数值分析试卷及其答案4.doc

1、 (本题5分)取的6位有效数字，问以下这种算法有几位有效数字 解：令，则 （2分）由于故另一方面故在这里，由有. （3分）即算式至少有4位有效数字.2、 （本题6分）用列主元Gauss消去法解线性方程组. 解： （4分）故等价方程组为： （1分）同代得， （1分）3、 （本题6分）已知，求，.解： （1分） （1分） 即 （3分）解得 ， （1分）4、 （本题7分）给定线性方程组 (1) 试分别写出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；(2) 分析Gauss-Seidel迭代格式的收敛性.解：(1) Jacobi迭代格式为： （2 分）Gauss-Seidel迭代格式： （2分）(2)Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵G的特征方程为解得 则故Gauss-Seidel迭代格式发散. （3分）5、 （本题8分）用下列方法求在附近的根，根的准确值，要求计算结果准确到四位有效数字.(1) 用牛顿法；(2) 用弦截法，取，解：(1) 牛顿法的迭代公式为计算得，故 （4分）(2)弦截法的迭代公式为计算得 故 （4分）6、 （本题8分）给定数据如下x0235f(x)1-3-42(1) 写出的3次Lagrange插值多项式(2) 写出的3次Newton插值多项式解：(1)由题设条件有 由于次Lagrange插值多项式的基函数为故三次Lagrange插值多项式的基函数为 （3分）故所求三次Lagrange插值多项式 （1分） (2)由题中所给数据，构造下列差商表5 2 3 3 -4 -1 2 -3 -20 1x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 （3分）由于故所求三次Newton插值多项式 （1分）7、 （本题8分）设，且互不相同，证明 并写出的次Newton插值多项式.证：用数学归纳法来证明当时即当时公式成立. （2分）假设当时等式成立即那么当时即公式对亦成立有归纳法原则知原等式对任意均成立 （4分）我们以为插值节点来求次Newton插值多项式因为故所求插值多项式为 其中 （4分）8、（本题5分）求满足条件12231-1的艾尔米特差值多项式.解：令，代入艾尔米特差值多项式 （2分）这里，得 （3分） 9、 （本题6分）求函数在0，1上的一次最佳平方逼近多项式.解：设，所求函数为，则 （3分）由正规方程组 （1分）解得 （2分）10、（本题9分）运用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别计算积分，并估计各种方法的误差（要求小数点后至少保留5位）.解：运用梯形公式： （2分）其误差 （1分）运用辛普森公式： （2分）其误差 （1分）运用柯特斯公式： （2分）其误差 （1分）11、（本题6分）已知的函数值如下：1.82.02.22.42.63.14.46.08.01.00用复合梯形公式和复合辛普森公式求的近似值.解：用复合梯形公式，小区间数，步长则 （3分）复合辛普森公式，小区间数，步长则 （3分）12、（本题8分）用高斯-勒让德公式计算积分.解：由于高斯求积公式为其中是的零点首先将积分区间转化为令则时 （1分）而 （2分）令时 （2分）时 （2分） （1分）13、（本题6分）用改进欧拉法求解 ，取两位小数。解 改进欧拉法格式为 （2分） 其中代入上式得：123450.20.40.60.81.01.241.582.042.643.42 （4分）14、（本题6分）写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算公式：, ,解：令 （3分） （3分）15、（本题6分）给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数字.解：取，代入幂法计算公式：， （2分）其中表示中（首次出现的）绝对值最大的分量. 具体计算结果如下：，故的主特征值 （4分）