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图形旋转的一个重要性质及其应用
441021 湖北省襄樊市第七中学 曾庆丰*

图形的旋转是新课程中的一个新增内容，在各省市中考中占有相当的比重，然而由于教材对旋转的性质介绍的较少，再加上这类问题的图形往往比较复杂，常使人“眼花缭乱”，致使同学们求解起来颇感困惑．本文介绍图形旋转的一个重要性质及其应用，望对同学们分析和解决这类问题有所帮助．
1 性质及证明
性质 一个图形绕一个点旋转得到另一个图形，则对应边所在直线的夹角（）与旋转角（）相等或互补（记为性质*）．

证明 下面以两条线段为例来证明．
（1）当旋转角小于或等于900时：如图1，线段AB绕点O逆时针旋转（）得线段A/B/．
∵ ∠AOA/=∠BOB/=，
∴ ∠AOB=∠A/OB/．
在△AOB和△A/OB/中，

∴ ，
∴ ∠A=∠A/．
又∵ ∠ADO=∠A/DC，
∴ ∠ACA/=∠AOA/=，
即=．
（2）当旋转角大于900且小于1800时：如图2，延长AB交OA/于点D，A/B/于点C，同理（1），得∠ACA/=∠AOA/=．而∠+∠ACA/=1800，故+=1800．
综合（1）、（2）即可获证．
图1
图2
注 由上述性质我们还可以得到如下推论：一个图形绕一个点旋转得到另一个图形，则每组对应边所在直线形成的夹角都相等且与旋转角相等或互补．
2 性质的应用
图3
例1 如图3，△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，将△ABC绕点C旋转角（）后得到△A1B1C，连结BB1，又CB1交AB于点D，A1B1分别交AB、AC于点E、F．若要使△BB1D是以B1D为底边的等腰三角形，求旋转角．

解析 由等腰直角三角形及旋转的性质，易得∠2=∠5=450；因为线段AB和线段A1B1是对应边，由性质“*”，得∠1=，所以∠3=∠2+∠1 =450+．要使△BB1D是以B1D为底边的等腰三角形，则有∠3=∠4，而CB=CB1，所以∠4=∠CBB1
=，故450+=．解得=300．
注 本题的图形比较复杂，识图的关键是抓住旋转前后图形的对应关系，这其中包括对应点、对应边及对应三角形．
例2 如图4，D在线段AB上，△ACD和△CBE均为等边三角形．
（1）△CDE能否由△CAB通过旋转得到，请说明理由；
图4
（2）若点D为线段AB的中点，试判断线段AC与DE线段的位置关系和数量关系，并说明理由．

解析 （1）因为△ACD和△CBE为等边三角形，所以∠1=∠2=600，CA=CD，CB=CE，由旋转的定义，得△CDE是由△CAB绕点D逆时针旋转600得到；（2）因为线段AB和线段DE是对应边，由性质“*”，得∠4=∠1=∠A=600，所以AC∥DE；又因为DA=DB=DC，所以∠ACB=900，所以∠3=900-∠A=
300，故，而AB=DE，所以．
注 证明一个图形能否由另一个图形旋转得到，必须证明两点：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心连线所成的角相等，两点缺一不可，而同学们在证明旋转时，常常犯“全等即旋转”的错误，应引起我们的重视；另外，在表述旋转时，一定要包含旋转的三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角．
例3 在矩形ABCD中，∠ACB=300，现将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转得矩形AB1C1D1，C1B1的延长线交直线BC于点E，连结AE．
图5
图6
图8
图7

（1）如图5，当=600时，∠AEC= ；
（2）如图6，当=900时，∠AEC= ；
（3）如图7，当时，猜想∠AEC的度数，并证明你的结论；
（4）如图8，当时，（3）中得到的结论还成立吗？若不成立，试探究∠AEC的度数，并写出你的结论（不需要证明）．
解析 由旋转的性质，易证，所以∠1=∠2．
（1）因为线段BC和线段B1C1是对应边，由性质“*”，，所以
600．所以∠AEC=∠2+∠3=1200；
（2）同理（1），得∠AEC=1350；
（3）因为线段BC与线段B1C1是对应边，由性质“*”，得（∠2+∠1）+=1800．又因为∠1=∠2，所以∠2=，而∠3=1800-（∠2+∠1）=，所以∠AEC==∠2+∠3=+=；
（4）由（3），得∠1=∠2=，所以∠AEC=．
注 当旋转角为锐角或直角时，对应边所在直线的夹角等于旋转角；当旋转角为钝角时，对应边所在直线的夹角与旋转角互补．
上述性质虽然在考试中不一定能直接使用，但由于该性质的证明过程比较简单，在使用前，略作证明即可．记住并掌握该性质对提高我们的识图能力、发现旋转中的等量关系等都是大有裨益的．

曾庆丰，全国数学优质课一等奖获得者，襄樊名师．系人民教育出版社课标实验教材讲师团成员，湖北省骨干教师培训授课教师，襄樊市教育讲师团教师，襄城区数学兼职教研员，市七中教科室主任．先后在《数学通报》、《数学教学》、《中学数学教学参考》等30余种数学专业类期刊上发表专业论文150余篇，近10篇被人大报刊复印社《中学数学教与学》全文转载；主编（参编）《人教版新课标教材教师用书》、《中考复习指南》、《中学数学思想方法》等教、学辅书籍28部；主持（参与）国家、省、市级课题各一项，主讲省级以上示范课、学术报告20余次（场），培训各级骨干教师万余人．现为《中学数学》、《中学数学教学参考》等10余家报刊社特邀编辑、编委和特邀撰稿人．