2023届高考数学一轮复习-第6讲-函数的图象.doc

第6讲　函数的图象
考向预测
核心素养
考查函数图象的辨析、函数图象和函数性质的综合应用、利用图象解方程或不等式，各种题型都可能出现，中档难度.
直观想象、
逻辑推理

[学生用书P55])

一、知识梳理
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)平移变换

(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|；
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
→
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
→
y＝af(x)．
常用结论
1．函数图象平移变换的八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
2．函数图象对称的重要结论
(1)两个函数图象对称：
①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(2)函数图象自身的对称
①函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)．
②函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
二、教材衍化
1．(人A必修第一册P83探究改编)函数f(x)＝的图象关于________对称(　　)
A．y轴 B.x轴
C．原点 D.直线y＝x
解析：选A.函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
2．(人A必修第一册P85练习T1改编)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　　)

A．y＝f(|x|) B.y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D.y＝－f(－|x|)
解析：选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C.

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　)
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、易错纠偏
1．(辨识函数图象易误)函数f(x)＝ln|e2x－1|－x的大致图象为(　　)

解析：选A.因为f(－x)＝ln|e－2x－1|＋x＝ln＋x＝ln|e2x－1|－ln e2x＋x＝ln|e2x－1|－2x＋x＝ln|e2x－1|－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，可排除B，D；又f(1)＝ln|e2－1|－1>ln e－1＝0，可排除C.故选A.
2．(函数图象平移法则理解不清致误)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1，故所得函数为y＝f(－x＋1)．
答案：y＝f(－x＋1)
3．(函数图象伸缩法则理解不清致误)把函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的函数图象的解析式是________．
解析：根据函数图象伸缩变换法则可得，所求函数解析式为y＝ln.
答案：y＝ln

[学生用书P56])
考点一　作函数的图象(自主练透)
复习指导：在实际情境中，会用图象法表示函数，并会对函数图象作变换．
画出下列函数的图象：
(1)f(x)＝|x＋2|；
(2)f(x)＝[x]＋2([x]表示不大于x的最大整数)；
(3)(链接常用结论1)f(x)＝2x＋2；
(4)f(x)＝x2－2|x|－1.
解：(1)f(x)＝|x＋2|＝画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y＝－x－2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图①所示．

(2)f(x)＝[x]＋2＝
函数图象如图②所示．
(3)将y＝2x的图象向左平移2个单位得f(x)＝2x＋2的图象，如图③所示．

(4)f(x)＝图象如图④所示．

函数图象的画法

考点二　函数图象的辨识(综合研析)
复习指导：解决此类问题常利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)以及函数图象的一些特殊点来辨析函数图象与解析式的对应关系．
(1)(2022·河北高二联考)已知函数f(x)＝，则函数y＝－f(|x|)的部分图象大致为(　　)

(2)(2022·浙江高三联考)若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝(x2＋1)sin x
B．f(x)＝(x2＋1)sin 2x
C．f(x)＝(x2＋1)sin
D．f(x)＝(x2＋1)cos x
【解析】　(1)因为y＝－f(|x|)为偶函数，故排除A，B，再取x＝1得y＝－f(|x|)＝－＝－2，故排除C，故选D.
(2)由题图可知图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数，排除D.又f(π)＝0，f>0，对于B，f＝sin π＝0，所以B错误；对于C，f(π)＝(π2＋1)sin ＝π2＋1≠0，所以C错误．
【答案】　(1)D　(2)A

(1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(2)抓住函数的特征，定量计算
利用函数的特殊点、特殊值的计算，分析解决问题．
|跟踪训练|
1．函数y＝cos x＋ln|x|的大致图象为(　　)

解析：选A.令f(x)＝y＝cos x＋ln|x|，由f(－x)＝cos(－x)＋ln|－x|＝cos x＋ln|x|＝f(x)，可知f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，可排除选项B；由函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，可排除选项C；当x→＋∞时，f(x)→＋∞，可排除选项D.故选A.
2．(2022·湖北联考)已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象大致是(　　)

解析：选D.先画出函数f(x)的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)所示．故选D.

3．函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)

A．a＞0，b＞0，c＜0　　　 B.a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D.a＜0，b＜0，c＜0
解析：选C.由f(x)＝及图象可知，x≠－c，－c＞0，则c＜0；当x＝0时，f(0)＝＞0，所以b＞0；当y＝0时，ax＋b＝0，所以x＝－＞0，所以a＜0.故a＜0，b＞0，c＜0.故选C.
考点三　函数图象的应用(多维探究)
复习指导：求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是
→→→.
角度1　研究函数的性质
(1)定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设y＝max{2x，2x－3，6－x}，则y的最小值是(　　)
A．2 B.3
C.4 D.6
(2)(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　)
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
【解析】　(1)画出y＝max{2x，2x－3，6－x}的示意图，如图所示．由图可知，当6－x＝2x时，即x＝2时，y取最小值，为22＝6－2＝4，故选C.

(2)f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．
作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；
由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误．
【答案】　(1)C　(2)AC
角度2　确定零点个数或解不等式
已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．
【解析】　

方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
【答案】　5
　对本例中的函数f(x)，不等式f(x)≤1的解集为________．
解析：由例3解图可知f(0)＝1，当≤x≤10时，f(x)≤1.
所以不等式f(x)≤1的解集为
.
答案：
角度3　求参数的取值范围
已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
【解析】　

先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
【答案】　
　若将本例中“方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根”改为“f(x)>g(x)恒成立”，其他条件不变，则实数k的取值范围是________．
解析：

如图作出函数f(x)的图象，
当－1≤k＜时，
g(x)＝kx的图象恒在函数y＝f(x)的下方．
答案：

(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．
(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．
|跟踪训练|
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
解析：选C.将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝

画出函数f(x)的大致图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
2．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．　
解析：

画出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示．
由图可知，当0<k<1时，y＝k和y＝f(x)的图象有3个交点，即方程f(x)＝k有三个不同的实根．
答案：(0，1)
3．函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．

解析：函数f(x)的图象大致如图所示．
因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0，所以2xf(x)<0.由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．
答案：(－3，0)∪(0，3)
[学生用书P396(单独成册)]
[A　基础达标]
1．(2022·河南高一调研)函数y＝x(ex－e－x)的图象大致为(　　)

解析：选A.因为f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)，所以函数y＝x(ex－e－x)是偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除C，D选项；又x>0时，ex－e－x>0，所以y>0，排除B选项，故选A.
2．(2022·衡水中学调研)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析：选C.由y＝lg＝lg(x＋3)－1.故选C.
3．若∀x∈R，函数f(x)＝min{2－x2，x}，则函数f(x)的最大值为(　　)
A．2 B.1
C．－1 D.无最大值
解析：选B.

在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝2－x2和函数y＝x的图象．由题意知函数f(x)的图象为图中实线部分．由图易知f(x)的最大值为1.
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　)
A．(1，3) B.(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D.(－1，0)∪(0，1)
解析：选C.作出函数f(x)的图象如图所示．

由图知当xf(x)>0时，x∈(－1，0)∪(1，3)．
5．(多选)(2022·济宁模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有(　　)
A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增
B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4
D．函数f(x)有且仅有两个零点
解析：选ABD.函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示，

由图可知，C错误．
6．(2022·淄博质检)设函数y＝f(x)的图象与y＝的图象关于直线y＝－x对称，且f(－3)＋f＝4，则实数a＝________．
解析：设f(x)的图象上任意一点为(x，y)，则(x，y)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(－y，－x)，把(－y，－x)代入y＝，得－x＝，
所以f(x)＝log3(－x)＋a，x＜0，
因为f(－3)＋f＝4，
所以1＋a－1＋a＝4，解得a＝2.
答案：2
7．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．
解析：

在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示．
由题意，可知2a＝－1，则a＝－.
答案：－
8．函数f(x)＝则f(－1)＝________，若方程f(x)＝m有两个不同的实数根，则m的取值范围为________．
解析：

f(－1)＝＝2－.作出函数f(x)的图象，如图，若方程f(x)＝m有两个不同的实数根，则0<m<2，即实数m的取值范围是(0，2)．
答案：2－　(0，2)
9．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．　
解析：

如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)
10．作出下列函数的图象．
(1)y＝；
(2)y＝|log2(x＋1)|.
解：

(1)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝的图象，如图所示．

(2)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．
11．设a为实数，且1<x<3，试讨论关于x的方程x2－5x＋3＋a＝0的实数解的个数．
解：

原方程即a＝－x2＋5x－3.作出函数y＝－x2＋5x－3＝－＋(1<x<3)的图象，得当a>或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；
当a＝或1<a≤3时，原方程的实数解的个数为1；
当3<a<时，原方程的实数解的个数为2.
综上，当a>或a≤1时有0个解；当a＝或1<a≤3时有1个解；当3<a＜时有2个解．
[B　综合应用]
12．(2022·湖南邵阳期末)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋2－m有4个零点，则m的取值范围为(　　)
A．(0，1) B.(－1，0)
C.(1，3) D.(2，3)
解析：选D.

由g(x)＝f(x)＋2－m＝0，得f(x)＝m－2，所以问题转化为函数f(x)的图象与直线y＝m－2有4个不同的交点，函数f(x)的图象如图所示，所以0<m－2<1，得2<m<3，所以m的取值范围为(2，3)．
13．已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a<b<c，

由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2 021，
所以2<a＋b＋c<2 022.
答案：(2，2 022)
[C　素养提升]
14．(多选)(2022·湖北9N联盟11月联考)已知函数f(x)＝其中a∈R，下列结论正确的是(　　)
A．f＝2
B.当x∈[0，8]时，函数f(x)值域为[0，8]
C．当k∈时方程f(x)＝kx恰有四个实根
D．当x∈[0，8]时，若f(x)≤2＋a恒成立，则a≥1－
解析：选ABD.

当x∈[0，2]时，f(x)＝2f(x－2)是把f(x)向右平移2个单位变成f(x－2)后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到2f(x－2)的图象，如图．
因为f＝2f＝4f＝2，故A正确；由图知B正确；
当k＝1时有无数个实数根，故C错误；
当a＝1－时，函数f(x)的图象与y＝2＋a的图象交于(1，1)点，结合图象2＋a≥1，即a≥1－，故D正确．
15．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当实数m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解：

(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．
(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，t>0，
因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．