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一元二次方程根的分布问题
太行中学 梁小丹
一元二次方程的两根就是相应二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，因此在讨论方程的根的分布时，一定要分析方程对应的函数图象与坐标轴的交点情况，列出等价的不等式（组）求解。在列不等式组时，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系。
学习目标：1、能用数形结合的方法归纳出含参一元二次方程的实根分布的基本方法；
2、能用数形结合的方法归纳出含参一元二次方程的实根分布的简单题。
新知引入
一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的分布情况见下面表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0

两个正根即两根都大于0

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（）

得出的结论

思考：1、你能得到情况吗？
2、能不能用韦达定理表示上述图象中根的关系？表二：（两根与的大小比较）
分布情况
两根都小于即

两根都大于即

一个根小于，一个大于即

大致图象（）

得出的结论

表三：（根在区间上的分布）
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）
一根在内，另一根在内，
大致图象（）

得出的结论

或
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是什么？请同学们用微课题的形式来研究。
典例精讲
例 1．已知，分别求方程的根满足下列条件下的m的取值范围：
（1）两个正根； （2）两个负根； （3）两根都小于1；
（4）两根都大于1； （5）一根大于1，一根小于1；
（6）两根都在区间（0,2）内； （7）两根有且仅有一个在区间（0,2）内；
解：（1）由，得。（2）由，得。
（3）由，得。 （4）由，得。 （5）由，得。
（6）由，得。 （7）由，得。
例2. 已知关于x的方程x2－(2－m)x＋5－m＝0有两个实数根，一根大于0且小于2，另一根大于4且小于6，求m的取值范围。
解：设f(x)＝x2－(2－m)x＋5－m，由题意得：
，解此不等式组得m的取值范围是： ＜m＜－5。
课堂练习：
1． 已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。

2. 已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。

3. 当m的为何值时，关于x的方程的两根满足下列条件：
（1）都大于1； （2）一根大于2，另一根小于2；
（3）两根在0到2之间； （4）两根异号且绝对值均小于1.
思考深入：
若方程有两个不相同的实根，求m的取值范围.