数学中考试题.docx

16、先化简，再求值：，其中.

17、如图，CD是⊙ O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙ O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.
(1)连接AC，若∠ APO=30°，试证明△ ACP是等腰三角形；_____
(2)填空：①当DP=______cm时，四边形AOBD是菱形；
②当DP=_____cm时，四边形AOBD是正方形.

18、在中俄“海上联合-2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，)

19、如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为(5，0)，(2，6)，点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线(k>0)经过点D，交BC于点E.
(1)求双曲线的解析式；
(2)求四边形ODBE的面积.

20、某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.

21、(1)问题发现
如图1，△ ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
填空：①∠ AEB的度数为_________；②线段AD，BE之间的数量关系为__________.
(2)拓展探究
如图2，△ ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△ DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.
(3)解决问题(本步选做)如图3，在正方形ABCD中，，若点P满足PD=1，且∠ BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离.

22、如图，抛物线与x轴交于点A(-1，0)，B(5，0)两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若PE=5EF，求m的值；
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（本步选做）

19)、【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD的长度即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解.
【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，
根据题意得∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，，
在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，
∴.
解得，
答：潜艇C离开海平面的下潜深度为308米.
【点评】在含有仰角、俯角的问题中，通常是作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题，选择合适的边角关系求解.
20)、 【分析】(1)作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN=2，AN=1，则ON=OA-AN=4，得到D点坐标为(4，2)，然后把D点坐标代入中求出k的值即可得到反比例函数解析式；
(2)根据反比例函数k的几何意义和进行计算.

【解答】解：(1)作BM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，如图，

∵点A，B的坐标分别为(5，0)，(2，6)，
∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，
∵DN∥BM，
∴△ ADN∽ △ ABM，
∴，即，
∴DN=2，AN=1，
∴ON=OA-AN=4，
∴D点坐标为(4，2)，
把D(4，2)代入得k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为；
(2)

=12.
∴四边形ODBE的面积为12.

【点评】利用两三角形的相似比，通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法.

20)、【分析】(1)设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，根据题意列出方程组求解；
(2)①据题意得，y=-50x+15000；
②利用不等式求出x的范围，又因为y=-50x+15000是减函数，所以x取34时，y取最大值；
(3)据题意得，y=(100+m)x-150(100-x)，即y=(m-50)x+15000，分三种情况讨论，①当0<m<50时，y随x的增大而减小，②m=50时，m-50=0，y=15000，③当50<m<100时，m-50>0，y随x的增大而增大，分别进行求解.
【解答】解：(1)设每台A型电脑销售利润为x元，每台B型电脑的销售利润为y元，根据题意得
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元.
(2)①据题意得，y=100x+150(100-x)，即y=-50x+15000；
②据题意得100-x≤2x，解得，
∵y=-50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大.
(3)据题意得，y=(100+m)x+150(100-x)，即y=(m-50)x+15000，
.
①当0<m<50时，m-50<0，y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大.
②m=50时，m-50=0，y=15000，
即商店购进A型电脑数量满足的整数时，均获得最大利润；
③当50<m<100时，m-50>0，y随x的增大而增大，
∴当x=70时，y取得最大值.
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大.

【点评】在问题中涉及到变化的量时，我们在解题时要分别讨论，并且讨论所有情形；对于一次函数，当一次项系数为正时，函数值随自变量增大而增大，自变量取最大值时对应的函数值最大.
21)、 1
【解答】解：(1)①如图1，
∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ ACD=∠ BCE.
在△ ACD和△ BCE中，

∴△ ACD≌ △ BCE(SAS)，
∴∠ ADC=∠ BEC.
∵△ DCE为等边三角形，
∴∠ CDE=∠CED=60°.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ ADC=120°.
∴∠BEC=120°.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE.
(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM.
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)∵PD=1，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上.
∵∠BPD=90°，
∴点P在以BD为直径的圆上.
∴点P是这两圆的交点.
①当点P在如图3①所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，，∠BAD=90°，
∴BD=2.
∵DP=1，
∴.
∵A、P、D、B四点共圆，
∴∠APB=∠ADB=45°，
∴△PAE是等腰直角三角形.
又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，
∴由(2)中的结论可得：BP=2AH+PD.
∴.
∴.
②当点P在如图3②所示位置时，
连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，
过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②.

同理可得：BP=2AH-PD.
∴.
∴.
综上所述：点A到BP的距离为或.

22)、 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；
(3)根据条件可判定出四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解.
【解答】解：(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

解得
∴抛物线的解析式为：.
(2)∵点P的横坐标为m，
∴P(m，)，E(m，)，F(m，0)，
∴，
.
由题意，PE=5EF，即：.
①若，整理得：，
解得：m=2或；
①若，整理得：，
解得：或.
由题意，m的取值范围为：-1<m<5，
故、这两个解均舍去.
∴m=2或.
(3)假设存在.作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′.
∵PE平行于y轴，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形.
由直线CD解析式，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，
∴，即，
解得，
∴，
又由(2)可知：，
∴.
①若，整理得：，
解得m=4或；
②若，整理得：，
解得或.
由题意，m的取值范围为：-1<m<5，
故这个解舍去.
综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为(，)，(4，5)，(，).

【点评】本题考查分类讨论思想与方程思想的灵活运用.需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算.

23.2

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；
(3)根据条件可判定出四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解.

【解答】解：(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

解得
∴抛物线的解析式为：.
(2)∵点P的横坐标为m，
∴P(m，)，E(m，)，F(m，0)，
∴，
.
由题意，PE=5EF，即：.
①若，整理得：，
解得：m=2或；
①若，整理得：，
解得：或.
由题意，m的取值范围为：-1<m<5，
故、这两个解均舍去.
∴m=2或.
(3)假设存在.作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′.
∵PE平行于y轴，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形.
由直线CD解析式，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，
∴，即，
解得，
∴，
又由(2)可知：，
∴.
①若，整理得：，
解得m=4或；
②若，整理得：，
解得或.
由题意，m的取值范围为：-1<m<5，
故这个解舍去.
综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为(，)，(4，5)，(，).

【点评】本题考查分类讨论思想与方程思想的灵活运用.需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算.

23.3

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；
(3)根据条件可判定出四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解.

【解答】解：(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

解得
∴抛物线的解析式为：.
(2)∵点P的横坐标为m，
∴P(m，)，E(m，)，F(m，0)，
∴，
.
由题意，PE=5EF，即：.
①若，整理得：，
解得：m=2或；
①若，整理得：，
解得：或.
由题意，m的取值范围为：-1<m<5，
故、这两个解均舍去.
∴m=2或.
(3)假设存在.作出示意图如下：

∵点E、E′关于直线PC对称，
∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′.
∵PE平行于y轴，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴PE=CE，
∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形.
由直线CD解析式，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，
∴，即，
解得，
∴，
又由(2)可知：，
∴.
①若，整理得：，
解得m=4或；
②若，整理得：，
解得或.
由题意，m的取值范围为：-1<m<5，
故这个解舍去.
综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为(，)，(4，5)，(，).

【点评】本题考查分类讨论思想与方程思想的灵活运用.需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算.