2022年沪教版九年级上册数学第一次月考试卷.doc

沪教版九年级上册数学第一次月考试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列图形中不一定是相似图形的是（　　）
A．两个等边三角形
B．两个顶角相等的等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．两个矩形
2．（4分）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO＝1：2，那么下列式子错误的是（　　）

A．BO：CO＝1：2 B．AB：CD＝1：2 C．AD：DO＝3：2 D．CO：BC＝1：2
3．（4分）如图，△ABC中，D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不一定能判断ED∥BC的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．（4分）已知线段a、b、c，作线段x，使a：b＝c：x，则正确的作法是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）已知非零向量，，下列条件中，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AC上，且AD平分∠BAC，若∠ABE＝∠C，BE与AD相交于点F．则图中相似三角形的对数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）在比例尺为1：50000的地图上量出A、B两地的距离是12 cm，那么A、B两地的实际距离是　 　千米．
8．（4分）若线段b是线段a和c的比例中项，且a＝1 cm，c＝9 cm，则b＝　 　cm．
9．（4分）已知点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝10cm，AP＞BP，那么AP＝　 　．
10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AB＝12cm，AE＝11cm，CE＝4cm，那么DB＝　 　cm．
11．（4分）某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为　 　米．
12．（4分）已知点G是△ABC的重心，AG＝4，那么点G与边BC中点的距离是　 　．
13．（4分）如图，l1∥l2∥l3，AB＝AC，DF＝10，那么DE＝　 　．

14．（4分）已知△ABC与△A′B′C′相似，并且点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′是对应顶点，其中∠A＝80°∠B′＝60°，则∠C＝　 　度．
15．（4分）两个相似三角形的对应中线的比为3：4，那么它们的周长比是　 　．
16．（4分）已知向量与单位向量方向相反，且，那么＝　 　（用向量的式子表示）
17．（4分）如图，△ABC中，BC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且S△ADE＝S四边形DBCE，则DE＝　 　．

18．（4分）已知：△ABC∽△DEF，且∠A＝∠D，AB＝8，AC＝6，DE＝2，那么DF＝　 　．
三、解答题：（本大题共7题，19题～22题每题10分，23题～24题每题12分，25题14分，满分78分）
19．（10分）已知，求的值．
20．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥MN∥BC．MN分别交边AB、DC于点M、N．如果AM：MB＝2：3，AD＝2，BC＝7．求MN的长．

21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．求证：．

22．（12分）如图，AD和BC相交于点E，AC∥BD，点F在CD上，AC＝4，BD＝6，＝，
（1）求EF的长；
（2）已知S△CBD＝25，求△CEF的面积．

23．（12分）如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD＝DE＝EB，DF∥BC，EG∥AC．
（1）求证：FG∥AB；
（2）设＝，＝，请用向量、表示．

24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．
（1）求证：；
（2）若，求的值．

25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝8，把线段AB沿射线BC方向平移（点B始终在射线BC上）至PQ位置，直线PQ与直线AC交于点D，又连结BQ与直线AC交于点E．
（1）当BP＝3时，求证：△PBD∽△PQB；
（2）当点P位于线段BC上时（不含端点B，C），设BP＝x，DE＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（3）当以Q，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求PB的长．

参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
B、两个顶角相等的等腰三角形，对应角相等，一定相似，故此选项不合题意；
C、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故此选项不合题意；
D、两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故此选项符合题意．
故选：D．
2．【分析】根据AB∥CD，易证△AOB∽△DOC，利用对应边成比例即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC
∴AO：DO＝BO：CO＝AB：CD＝1：2，
故A、B选项正确；
C、∵AO：DO＝1：2，
∴AD：DO＝（1+2）：2＝3：2，故本选项正确；
D、∵BO：CO＝1：2，
∴CO：DO＝2：1
∴CO：BC＝2：（1+2）＝2：3，故本选项错误．
故选：D．
3．【分析】根据相似三角形的判定方法，利用各选项的结论是否能判断△ABC∽△ADE，若能则可得到BC∥DE，否则判断BC∥DE，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：A、∵＝，
∴＝，
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠D，
∴BC∥DE，所以A选项的结论正确；
B、∵＝，
而∠BAC＝∠DAE，
∴不能判断△ABC与△ADE相似，不能得到∠B＝∠D，
∴不能判断BC∥DE，所以B选项的结论不正确；
C、∵＝，
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠D，
∴BC∥DE，所以C选项的结论正确；
D、∵＝，
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B＝∠D，
∴BC∥DE，所以D选项的结论正确．
故选：B．
4．【分析】根据平行线的性质一一分析．
【解答】解：A、根据平行线的性质得a：b＝x：c，故此选项错误；
B、根据平行线的性质得a：b＝c：x，故此选项正确；
C、根据平行线的性质得x：b＝a：c，故此选项错误；
D、根据平行线的性质得a：b＝x：c，故此选项错误．
故选：B．
5．【分析】根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、||＝||，两个向量的模相等，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；
B、＝﹣，两个向量模相等，方向相反，互相平行，故本选项错误；
C、∥，∥，则与都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；
D、＝2，＝4，则与都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误．
故选：A．
6．【分析】利用“两角法”判定三组三角形相似．
【解答】解：①在△ABE与△ACB中，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAB，则△ABE∽△ACB；
②∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
∵∠1＝∠2，∠ABF＝∠C，
∴△ABF∽△ACD；
③∵ABE∽△ACB，
∴∠BEA＝∠ABD，
又∵∠1＝∠2，
∴△AEF∽△ABD，
综合①②③知，共有3对相似三角形，
故选：C．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．【分析】设A、B两地间的实际距离为xcm，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可．
【解答】解：设A、B两地间的实际距离为xcm，根据题意得
12：x＝1：50000，
解得x＝600000，
600000cm＝6km．
故答案为：6．
8．【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．
【解答】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝9，
∴b＝±3（负数舍去）．
故答案是：3．
9．【分析】根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：∵点P是线段AB上的一个黄金分割点，且AB＝10cm，AP＞BP，
∴AP＝×10＝（5﹣5）cm．
故答案为：（5﹣5）cm．
10．【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质求BD的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
即，
∴BD＝，
故答案为．
11．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【解答】解：设高度为h，
因为太阳光可以看作是互相平行的，
由相似三角形：，h＝4.8m．
12．【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
【解答】解：如图，D是BC边的中点；
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GD＝4，即GD＝2，
故点G与边BC中点之间的距离是2，
故答案为：2．

13．【分析】根据平行线分线段成比例定理由l1∥l2∥l3可以得出，再根据条件就可以求出结论．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴．
∵AB＝AC，
∴，
∴．
∵DF＝10，
∴，
∴DE＝4．
故答案为：4．
14．【分析】根据相似三角形对应角相等求出∠B＝∠B′，再利用三角形内角和等于180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，
∴∠B＝∠B′＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
故答案为：40．
15．【分析】先根据相似三角形的对应中线的比为3：4得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为3：4，
∴其相似比等于3：4，
∴它们的周长比是3：4．
故答案为3：4．
16．【分析】由向量与单位向量方向相反，且，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．
【解答】解：∵向量与单位向量方向相反，且，
∴＝﹣3．
故答案为：﹣3．
17．【分析】先求出△ADE与△ABC的面积的比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．
【解答】解：∵S△ADE＝S四边形DBCE，
∴S△ABC＝S△ADE+S四边形DBCE＝2S△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∵BC＝12，
∴＝，
解得DE＝6．
故答案为：6．
18．【分析】根据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
∵AB＝8，AC＝6，DE＝2，
∴＝，
解得DF＝．
故答案为：．

三、解答题：（本大题共7题，19题～22题每题10分，23题～24题每题12分，25题14分，满分78分）
19．【分析】设比值为k，然后用k表示出a、b、c，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：设＝＝＝k，
所以，a＝3k，b＝4k，c＝5k，
则＝＝．
20．【分析】过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F，可以得出四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，得出EN、FC的值，求出BF的值，再利用三角形相似就可以求出ME的值，从而求出MN．
【解答】解：过点A作AF∥DC交MN于点E，交BC于点F，
∵AD∥BC，AF∥DC，
∴四边形AEND是平行四边形，四边形AFCD是平行四边形，
∴AD＝EN＝2．AD＝FC＝2．
∵BC＝7，
∴BF＝5．
∵ME∥BF，
∴△AME∽△ABF
∴．
∵AM：MB＝2：3，
∴AM：AB＝2：5，
∴，
∴ME＝2
∴MN＝4．

21．【分析】由GF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB＝CD，AB∥CD，继而可证得 ＝，则可证得结论．
【解答】证明：∵GF∥BC，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴＝，
∴＝．
22．【分析】（1）由AC∥BD，可判定△ACE∽△DBE，从而得比例式＝＝＝，再由同高三角形的面积比等于相应的边之比可得比例式＝，＝，利用两组边成比例夹角相等判定△ECF∽△BCD，由此再得比例式，即可求得EF的长；
（2）由△ECF∽△BCD可知相似三角形的面积比等于相似比的平方，列式计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AC∥BD，
∴△ACE∽△DBE，
∴＝，
∵AC＝4，BD＝6，
∴＝＝＝，
∵△CEF与△DEF同高，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝＝，
又∵∠ECF＝∠BCD，
∴△ECF∽△BCD，
∴＝＝，
∴EF＝×6＝，
∴EF的长为；
（2）∵△ECF∽△BCD，
∴＝＝，
∵S△CBD＝25，
∴S△CEF＝25×＝4．
∴△CEF的面积为4．
23．【分析】（1）由AD＝DE＝EB，DF∥BC，EG∥AC，根据平行线分线段成比例定理，易得，则可判定FG∥AB；
（2）由DF∥BC，FG∥AB，易得FG＝AB，又由＝，＝，即可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AD＝DE＝EB，
∴＝＝，
∵DF∥BC，EG∥AC，
∴＝＝，，
∴，
∴FG∥AB；

（2）解：∵DF∥BC，FG∥AB，
∴，，
∴FG＝AB，
∵与同向，
∴＝，
∵＝，＝，
∴＝﹣，
∴＝．
24．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE＝EC，推出∠EDC＝∠ECD，求出∠FDC＝∠B，根据∠F＝∠F证△FBD∽△FDC，
即可；
（2）根据已知和三角形面积公式得出，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，即可求出．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90°
∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
∴∠FDC＝∠B，
∵∠F＝∠F，
∴△FBD∽△FDC，
∴＝．

（2）解：∵，
∴，
∴，
∵△FBD∽△FDC，
∴，
∴＝．

25．【分析】（1）由PQ∥AB得△CDP∽△CAB，求得PD＝，进而可证；
（2）由AQ∥BC，得△AQE∽△CEB，表示出CE，由PD∥AB得＝，表示出CD，进而求得；
（3）由PD∥AB得∠EDQ＝∠A，由∠QED＝∠ACB+∠EBC，∠QED＞∠ACB得∠QED＝∠ABC，故仅有△ABC∽△DEQ；
【解答】（1）如图1，

证明：PQ∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝，
∴PD•PQ＝×6＝9，
∴PB2＝PD•PQ，
∴＝，
∵∠BPQ是公共角，
∴△PBD∽△PQB；
（2）如图2，

解：连接AQ，
∴AQ∥BC，AQ＝BP＝x，
∴△AQE∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵PD∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝2（4﹣x），
∴y＝DE＝CE﹣CD
＝﹣2（4﹣x）
＝，
∴y＝（0＜x＜4）；
（3）如图3，

解：当P在BC上时，
∵PD∥AB，
∴∠EDQ＝∠A，
∵∠QED＝∠ACB+∠EBC，
∴∠QED＞∠ACB，
∴∠QED＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEQ，
＝＝，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴，
∴＝，
∴PD＝（4﹣x），
∴DQ＝PQ﹣PD
＝6﹣（4﹣x）
＝，
∴＝，
∴x＝，
如图4，

∵∠QED＞∠ACB，
∴∠QED＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEQ，
综上所述：PB＝．
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