数值分析试卷及其答案1.doc

1. 已知都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解： 由已知可知,n=6 2分 2分2. 已知 求 （6分）解： 1分 1分 1分 = 2分 1分3. 设 （6分） 写出f(x)=0解的Newton迭代格式 当a为何值时， （k=0,1）产生的序列收敛于解：Newton迭代格式为： 3分 3分4. 给定线性方程组Ax=b，其中： ，用迭代公式（k=0,1）求解Ax=b，问取什么实数，可使迭代收敛 （8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为 2分其特征方程为 2分即，解得 2分要使其满足题意，须使，当且仅当 2分5. 设方程Ax=b，其中 ，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel迭代格式 （9分）解： 3分 2分即，由此可知Jacobi迭代收敛 1分Gauss-Seidel迭代格式： （k=0,1,2,3） 3分6. 用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组：（i=1,2,3）其中 ， （12分）解： A= =LU 3分 由Ly=b1，即 y= 得y= 1分 由Ux1=y，即 x1= 得x1= 2分 x2= 由Ly=b2=x1，即 y= 得y= 1分 由Ux2=y，即 x2= 得x2= 2分 x3= 由Ly=b3=x2，即 y= 得y= 1分 由Ux3=y，即 x3= 得x3= 2分7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H插值多项式，使 （6分）解：作重点的差分表，如下： 3分 =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1) = 3分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式 （7分）解： 由已知条件可作差分表， 3分 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton向前插值公式为： =4+5x+x(x-1) = 4分9. 求f(x)=x在-1,1上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差 （8分）解： 令 2分取m=1, n=x, k=,计算得： (m,m)=0 (m,n)= =1 (m,k)= =0 (n,k)= =0.5 (k,k)= =0 (m,y)= =1 (n,y)= =0 (k,y)= =0.5 得方程组： 3分 解之得 （c为任意实数，且不为零） 即二次最佳平方逼近多项式 1分 平方误差： 2分10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson公式计算的近似值（保留小数点后三位） （8分）解： 用复合梯形公式： =3.139 4分 用复合Simpson公式： =3.142 4分11. 计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分? （10分）解： 由Simpson公式余项及得 2分即，取n=6 2分即区间分为12等分可使误差不超过 1分对梯形公式同样，由余项公式得 2分即 2分即区间分为510等分可使误差不超过 1分12. 用改进Euler格式求解初值问题：要求取步长h为0.1，计算y（1.1）的近似值 （保留小数点后三位）提示：sin1=0.84,sin1.1=0.89 （6分）解：改进Euler格式为： 2分于是有 （n=0,1,2） 2分由y(1)=1，计算得 2分即y(1.1)的近似值为0.83813. （4分）证明： 4分14. 证明：设，为任意矩阵范数，则 （6分）证明： 设为A的按模最大特征值，x为相对应的特征向量，则有Ax=x 1分 且，若是实数，则x也是实数，得 1分 而 2分 由于 1分 故 1分 当是复数时，一般来说x也是复数，上述结论依旧成立