2021北京高三(上)期中数学汇编：解三角形.docx

2021北京高三（上）期中数学汇编
解三角形
一、单选题
1．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（    ）
A．可能是锐角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于
2．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）在中，若，则边a的大小为（    ）
A． B． C． D．或
3．（2021·北京·东直门中学高三期中）在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（    ）
A． B． C．1 D．
4．（2021·北京市第五中学通州校区高三期中）在中，，则（    ）
A． B． C．6 D．5
5．（2021·北京四中高三期中）在中，“”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．（2021·北京朝阳·高三期中）能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组A，B的值是___________.
7．（2021·北京市丰台区新北赋学校高三期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinC＝2sinA，b2﹣a2ac，则sinB等于_____．
8．（2021·北京市丰台区新北赋学校高三期中）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
9．（2021·北京市第三十五中学高三期中）在中，，，，则_________．
三、双空题
10．（2021·北京市第四十三中学高三期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 若，，，则边c=_______，ABC的面积等于_______
11．（2021·北京市第三中学高三期中）在中，，，则________；________.
12．（2021·北京·东直门中学高三期中）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.
四、解答题
13．（2021·北京四中高三期中）如图，在四边形中，，且,．

(1)求的长；
(2)若 ，求的面积．
从①，②，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
14．（2021·北京朝阳·高三期中）在中，角，，的对边分别为，，，，，.
(1)求及的值；
(2)求边上的高.
15．（2021·北京十四中高三期中）在△ABC中，，，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，条件①：；条件②：.求：
(1)的值；
(2)△ABC的面积.
16．（2021·北京海淀·高三期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.
第①组条件：，；
第②组条件：，；
第③组条件：边上的高，.
17．（2021·北京市第二十二中学高三期中）已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；②；③；④．
（1）指出这三个条件，并说明理由；
（2）求出的面积．
18．（2021·北京·东直门中学高三期中）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件①：；
条件②：的周长为；
条件③：的面积为；
19．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）角的大小和的面积.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①､条件②分别解答，按第一个解答计分.
20．（2021·北京市第四十三中学高三期中）在中，，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的面积.
条件①：.条件②：；条件③：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（2021·北京市丰台区新北赋学校高三期中）在中，，.
（1）若的面积为，求的值；
（2）求的值.
22．（2021·北京市房山区良乡中学高三期中）在中，若、、分别是内角、、的对边，已知同时满足下列个条件中的个：①；②；③；④ ．
（1）请指出这个条件，并说明理由；
（2）求．
23．（2021·北京一七一中高三期中）已知锐角，同时满足下列四个条件中的三个：
①②③④
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求的面积.
24．（2021·北京市第十五中学南口学校高三期中）在中，已知.
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积.
25．（2021·北京·新农村中学高三期中）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
26．（2021·北京师大附中高三期中）在中，已知，，
     （Ⅰ）若ac=5，求的面积；
（Ⅱ）若为锐角，求的值．
27．（2021·北京通州·高三期中）如图，在中， ， ， ，点 在边 上，且 ．

（1）求；
（2）求线段的长．

参考答案
1．D
【分析】首先列出所有能够围成三角形的三边组合，再分类讨论利用余弦定理计算即可．
【详解】从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根有，，，，，，，，，共10种取法，
其中能够围成三角形的有，，三种，
若三边为2，3，4，设最大角为，
则，故；
若三边为2，4，5，设最大角为，
则，此时；
若三边为3，4，5，故最大角为直角，
综上所述，D选项正确.
故选：D.
2．D
【分析】利用余弦定理解出即可.
【详解】因为，
所以由余弦定理可得，即，解得或，
当或时，均能构成三角形，
故选：D
3．A
【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】解：，
，由正弦定理可得，
，
，
的面积．
故选：A．
4．B
【分析】由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得；
【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，，
因为
所以，即，解得，
故选：B
5．C
【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.
【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，，
由，可得，，由正弦定理可得.
因此，“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
6．（不唯一）
【分析】根据题意得或，进而只需使得即可.
【详解】解：因为在中，，，
所以或，
所以或，
所以要使“若，则为等腰三角形”为假命题，则需.
所以的值可以是：，此时满足，但不为等腰三角形
故答案为：
7．
【分析】由sinC＝2sinA以及正弦定理得c＝2a，再由b2﹣a2ac得ba,然后由余弦定理可求得,根据同角公式可得.
【详解】由sinC＝2sinA以及正弦定理得c＝2a，
又b2﹣a2ac，得b2﹣a2a×2a＝a2，
即b2＝2a2，则ba，
由余弦定理得cosB，
因为,所以sinB，
故答案为:.
【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.
8．
【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由余弦定理得，
所以，
即
解得（舍去）
所以，

【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．
9．
【详解】由正弦定理，得，即，所以，所以.
考点：正弦定理.
10．          ##1.5
【分析】在ABC中，利用余弦定理求得 ，再由求三角形的面积.
【详解】在ABC中，，，，
由余弦定理得：，
即 ，
解得 ；
所以，
故答案为：3，
11．     6    
【分析】根据的余弦定理列出关于的方程，由此求解出的值；先根据二倍角公式将变形为，然后根据正弦定理以及的值即可计算出的值.
【详解】因为，所以，
所以，所以（舍去），
所以，
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：解本题第二空的关键是通过正弦二倍角公式先转化为单倍角的三角函数，然后结合正弦定理将正弦值之比转化为边长之比，对于公式运用以及转化计算有着较高要求.
12．         
【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.
【详解】，
，即，
，
则，
为钝角，，
，故.
故答案为，.
【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.
13．(1)
(2)选①时：;选②时：
【分析】（1）、根据二倍角的余弦公式求出,再求出,然后利用余弦定理即可求出的长；
（2）、选①时：根据两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，结合三角形面积公式计算即可；
选②时：利用余弦定理求出，结合三角形面积公式计算即可；
（1）由，得,,,
在中，由余弦定理得：,,
（2）选①时:由（1）可知，
，，
在中，,,
;
选②时: 由（1）可知，，
在中，由余弦定理得,,即，，
.
14．(1)
(2)
【分析】(1)根据题意利用余弦定理求出b，进而求出，结合三角函数的同角关系即可得出；(2)设AB边上的高为h，利用三角形的面积公式计算即可.
(1)在中，，
由余弦定理，得，
即，由得，
所以，所以；
(2)设AB边上的高为h，由，
得.
15．(1)
(2)答案见解析
【分析】选择条件①：
（1）在中，由余弦定理可求的值，由正弦定理可求，在中，即可求解的值．
（2）利用三角形的面积公式即可求解．
选择条件②：
（1）利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正弦公式即可求解的值．
（2）在中，由正弦定理可得，结合，可求，的值，根据三角形的面积公式即可求解．
(1)解：选择条件①：
在中，由余弦定理，可得，解得，
由正弦定理，
所以，
因此，在中，，有．
选择条件②：在中，，
因为，则，
又因为，
所以，即．
(2)解：选择条件①：当时，，，则．
选择条件②：在中，由正弦定理，
又因为，
所以，，由余弦定理，可得，解得或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，满足条件，所以．
16．(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）结合正弦定理边化角可直接求解；
（2）若选①结合余弦定理求得不唯一；若选②，由固定可确定唯一，结合第三角公式求得，再由正弦面积公式即可求解；若选③，由正弦定理可求得，结合余弦定理可求得，再由正弦面积公式即可求解.
(1)（1）由，因为，化简得，
(2)若选①，则，，，由余弦定理可得，代入数据化简得或3，根据大边对大角原则判断，或3都成立，故选①不成立；
若选②，则，，，求得，由正弦定理可得，解得，由，
因为，，唯一，则唯一，三角形存在且唯一确定，；
若选③，由边上的高可得，解得，又，由余弦定理可得，代值化简得或（舍去），三角形存在且唯一确定，
17．（1）同时满足①③④，理由见解析；（2）.
【分析】（1）通过三角形得内角和可判断不能同时满足①②，，则可判断能同时满足③④，在利用大边对大角判断出②不能与③④同时满足，即可得出答案；
（2）利用余弦定理求出边，再利用三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】解：（1）同时满足①③④，
若同时满足①②，
因为，，所以，
所以，与矛盾，所以①②不能同时满足，只能同时满足③④，
又，所以，故不满足②，
所以同时满足①③④；
（2）由，得，
解得或（舍去），所以，
所以.
18．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
19．（1）；（2），
【分析】选择①：
（1）本题可根据求出的值；
（2）本题首先可根据求出的值，然后根据求出角，最后通过三角形面积公式即可得出结果.
选择②：
（1）本题首先可根据、求出、的值，然后根据即可求出的值；
（2）本题首先可通过求出的值，然后通过求出的值，最后通过三角形面积公式即可得出结果.
【详解】选择①：
（1）因为，，，
所以，即，
整理得，解得或（舍去），故.
（2）因为，，
所以,.
选择②：
（1）因为，，，，
所以，
因为，所以，即，解得.
（2）因为，，，，
所以
，
因为，，所以，
.
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，考查正弦定理、余弦定理、解三角形面积公式的应用，考查诱导公式以及两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，是中档题.
20．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】选择条件①： （Ⅰ）在中，根据，则，结合,，利用余弦定理求解.   
（Ⅱ）由（I）可知，，，，有，则，然后由求解.
选择条件②：，（Ⅰ）在中，根据,,，利用正弦定理求解.
（Ⅱ）在中，由，结合求解.
选择条件③：（Ⅰ）在中，利用余弦定理求解.   
（Ⅱ）由（I）知或时，结合，，由求解.
【详解】选择条件①：
（Ⅰ）在中，
因为，   
所以.
因为,.
根据余弦定理：，
得，
整理，得，
由于，
所以 .   
（Ⅱ）由（I）可知，.
因为，，
所以.
所以.
因此，是直角三角形.
所以.
选择条件②：.
（Ⅰ）在中，
因为 ,,.
根据正弦定理： ，
所以.
（Ⅱ）在中，
因为.
所以.
所以.  
选择条件③：
（Ⅰ）在中，由余弦定理：，
得，
整理得，
解得或.   
（Ⅱ）由（I）可知：
当时，，，
所以
当时，，，
所以.
【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
21．（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理可得，根据可求得，利用面积公式即可求出；
（2）由余弦定理即可求出.
【详解】解：（1）由正弦定理得：.
因为，所以.
因为，，
所以，
因为，所以，
所以，所以；
（2）由（1）知，
因为，
所以，
所以，所以.
22．（1）满足①，③，④；理由见解析；（2）.
【分析】（1）若同时满足①，②,由已知条件和余弦定理可得，矛盾，所以只能同时满足③，④，再根据大边对大角可知满足①，即得答案.
（2）由正弦定理得到，即得，再由结合两角和的正弦公式可得答案.
【详解】（1）同时满足条件①，③，④．
理由如下：
若同时满足①，②．
因为，且，所以，即
因为，且，所以
所以，矛盾
所以只能同时满足③，④．
因为，所以，故不满足②
故满足①，③，④
（2）在中，，，
由正弦定理知：，所以
又因为，所以，
所以.
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查两角和的正弦公式，考查分析推理能力，属于中档题.
23．（1）同时满足①，②，③，理由见解析.（2）
【分析】（1）判断三角形的满足条件，推出结果即可.
（2）利用余弦定理求出，利用面积公式求解的面积.
【详解】（1）同时满足①，②，③.
理由如下：
若同时满足①，④，则在锐角中，
，所以
又因为，所以
所以，这与是锐角三角形矛盾，
所以不能同时满足①，④，
所以同时满足②，③.
因为所以若满足④.
则，则 ，这与是锐角三角形矛盾.
故不满足④.
故满足①，②，③.
（2）因为，
所以.
解得或.
当时，
所以为钝角，与题意不符合，所以.
所以的面积.
【点睛】本题主要考查解三角形中余弦定理的应用及面积公式的应用，属于中档题目.
24．（1）（2）
【解析】（1）由正弦定理可得，求得，即可求解的大小；
（2）由正弦定理，可得，得到，进而得到，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，所以，所以，即，
又因为，所以.
（2）由正弦定理，可得，
又因为，所以，所以.
所以的面积.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
25．（1）；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；
（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题设知，，所以；
（2）由题设及（1）知，.
在中，由余弦定理得
.
所以.
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.
26．（Ⅰ）2;（Ⅱ）．
【详解】试题分析：第一问该题是有关解三角形问题，第一问根据题中的条件，结合同角正余弦平方和等于，从而求得，利用正弦定理，结合题中的条件，求得，利用三角形的面积公式求得结果；第二问由第一问中的结果，结合题中的条件为锐角，利用同角正余弦平方和等于，可得，最后根据三角形内角和为，利用诱导公式转化，利用和角公式求得结果.
（Ⅰ）由，得，因为，所以.
因为，所以．
故的面积．
（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.
所以．
方法点睛：该题考查的是有关解三角形问题，在解题的过程中，一定要抓住题的条件，死咬同角的正余弦平方和等于1，以及灵活应用正弦定理，熟练应用诱导公式以及正弦和角公式，从而能够正确得出结果.
27．（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）利用余弦定理的变式；（2）在中利用正弦定理即可求解．
试题解析：（1）根据余弦定理：；（2）因为，所以 ，，根据正弦定理得： ，．
考点：正余弦定理解三角形．
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