数值分析试卷及其答案7.doc

1. 为了使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（5分）解、解：设有n位有效数字，由，知 令 , 取 , 故 2 设方程的迭代法为 证明对,均有,其中为方程的根.（5分）证明：迭代函数，对有，3设，分别在上求一元素，使其为的最佳平方逼近，并比较其结果。（10分）5分（4分）由结果知（1）比（2）好。（比较1分）4、用列主元素消元法求解方程组 .（10）解：解： （8分）回代得 。（2分）5、对线性代数方程组 （10）设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。解：因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯赛德尔迭代法均收敛。（5分）雅可比迭代格式为：（2分）高斯赛德尔代格式为：（3分）6、取节点,求函数在区间0,1上的二次插值多项式,并估计误差。（8分）解： 又 5分故截断误差 。 3分7、用幂法求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量，取，精确至7位有效数字。（10）解：幂法公式为 ，取x0=(1,1)T，列表如下：kyTmkxT1(102，33.9)102(1,0.332353)2(99.997059,33.2991174)99.997059(1,0.3330009675)3(99.9990029,33.29970087)99.9990029(1,0.333000329)4(99.99900098,33.29970029)99.99900098(1,0.333000330)因为，所以8、用欧拉方法求在点处的近似值。 （8分）解：等价于 () （2分）记,取,.则由欧拉公式, 2分可得 , 4分9、已知 A=，求， 10分解：， （4分），得 ，所以 。（6分）10、n=3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数）,并求误差估计。（5分）解： ，时， 3分至少有两位有效数字。 2分11、下列方程组Ax=b，考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.（8分）解：Jacobi法的迭代矩阵是即，故，Jacobi法法收敛、 （4分）GS法的迭代矩阵为故，解此方程组的GS法不收敛。 （4分）12、写出用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题的计算公式：（无需计算）13、若，求和解：由均差与导数关系 于是14、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度. 解：代入公式两端并使其相等，得解此方程组得，于是有再令，得故求积公式具有3次代数精确度。15、计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?解：由Simpson公式余项及得即，取n=6，即区间分为12等分可使误差不超过