数值分析试卷及其答案1.doc

1. 已知都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）
解：
由已知可知,n=6
2分
2分

2. 已知 求 （6分）
解：
1分
1分
1分
= 2分
1分

3. 设 （6分）
① 写出f(x)=0解的Newton迭代格式
② 当a为何值时， （k=0,1……）产生的序列收敛于
解：
①Newton迭代格式为： 3分
② 3分

4. 给定线性方程组Ax=b，其中： ，用迭代公式（k=0,1……）求解Ax=b，问取什么实数，可使迭代收敛 （8分）
解：
所给迭代公式的迭代矩阵为 2分
其特征方程为 2分
即，解得 2分
要使其满足题意，须使，当且仅当 2分

5. 设方程Ax=b，其中 ，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel迭代格式 （9分）
解：

3分
2分
即，由此可知Jacobi迭代收敛 1分
Gauss-Seidel迭代格式：
（k=0,1,2,3……） 3分

6. 用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组：（i=1,2,3）其中
， （12分）
解：
①

A= =LU 3分
由Ly=b1，即 y= 得y= 1分
由Ux1=y，即 x1= 得x1= 2分
②
x2=
由Ly=b2=x1，即 y= 得y= 1分
由Ux2=y，即 x2= 得x2= 2分
③
x3=
由Ly=b3=x2，即 y= 得y= 1分
由Ux3=y，即 x3= 得x3= 2分

7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：
要求一次数不超过3的H插值多项式，使 （6分）
解：
作重点的差分表，如下：
3分
=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)
= 3分

8. 有如下函数表：
试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式 （7分）
解：
由已知条件可作差分表，
3分
（i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton向前插值公式为：

=4+5x+x(x-1)
= 4分

9. 求f(x)=x在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差 （8分）
解：
令 2分
取m=1, n=x, k=,计算得：
(m,m)==0 (m,n)= =1 (m,k)= =0
(n,k)= =0.5 (k,k)= =0 (m,y)= =1
(n,y)= =0 (k,y)= =0.5
得方程组： 3分
解之得 （c为任意实数，且不为零）
即二次最佳平方逼近多项式 1分
平方误差： 2分

10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson公式计算的近似值（保留小数点后三位） （8分）

解：
用复合梯形公式：

=3.139 4分
用复合Simpson公式：

=3.142 4分

11. 计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分? （10分）

解： ①由Simpson公式余项及得
2分
即，取n=6 2分
即区间分为12等分可使误差不超过 1分
②对梯形公式同样，由余项公式得
2分
即 2分
即区间分为510等分可使误差不超过 1分

12. 用改进Euler格式求解初值问题：要求取步长h为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）[提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89] （6分）
解：
改进Euler格式为：
2分
于是有
（n=0,1,2……） 2分
由y(1)==1，计算得
2分
即y(1.1)的近似值为0.838

13. （4分）
证明：
4分

14. 证明：设，为任意矩阵范数，则 （6分）
证明：
设为A的按模最大特征值，x为相对应的特征向量，则有Ax=x 1分
且，若是实数，则x也是实数，得 1分
而 2分
由于 1分
故 1分
当是复数时，一般来说x也是复数，上述结论依旧成立