数值分析试卷及其答案7.doc

1. 为了使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（5分）
解、解：设有n位有效数字，由 ，知
令 ,
取 ,
故

2 设方程的迭代法为

证明对,均有,其中为方程的根.（5分）
证明：迭代函数，对有
，

3设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。（10分）
5分
（4分）
由结果知（1）比（2）好。（比较1分）

4、用列主元素消元法求解方程组 .（10）
解：解：

（8分）
回代得 。（2分）
5、对线性代数方程组 （10）

设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯－赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。
解：

因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯－赛德尔迭代法均收敛。（5分）
雅可比迭代格式为：
（2分）
高斯－赛德尔代格式为：
（3分）
6、、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。（8分）
解：

又 5分
故截断误差 。 3分

7、用幂法求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量，取，精确至7位有效数字。（10）
解：幂法公式为 ，
取x0=(1,1)T，列表如下：
k
yT
mk
xT
1
(102，33.9)
102
(1,0.332353)
2
(99.997059,33.2991174)
99.997059
(1,0.3330009675)
3
(99.9990029,33.29970087)
99.9990029
(1,0.333000329)
4
(99.99900098,33.29970029)
99.99900098
(1,0.333000330)
因为，所以

8、用欧拉方法求

在点处的近似值。 （8分）
解：等价于
() （2分）
记,取,.
则由欧拉公式
, 2分
可得 ,
4分

9、已知 A=，求，， 10分
解：， （4分）
，

得 ，所以 。（6分）

10、、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。（5分）
解：
，时， 3分

至少有两位有效数字。 2分

11、下列方程组Ax=b，

考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.（8分）
解：Jacobi法的迭代矩阵是

即，故，Jacobi法法收敛、 （4分）
GS法的迭代矩阵为

故，解此方程组的GS法不收敛。 （4分）

12、写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需计算）

13、若，求和
解：由均差与导数关系

于是
14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.

解：代入公式两端并使其相等，得

解此方程组得，于是有

再令，得
故求积公式具有3次代数精确度。
15、、计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?
解：由Simpson公式余项及得

即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过