2021北京育才学校初二(下)期中数学(教师版).docx

2021北京育才学校初二（下）期中
数 学
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）由下列线段a，b，c不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝ B．a＝1，b＝2，c＝
C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝2，b＝2，c＝3
3．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．3x2﹣2x﹣5＝3x2 D．x2﹣2x＝0
4．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
5．（3分）如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣+1 C．+1 D．﹣1
6．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．2
7．（3分）将一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0化成（x﹣3）2＝b的形式，则b等于（　　）
A．4 B．﹣4 C．14 D．﹣14
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．∠ABC＝90° B．∠BCD＝90° C．AB＝CD D．AB∥CD
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（　　）

A．（0，﹣5） B．（0，﹣6） C．（0，﹣7） D．（0，﹣8）
10．（3分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）使有意义的条件是　 　．
12．（3分）关于x的方程x2﹣2mx+m＝0的一个根为1，则m的值为　 　．
13．（3分）已知x＝，y＝，则x2﹣y2＝　 　．
14．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E、F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，则图中阴影面积为　 　．

15．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是　 　cm2．

16．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为　 　．

17．（3分）直角△ABC中，∠BAC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF＝3，则AE＝　 　．

18．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝13cm，BC边上的高AH＝5cm，那么对角线AC的长为　 　cm．

三、计算题：（每题5分，共10分）
19．（5分）﹣（）+（）2．
20．（5分）计算：÷+（+）（﹣）
四、解方程：（每题4分，共8分)
21．（8分）解方程：
（1）（x﹣5）2﹣9＝0；
（2）x2+2x﹣6＝0．
五、解答题：（共计28分）
22．已知：如图，A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

23．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，AE平分∠BAD，点F在AD边上，EF∥AB．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝2，BC＝3，点P在线段AE上运动，请直接回答当点P在什么位置时PC+PF取得最小值，最小值是多少．

24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P．
（1）求PD的长度；
（2）连接PC，求PC的长度．

25．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．
（1）①依题意补全图形；
②求证：BE⊥AC．
（2）请探究线段BE，AD，CN所满足的等量关系，并证明你的结论．
（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为　 　（直接写出答案）．

参考答案
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、故不是最简二次根式，故A选项错误；
B、是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；
C、故不是最简二次根式，故C选项错误；
D、故不是最简二次根式，故D选项错误；
故选：B．
2．【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A、∵12+（）2＝22，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项不符合题意；
B、∵12+22＝（）2，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；
C、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵22+32≠（2）2，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项符合题意；
故选：D．
3．【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意；
B、当a≠0时，此方程是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、方程可化为﹣2x﹣5＝0，此方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D、此方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
4．【分析】分别根据菱形、矩形和正方形的判定逐项判断即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD为菱形，故A、B结论正确；
当∠ABC＝90°时，四边形ABCD为矩形，故C结论正确；
当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形，故D结论不正确，
故选：D．
5．【分析】本题可以通过勾股定理及数轴上的运算求解．
【解答】解：直角三角形斜边长为，
∴点M表示的数m为﹣1+．
故选：D．
6．【分析】利用矩形对角线的性质得到OA＝OB．结合∠AOD＝120°知道∠AOB＝60°，则△AOB是等边三角形；最后在直角△ABC中，利用勾股定理来求BC的长度即可．
【解答】解：如图，∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，
∴OA＝OB＝AC＝2，
又∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2．
∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝＝＝2
故选：C．
7．【分析】方程常数项移项后，两边加上一次项系数一半的平方，变形即可求出b的值．
【解答】解：方程x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝14，即（x﹣3）2＝14，
则b＝14，
故选：C．
8．【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【解答】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；
D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠BAO＝∠ODC，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴▱ABCD是矩形，正确；
故选：C．
9．【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题；
【解答】解：∵A（12，13），
∴OD＝12，AD＝13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝13，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝5，
∴C（0，﹣5）．
故选：A．
10．【分析】延长FP交AB于点G，证明△AGP≌△FPE，即可判断①②正确；在△PDF中，由勾股定理即可判断③正确；△APD为等腰三角形时，有AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA三种情况，即可判断④错误
【解答】解：延长PF交AB于点G，
∵PF⊥CD，AB∥CD，
∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形GBEP为矩形，
又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，
∴BE＝PE，
∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．
∴GB＝BE＝EP＝GP，
∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，
又∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP≌△FPE（SAS）．
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故①、②正确；
在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，
故③正确；
∵P在BD上，
∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，
∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．
∴正确答案有①②③，
故选：B．

二、填空题（每题3分，共24分）
11．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，3﹣x≥0，
解得x≤3．
故答案为：x≤3．
12．【分析】把x＝1代入方程x2﹣2mx+m＝0得到一个关于m的一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2mx+m＝0，
得：1﹣2m+m＝0，
解方程得：m＝1．
故答案为：1．
13．【分析】先求出x+y、x﹣y，再把原式利用平方差公式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵x＝+，y＝﹣，
∴x+y＝（+）+（﹣）＝2，x﹣y＝（+）﹣（﹣）＝2，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4，
故答案为：4．
14．【分析】过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，证明S四边形GPFD＝S四边形EPHB，从而S四边形GPFD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB，求出S△DPF的值即可求出整个阴影部分的面积．
【解答】解：过点P作GH分别交AD、BC于点G、H，
由矩形性质可知，
S△ADC＝S△ABC，S△PFC＝S△PHC，S△AGP＝S△AEP，
∴S△ADC﹣S△PFC﹣S△AGP＝S△ABC﹣S△PHC﹣S△AEP，
即S四边形GPFD＝S四边形EPHB，
∴S四边形GPFD＝S四边形EPHB，即S△DPF＝S△PEB．
∵GP＝AE＝2，PF＝9，
∴S△DPF＝＝9＝S△PEB．
即图中阴影面积为S△DPF+S△PEB＝9+9＝18．
故答案为：18．

15．【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积．
【解答】解：根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2＝S大正方形＝49，
S正方形C+S正方形D＝S正方形2，
S正方形A+S正方形B＝S正方形1，
∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝49．
∴正方形D的面积＝49﹣8﹣10﹣14＝17（cm2）；
故答案为：17．

16．【分析】根据勾股定理可得BD＝5，由折叠的性质可得△ADG≌△A'DG，则A'D＝AD＝3，A'G＝AG，则A'B＝5﹣3＝2，在Rt△A'BG中根据勾股定理求AG的即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝＝＝5，
由折叠的性质可得，△ADG≌△A'DG，
∴A'D＝AD＝3，A'G＝AG，
∴A'B＝BD﹣A'D＝5﹣3＝2，
设AG＝x，则A'G＝AG＝x，BG＝4﹣x，
在Rt△A'BG中，x2+22＝（4﹣x）2
解得x＝，
即AG＝．
17．【分析】由三角形中位线定理得到DF＝BC；然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AE＝BC，则DF＝AE．
【解答】解：如图，∵在直角△ABC中，∠BAC＝90°，D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC．
又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，
∴AE＝BC，
∵DF＝3，
∴DF＝AE．
故填：3．
18．【分析】首先根据菱形的性质可得AB＝BC＝13cm，再利用勾股定理计算出BH的长，进而得到HC的长，然后再进一步利用勾股定理计算出AC的长．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝13cm，
∵BC边上的高AH＝5cm，
∴BH＝＝12cm，
∴CH＝13﹣12＝1（cm），
∴AC＝＝cm，
故答案为：．

三、计算题：（每题5分，共10分）
19．【分析】①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
【解答】解：原式＝+3﹣﹣5+3+1+2
＝+4．
20．【分析】根据二次根式的除法和平方差公式可以化简题目中的式子，然后再合并同类项即可解答本题．
【解答】解：÷+（+）（﹣）
＝
＝3+7﹣5
＝5．
四、解方程：（每题4分，共8分)
21．【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣5）2＝9，
开方得：x﹣5＝±3，即x﹣5＝3，或x﹣5＝﹣3，
解得：x1＝8，x2＝2；
（2）这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝＝＝﹣1±，
解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
五、解答题：（共计28分）
22．【分析】如图，连接BD，交AC于点O，欲证明证明四边形ABCD是平行四边形，只需证得AO＝CO，DO＝BO．
【解答】证明：如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OD＝OB，OE＝OF．
又∵AE＝CF，
∴AE+OE＝CF+OF，即OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

23．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AF∥BE，推出四边形ABEF是平行四边形，∠FAE＝∠BEA，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAF，求得AB＝BE，于是得到四边形ABEF是菱形；
（2）根据菱形的性质得到点B与点F关于AE对称，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵在▱ABCD中，AD∥BC，
即AF∥BE，
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，∠FAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）∵四边形ABEF是菱形，
∴点B与点F关于AE对称，
∴当点P在点E的位置时，PC+PF取得最小值，最小值＝BC＝3．
24．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AD＝AB＝2，
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAD＝∠BAC＝45°，
∴DP＝AD＝2；
（2）作PF⊥AC于F，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，
∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，
∴AF＝PF＝2，
∴FC＝AC﹣AF＝1，
在Rt△PFC中，PC＝＝．

25．【分析】（1）①依照题意补全图形即可；②连接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性质可得出∠ACD＝∠MCN＝45°，从而得出∠ACN＝90°，再根据直角三角形的性质以及点E为AN的中点即可得出AE＝CE，由此即可得出B、E在线段AC的垂直平分线上，由此即可证得BE⊥AC；
（2）BE＝AD+CN．根据正方形的性质可得出BF＝AD，再结合三角形的中位线性质可得出EF＝CN，由线段间的关系即可证出结论；
（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB＝1，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．

②证明：连接CE，如图2所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵∠CMN＝90°，CM＝MN，
∴∠MCN＝45°，
∴∠ACN＝∠ACD+∠MCN＝90°．
∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，
∴AE＝CE＝AN．
∵AE＝CE，AB＝CB，
∴点B，E在AC的垂直平分线上，
∴BE垂直平分AC，
∴BE⊥AC．
（2）BE＝AD+CN．
证明：∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，
∴AF＝FC．
∵点E是AN中点，
∴AE＝EN，
∴FE是△ACN的中位线．
∴FE＝CN．
∵BE⊥AC，
∴∠BFC＝90°，
∴∠FBC+∠FCB＝90°．
∵∠FCB＝45°，
∴∠FBC＝45°，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴BF＝CF．
在Rt△BCF中，BF2+CF2＝BC2，
∴BF＝BC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AD，
∴BF＝AD．
∵BE＝BF+FE，
∴BE＝AD+CN．
（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．
∵∠BDC＝45°，∠DCN＝45°，
∴BD∥CN，
∴四边形DFCN为梯形．
∵AB＝1，
∴CF＝DF＝BD＝，CN＝CD＝，
∴S梯形DFCN＝（DF+CN）•CF＝（+）×＝．
故答案为：．

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