第1章习题解.doc

第一章 质点运动学

1-1 已知质点沿x轴作周期性运动，选取某种单位时其坐标x和t的数值关系为，求t = 0, 3, 6, 9, 12 s时质点的位移、速度和加速度。
解：位移，速度，加速度.
对于不同的时刻，相应的Dx、v、a值见下表（长度单位设为米）：
t (s)
Dx(m)
v(m/s)
a(m/s2)
0
0
p/2
0
3
3
0
-p2/12
6
0
-p/2
0
9
-3
0
p2/12
12
0
p/2
0

1-2 已知质点位矢随时间变化的函数形式为
r =R( coswti+sinwtj )
求(1)质点轨迹，(2)速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。
解（1）, ,；.
（2）,
.

1-3 在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数数值形式为
r = 4 t2 i+(2t+3) t j
求(1)质点轨迹，(2)从t=0到t=1的位移，(3) t = 0和 t= 1两时刻的速度和加速度。
解:（1）；≥0，y≥3, 质点轨迹为抛物线的一段（见右图）.
(2) ；，.
(3) ；，大小为 ,方向沿y轴向；,大小为 ,方向与 x轴夹角为 ；,，方向沿x轴正向.

1-4 站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢在 D t1 = 4.0s内从他身旁驶过。设火车作匀加速直线运动，问第n节车厢从他身旁驶过所需的时间间隔D tn为多少。令n = 7，求 D tn．
解：火车初速，加速度为a，每节车厢长为l，第一节车厢经过观测者所需时间为且 . 若第1至n节车厢经过观察者所需总时间为，则显然：, ；故第n节车厢经过者所需时间为：.
令n = 7, 则 .

1-5 一球从高度为h处自静止下落。同时另一球从地面以一定初速度v0上抛。v0多大时两球在h／2处相碰?
解：法一: 因两球的重力加速度均为g朝下，故以上球为参照系。两球自出发点至相碰点所费时间由可知为；等价地，相当于下球以 向上抛.
法二：由运动方程 , ;
解得 ,

1-6 一球以初速v0竖直上抛，t0 s后在同一地点以同样速率向上抛出另一小球。问两球在多高处相遇?
解：设前、后球相遇的时间分别为t ,t1；相遇的高度分别为y、y1；
则 ，；以 及代入，解得，.

1-7 一物体作匀加速直线运动，走过一段距离Ds所用的时间为Dt1，紧接着走过下一段距离Ds所用的时间为Dt2，试证明，物体的加速度为 .
证明：走过第一段距离为 ,
走过两段距离为
；
由此解得 , .

1-8 路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2 .
解：设人与离路灯在地面上投影点的距离为x1,人影顶端与同点的距离为x2﹔则 ;
即人影的顶端作匀速运动。
1-9 设a为由炮位所在处观看靶子的仰角，b为炮弹的发射角。试证明：若炮弹命中靶点恰为弹道的最高点，则有tanb = 2tana
解：∵ , ;
或：

1-10 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30°、60° 为发射角同时抛出两个小球，欲使两球在各自轨道的最高点相遇，求A、B两点之间的距离。已知小球A的初速为vA0 = 9.8m/s．

习题1-10
解：由 ，得 ;

1-11 飞机以v0 = 100 的速度沿水平直线飞行，在离地面高h = 98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：(1)投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度? 此时目标距飞机在下方地点多远? (2)物品投出1s后，物品的法向加速度和切向加速度各为多少?
解：（1）由 , 得 ﹔
.
, .
(2) ,
.
又：,
故t = 1s 时的曲率半径为
1-12 已知炮弹的发射角为q，初速为v0，求抛物线轨道的曲率半径随高度的变化。
解：, ;
,
;
.

1.13 一弹性球自静止竖直地落在斜面上的A点，下落高度h = 0.20m，斜面与水平夹角q = 30°．问弹性球第二次碰到斜面的位置B距A多远。设弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角。
解：按题设着地立的速度为 .取斜面与铅垂面的交线为ｘ轴，与斜面正交并向上的直线为ｙ轴.由此可得
,
﹔
, .
小球碰到斜面时 , ﹔于是有
.

1-14 一物体从静止开始作圆周运动。切向加速度 at = 3.00m/s2，圆的半径R = 300m．问经过多少时间物体的加速度a恰与半径成 45° 夹角。
解：, .
在 时，；
此时 .

t(s)
V测物(m/s)
2
9.8 (快)
3
0 （不动）
4
-9.8 （慢）
1-15 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速度为v0 = 49.0m/s，而气球以速度v = 19.6m/s 匀速上升，问气球中的观察者分别在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各为多少？
解：,
.
观测者观测到物体的速度如右表所示: