数值分析试卷及其答案4.doc

1、 (本题5分)取的6位有效数字，问以下这种算法有几位有效数字

解：令
，
则
（2分）
由于

故

另一方面

故在这里，由有. （3分）
即算式至少有4位有效数字.
2、 （本题6分）用列主元Gauss消去法解线性方程组.

解：

（4分）
故等价方程组为：
（1分）
同代得
，， （1分）
3、 （本题6分）已知，求，，.
解： （1分）
（1分）

即
（3分）
解得 ，，
（1分）
4、 （本题7分）给定线性方程组

(1) 试分别写出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；
(2) 分析Gauss-Seidel迭代格式的收敛性.
解：(1) Jacobi迭代格式为：
（2 分）
Gauss-Seidel迭代格式：
（2分）
(2)Gauss-Seidel迭代格式的迭代矩阵G的特征方程为

解得

则
故Gauss-Seidel迭代格式发散. （3分）
5、 （本题8分）用下列方法求在附近的根，根的准确值…，要求计算结果准确到四位有效数字.
(1) 用牛顿法；
(2) 用弦截法，取，
解：(1)
牛顿法的迭代公式为

计算得
，

故 （4分）
(2)弦截法的迭代公式为

计算得

故 （4分）
6、 （本题8分）给定数据如下
x
0
2
3
5
f(x)
1
-3
4
2
(1) 写出的3次Lagrange插值多项式
(2) 写出的3次Newton插值多项式
解：(1)由题设条件有

由于次Lagrange插值多项式的基函数为

故三次Lagrange插值多项式的基函数为

（3分）
故所求三次Lagrange插值多项式
（1分）
(2)由题中所给数据，构造下列差商表

5 2 3
3 -4 -1
2 -3 -2
0 1
x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商

（3分）
由于

故所求三次Newton插值多项式
（1分）
7、 （本题8分）设，且互不相同，证明

并写出的次Newton插值多项式.
证：用数学归纳法来证明
当时
即当时公式成立. （2分）
假设当时等式成立
即

那么当时

即公式对亦成立
有归纳法原则知原等式对任意均成立 （4分）
我们以为插值节点来求次Newton插值多项式
因为

故所求插值多项式为

其中
（4分）
8、（本题5分）求满足条件

1
2

2
3

1
1
的艾尔米特差值多项式.
解：令，，代入艾尔米特差值多项式
（2分）
这里，，得
（3分）
9、 （本题6分）求函数在[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式.
解：设，，，所求函数为
，则
（3分）
由正规方程组
（1分）
解得

（2分）
10、（本题9分）运用梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别计算积分，并估计各种方法的误差（要求小数点后至少保留5位）.
解：运用梯形公式：
（2分）
其误差
（1分）
运用辛普森公式：
（2分）
其误差
（1分）
运用柯特斯公式：
（2分）
其误差
（1分）
11、（本题6分）已知的函数值如下：

1.8
2.0
2.2
2.4
2.6

3.1
4.4
6.0
8.0
1.00
用复合梯形公式和复合辛普森公式求的近似值.
解：用复合梯形公式，小区间数，步长

则
（3分）
复合辛普森公式，小区间数，步长

则
（3分）
12、（本题8分）用高斯-勒让德公式计算积分.
解：由于高斯求积公式为

其中是的零点
首先将积分区间转化为
令则时 （1分）
而
（2分）
令
时

（2分）
时

（2分）
（1分）
13、（本题6分）用改进欧拉法求解 ，，取两位小数。
解 改进欧拉法格式为 （2分）
其中代入上式得：

1
2
3
4
5

0.2
0.4
0.6
0.8
1.0

1.24
1.58
2.04
2.64
3.42
（4分）
14、（本题6分）写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：
, ,
解：令

（3分）

  （3分）

15、（本题6分）给定矩阵试用幂法求出的按模最大的特征值，精确至5位有效数字.
解：取，代入幂法计算公式：
， （2分）
其中表示中（首次出现的）绝对值最大的分量.
具体计算结果如下：
，
，
，
，

，
，
，
故的主特征值 （4分）