現象，怎样與,物理和工程現象相吻合，怎样利用計算結,果作有意義預測，乃是計算數學目標。,所以理想應用數學家，應該有數學家根,基，有物理學家和工程學家眼光和觸角。,42/52,數學提供應用數學幾個主要工具,概率，隨機分析,組合理論,代數,(Coding,理論,),幾何,(,圖像處理，壓縮,),分析,微分方程,調和分析，Fourier分析,小波分析,動力系統,43/52,由於應用科學產生，全部連續性數,學理論或存在性定理，都有定量迫近問,題，所以產生很多有意義新數學。,物理，生物，化學，工程將會提供大量,有意義問題和新觀念。,好應用數學家需要融合各種科學，,經費不是唯一問題！,44/52,七零年代，應用數學家堅持分家，這是,由於聘請教授觀點不一样和經費收入不一样所,致毛病。,分家結果：,1,、,數學家比較重视純科學命題，尤其理論物理提供了豐富題材和方法，給予數學新生命，雖然搞分析數學和組合數學教授也接觸應用數學，不过接觸並非全方面性，用時往往缺乏應用能力，相反交流也不多。,45/52,在四零年代，五零年代培養出來應用數學家大都,是一流數學家,Von Neumann C.C.Lin,Courant Federich,Stoker Glimm,Lax Keller,Moser,46/52,主要發展應用數學美，研究所為,Courant Instutute,M.I.T.,Caltech.,Stanford,Berkeley，,Yale,47/52,2,、,應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳統數學訓練是无须要。在工業,尤其是電腦工業,和金融企業引誘下，急進猛追，結果優秀學生捨本逐利，年青應用數學隊伍很難建立起來。,48/52,分析,微分方程,數學,幾何,代數幾何,數論,組合數學,統計,49/52,統計物理,物理學,古典力學,量子物理,廣義相對論,計算數學,工業界顧問,50/52,時空統一頌,時乎時乎逝何如此,物乎物乎繁何如斯,弱水三千豈非同源,時空一体心物互存,時兮時兮時不再嶼,天兮天兮天何多容,亙古恒遷黑洞融融,時空一体其無盡耶,大哉大哉宇宙之謎,美哉美哉真理之源,時空量化智者無何,管測大塊學也洋洋,51/52,Thank You All!,52/52,
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