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数学小论文和研究性解题讲座
（闻仲良）
序
物质世界事物万千，表现各异，互相依存互相联系，而数学工作者总是以最紧凑节约的方式来表述事物的内部规律，并且总结出许多方法，对于从事数学教育的工作者而言，不仅要知其然而且要研究它们，以达到知其所以然的境界。
科学文化知识是全人类智慧的结晶。我们学习科学知识的目的在于应用，灵活应用它们去解决实际问题，在解决问题的过程中，使书本知识内化为自身的知识结构。在反复实践中，升华自身的知识，达到提高素质、增强能力的目的。
针对本科生有撰写毕业论文的要求，为了提高学生的数学素养、数学研究和应用能力而开设的如何撰写数学小论文和研究性解题的讲座颇受学生的欢迎。现将讲稿整理成书，以飨读者。本书大致分为数学思考方式与解题策略研究、解题方法研究以及论文选讲三个部分，共分十一讲，适用于数学本科生和中等数学工作者。
第 一 讲 数 学 思 考 方 式
作为数学工作者，总是通过数学的思考方式来处理具体问题的。所谓数学的思考方式大致可描述如下：
1． 建立模型： 对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要而且有用的特征的表示。
2． 最优化： 通过提问“如果……将会……”和考察所有的可能性来寻求最优解决方案。
3． 符号化： 用一种在通讯和计算中都是最紧凑节约的形式把自然语言推广到抽象概念的符号表示。
4． 推断： 从数据、从前提、从图形、从不完全和不一致的原始资料进行推演。
5． 逻辑分析： 寻求前提中蕴含的东西以及寻求能解释所观察到的现象的基本原理。
6． 抽象化： 选出为许多不同现象所共有的性质进行专门的研究。
例1 综合除法
考察下面的除法的竖式表示：

得到商式为 ，余式为 。
当我们仔细考察上述运算过程时，不难发现，在除法进行的过程中，文字 并不起什么作用，其实质是系数在进行运算。我们只要“固定”各次幂的位置，就可运算如下：

这比原来的要简单多了。假如我们继续考察上述的操作过程，我们还可发现除式中的1“形同虚设”，而每次运算的第一项总是在“照抄”。于是我们可再抽象如下：

上述的书写象走“楼梯”似的，所占篇幅太大。假若我们把其压缩成一格，就可达到紧凑节约的目的。同时将改为2，则上述的减法变为加法。最后将压缩后的改写如下：

这个经过逐步“加工”的最终“产品”与原材料相比，已是“面目全非”了。然而它却以最紧凑最经济的表达形式向我们展示了“综合除法”。
例2 加减消元法。
解方程组
解 ，得

得

得

观察上述求解过程可发现，“形同虚设”，只是它们的系数在进行运算。那么我们只要固定的位置，就可安排下面的运算表：

这一改写使得我们可在“表格”上推演方程组的求解过程。不仅如此，而且对于一元次方程组也适用。
例3 二元一次方程组的公式解
解 ① ② 得
① ② 得
为了使公式表示简捷且便于记忆，引入行列式记号 ，
记 ， ， ，
则 。 （克兰姆法则）
为了使三个行列式更便于记忆，我们可把方程组的系数排成一个表格如下：

则 第一列和第二列；第二列和第三列；第三列和第四列构成的行列式正是。
要提高能力，首先要学好科学文化知识，提高文化素养，其次要随时随地运用已学到的知识去解决实际问题，这样日积月累，到一定的程度会有一个质的飞跃，把学到的知识升华为自己的素质和能力。这是一个从量变到质变的过程。也就是说，素质的提高需要有一个从量变到质变的过程。而促进质量变过程的尽早到来的方法就是勤学苦练和精思。
学习要先学会思索，有思才会有所得。《读书之要》有言曰：观书，需先熟读，使其言皆若出于吾之口；继而精思，使其意皆若出于吾之心；然后可有得耳。
下面二命题摘自《初等数学研究与复习——平面几何部分》（作者梁绍鸿）。
C
B
A
命题1. 以三角形的边为边向
外作正方形，则两个正方形的中心
的连线段与它们的公共顶点与立于
对边上的正方形的中心的连线段垂
D
C
B
A
直且相等。
命题2. 以四边形的边为边向
外作正方形，则立于对边上的正方
形的中心的连线段垂直且相等。
你能体会到此二命题所载有的思想吗？

论 作 题
1． ① 证明：若，则 ≤；
②设，则我们有一系列非负数

③ 推测这些非负数之间的关系；
④ 证明你的结论。
2． ① 证明：设则≥ 。
② 推测： 当 时，的一般结果；
③ 证明你的结果。
3. 证明： 若，则≥；
推断上述命题的一般形式并加以证明。
4． 求的互相垂直的切线的交点的轨迹；考虑一般二次曲线

的情形。
5. 实验材料： 则 ≥ ；
则 ≥ 。
实验目的： 探求当时，的一
般结果。
实验要求：证明你的结果。

第 二 讲 解 题 的 一 般 步 骤
一、 归类：把要解决的问题与已解决的问题从而由此而建立的模型（如选择、计算、证明、作图、轨迹等）进行对照，寻求一种大致的解题途径，确定初步的问题解决方案。
二、 罗列问题中的知识点，并将其转化为适当的数学表达式。
三、 联想：由题中的知识点出发，逐步搜索相关的定义、性质、公式、定理、已经解决的问题等。
四、 分析：串联联想到的各种信息，探索一条正确的解题思路。
五、 叙述：整理成文。
六、 总结：归纳问题的特征、解答的一般思想方法和技巧等。
七、 研究：举一反三、触类旁通，解题方法的一般指导意义等。
下面我们以两例高考题来说明一至五的使用情形。
例1 （1999，高考，第23题）
已知函数的图象是自原点出发的一条折线段，当≤≤
时，该图象是斜率为的线段（其中正常数），设数列由定义，
（Ⅰ） 求和的表达式；
（Ⅱ） 求的表达式，并写出其定义域；
（Ⅲ） 证明的图象与的图象没有横坐标大1的交点。
一、 归类 计算题 （1）求数列的通项公式；（2）求函数的表达式及定义域。
二、 知识点 函数、函数的图象、折线段、斜率、数列。
三、 联想 （1）作出折线段的图象；
（2）斜率的计算公式
等差数列：通项 ，
部分和
等比数列：通项 ，
部分和 ，
当<1时， 。
一些曾经求过的数列的类型。
四、 分析 从图象上看，有

， 即

， 即

， 即

， 即
由此可见 是等比数列，且 ，其部分和为

即 。
在 ≤≤时，根据点斜式写出直线段方程为

由图象可看出其定义域应根据的情况而定，当0<<时，由， 即函数的定义域为；当>时，

，即函数的定义域为。
从图象上可看出（Ⅲ）的结论比较明显，可采取一般方法（如数学归纳法）证明之。
五、 整理成文，给出答案。（略）
例2 （1999，高考，第24题）
如图给出定点>和直线，是直线上的动点，的角平分线交于，求点的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线的类型与值的关系。
一、 归类：求动点的轨迹；
常用方法：建立坐标系，设动点的坐标；
按题意建立等式；
将动点坐标代入，化简，整理；
讨论（定义域等）。
二、 知识点：角平分线。
三、 联想：（1）角平分线的定义；
B
D
C
A
（2）角平分线的性质：（a）角平分线到角的两边的距离相等；
（b）
（c）由角的两边求
角平分线的方程。

四、分析：设 的坐标为，的坐标为,因为三点共线，从而建立方程如下： （1）
（2）
（3） 直线的方程为：
直线的方程为：
将其法式化得：
直线的方程为：
而直线的方程为：
从而所求的轨迹方程为：
（4） 利用定比分点公式 ，可得

从每一个方程组中消去参数，都可得到所要求的方程。
总结：对于求由一个满足条件的动点所确定的动点的轨迹方程，一般采用参数法，建立方程组： 从前二式解出，再代入即得轨迹方程。
例如求曲线关于直线对称的曲线过程如下：
在上任取一点，设其对称点为，按题意列出方程组

从前二式解出
代入第三式得所求曲线为

第 三 讲 待 定 系 数 法
例1 求把直线 分别变为
及把点（1，1）变为 （1，1）的仿射变换。

一、 归类：求公式的计算题，常用的方法有待定系数法等。
二、 知识点：仿射变换。
三、 联想：仿射变换的性质：同素性、结合性、平行性、单比不变等。
仿射变换的代数表达式： 。
四、 分析：仿射变换是由点的形式表达的，那么直线变为直线是如何表示的呢？
直接从变换式看，我们有直线 变为直线；
直线 变为直线 。 可以设想，对应本题有
。
五、 叙述：
解 设 。
把（1，1）变为（1，1）代入得 ，
。
解得所求变换为 。

六、 总结：求仿射变换的代数表示式，特征是线、线、点变到线、线、点。
方法：待定系数法；
技巧：用另一种角度，即直线变为直线的角度去看待用点表示的仿射 变换，从而把6个待定系数减少到2个。
七、 研究：1. 求仿射变换： （1） 点、点、点变为点、点、点；
（2） 线、点、点变为线、点、点；
（3） 线、线、线变为线、线、线。
2. 指导意义：用待定系数法解决问题时，如何使其待定系数的数目
最少。
考察双曲线的标准方程 ，将其化为，而和正好是渐近线，这可给下面的问题提供了解法。
例 求过点且以为渐近线的双曲线。
解 设所求曲线为

将代入得 ，
故
化简得
在解析几何中，我们经常以点的坐标来表示曲线的方程，以上的例子说明当我们用另一种观点即用直线的观点来考察点方程时，往往能得到全新的解决问题的方法。
论 作 题
1． 将 因式分解。
2． 求过三平行直线 的圆柱
面的方程。
3． 将 改写成 的形式。
4．

第 四 讲 数 学 归 纳 法
归纳是同个别事例向关于这一类事物的一般性的过渡，是一种对经验、对实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法，人们用归纳法清理事实，概括经验，处理资料，从而形成概念、发展规律。
关于归纳法，曾有人编制过一段专家戏言。在一次聚会上，几个专家谈到归纳法。
逻辑学家说：“在有的数学家看来，只要已知前99个数小于100，按他的归纳法，即可推出一切数小于100。”
数学家回答说：“物理学家相信，60可被一切整数整除，因为他已看出：60可被1、2、3、4、5、6整除；再用10、20、30去除，也都可以。因此他认为，实验资料已充分证实了结论。事实上，在物理学家看来，已用了过多的观察资料，在很多情形下，一个已足。因为，比如：一台蒸汽机制成，就意味着蒸汽机是可以制造的。”
物理学家不甘示弱：“是的，在工程师看来，一切杏数都是素数，因为，他说：1是素数，然后他证明：3、5、7是素数，想到9，是令人遗憾的情况，继之而来的11和13都是素数。再回头看9，他说：9是个错误的实验。”
工程师更加风趣：“在逻辑学家心目中，归纳法是无庸置疑的，因为大量事实表明，它是正确的——这并不是逻辑循环。”
事实是：（简单枚举）归纳法有可能导致错误，好在可能通过检验来消除。可是它的妙处在于：运用得当，通向真理，通向新猜想的确立，通向规律的发现。
数学归纳法是由意大利数学家莫洛里斯克于1575年提出的。法国数学家帕斯卡在其《论算术三角形》一书中，成功地多次应用数学归纳法来证明数学定理，从而奠定了数学归纳法在数学证明方法论中的重要地位。
数学归纳法是论证具有递推性的自然数命题P（n）的正确性的重要方法之一。其基本形式是：
（1） P（1）成立。
（2） 假设P（k）成立 ，可以推出P（k+1）也成立。
结论：P（n）对任意自然数都成立。
例1． 设数列，求证：< 。
证明 （1） 当时，，，
< 。
（3） 设时有< ，即 < ，
亦即 < 。
当时，
< <
即 <
所以 < ，即 < 。
根据数学归纳法知，命题对任何自然数成立。
对数学归纳法的过程进行一些分析：
1． 显然,与有关的命题不一定从开始,如上例中取，则必须3开始，即归纳法的使用有可能从某个自然数开始。
2． 归纳假设中，“时命题成立”实际上是从成立开始，假定成立，进而都成立，即实际上时命题成立意味着≤时命题成立。
3． 归纳法的目的在于证明跟有关的命题在的取值范围内成立。从而没有必要严格按照的顺序进行。当把的取值范围按需要分成若干个部分时，若在每个部分中命题皆成立，我们也能达到目的。如把自然数分成偶数与奇数两部分，若对命题有成立，也成立，则可断定成立。以上分析使我们在某些情况下能灵活使用数学归纳法。
例2. 某一天，一家银行里只有2元和5元两种钞票，每一笔交易额都是整数元，问此银行能支付每一笔款项吗？
分析： 设交易额为元，显然=1,3时不行，当大于3是偶数时，只用2元的钞票就能支付；当为奇数时，为5时，可以支付，大于5时，是偶数，从而可以支付。于是当交易额大于3元时银行可以支付每一笔款项。
证明 略。
例3 （英国，1981）对给定的个不同的数>，记 证明，对任意，是整数。
证明 先证明结论对成立。
构造一个次数不高于次的多项式，使。由拉格朗日插值公式知 ，其中的系数为 。另一方面，多项式与多项式相等，因此，当时的系数为0，而当时则为1。于是对，都是整数。
假设时有 中的。
设多项式的根为，则由韦达定理可知，，并且有 。

所以 ，根据数学归纳法知，对所有的自然数，结论成立。
论 作 题
1． 实验：把一个正方形剖分成若干个正方形。
要求：得出一个与自然数有关的命题，并且证明你的结论。
2． 实验：资料：方程 ； 方程的根
要求：构造一个与自然数有关的命题；命题关于轮换对称；命题的结论是整数。并且证明你的结论。
3． 从一组数中推测一般规律并加以证明。

第 五 讲 解 析 法
解析法在解决数学问题中是一种行之有效的方法。应用解析法，关键在于适当建立坐标系，构通点的坐标与问题中对象间的联系，通过纯粹的代数运算而解决问题。
例1 已知数列的递推公式为
求的通项。
分析：递推公式是一个分式线性函数，根据高等几何中有关理论知通
过齐次坐标可使其线性化。
证明 在直线上引入齐次坐标，那么 ，于是

从而可改写成

即
于是
根据高等代数理论算出 ，即可得通项公式。
例2 证明平面上两个三角形对应顶点的连线共点等价于对应边交点共线。
证明 在平面上引入齐次坐标，且用三角形顶点的字母表示其齐次坐标，
则与的对应边交点为
X ＝（B×C）×（B’×C’）
Y ＝（C×A）×（C’×A’）
Z ＝（A×B）×（A’×B’）
根据双重矢性积计算公式知
X ＝
Y ＝
Z ＝
X Y ＝

根据行列式的展开法则及乘法规则可知

因为
所以
即两三角形对应顶点连线共点等价于对应边交点共线。
例3 设ΔABC是椭圆的内接三角形，过A、B处的切线分别与BC、CA平行，
证明过C处的切线与AB平行。
分析： 因为椭圆、平行性都是仿射不变的，所以可考虑建立适当的仿射坐标
系，通过解析法加以证明。
证明 取A（0，1）、B（1，0）、C（0，0）建立仿射坐标系。按题意有A处
的切线为 ；B处的切线为 ；AB的方程为。
设椭圆的方程为
以（0，0）代入得 ，即椭圆方程为
从而求得过C（0，0）的切线为 ，它与AB平行。
例4 设同一点列上的两个对合中至少有一个是椭圆型对合，证明这两个对合至少
有一对公共的对应元素。
证明 适当选取点列的射影坐标系，使椭圆型对合的方程为

这时设另一对合为

令

即

至少有一个解，即这两个对合至少有一个公共对应元素。
（若，则，否则，两个对合是同一个对合。）
例5 对共圆四点A、B、C、D，以D为焦点且与三角形ABC的三边相切的抛物线唯一存在。
练 习 题
1． 实验材料： 直线。
实验目的： 探求确定直线的坐标系。
实验要求： 归纳坐标系的特征、导出两直线交点的计算公式。
2． 实验材料： 二次曲线、切线。
实验目的： 探求二次曲线的直线坐标表示。
实验要求： 明确给定二次曲线的点坐标表示与直线坐标表示的转换公式。
利用实验得到的结论，给出

的直线坐标方程；由此证明：与无三线共点的四线相切的抛物线唯一存在。

第 六 讲 不 变 量 法
物以类聚，同类的事物虽然表现形式各异，甚至于变化无常，但毕竟是同类，具有某种共性——内在规律。我们只要抓住其内在的不随外表形式的变化而变化的本质特征，那么即使是错综复杂的问题也可迎刃而解。
我们知道长度、角度、面积等在正交变换下保持不变；同素性、结合性、平行性、单比在仿射变换下不变；同素性、结合性和交比在射影变换下不变；线性空间在线性变换下有不变子空间；连续性、紧致性是拓朴变换的不变量等等，不变性为我们解决“动态”的问题提供了行之有效的方法——不变量法。
例1 设P、Q分别是ABC的边AC、AB上的动点，满足AP:PC＝AQ:QB,
证明BP与CQ的交点的轨迹是BC边上的中线。
证明 适当选取仿射变换把ABC变为等边A’B’C’，如图，由
A’P’:P’C’＝A’Q’:Q’B’, 易知B’C’Q’ ≌ C’B’P’ ,从而
∠X’B’C’＝∠X’C’B’，故X’在B’C’的中垂线上，即X’的轨迹是B’C’
上的中线。
因为三角形的中线是仿射不变性，故X的轨迹是BC边上的中线。
推论 由三角形的顶点向对边的三等分点引直线所得六直线围成的六边
形的对顶点的连线共点。
总结： 凡是在某个变换群下其叙述形式保持不变的问题，我们可以考虑
适当选用变换，将问题变为特殊情况，在特殊情况下进行证明，然后
根据不变性返回原问题。
例3 设A、B、C三点共线，D、E是直线AB外的两点且满足AD∥BE，
DB∥EC，证明ΔDBE的面积是ΔADB的面积与ΔBEC的面积的比例中项。
分析：因为共线是仿射不变的，平行性是仿射不变的，面积之比是仿射不
变的，于是整个命题在仿射变换下保持不变。
证明 适当选择仿射变换把梯形DBCE变为直角梯形D’B’C’E’，如图，则
①
②

③
∽

即 ④
由①、②、③、④得

因为面积之比是仿射不变量，所以原命题成立。
例3 设直线l交四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA于P、Q、R、S，AC交BD于O，OP、OQ、OR、OS分别交CD、DA、AB、BC于U、V、W、X，证明U、V、W、X四点共线。
分析：结合性是射影不变的，因此可考虑选用中心投影来解决问题。
证明 适当选取中心投影把四边形ABCD变为正方形A’B’C’D’,如图,则U’、V’、
W’、X’是P’、Q’、R’、S’关于O’的中心对称点，因为P’、Q’、R’、S’共线,所
以U’、V’、W’、X’共线。因为结合性在中心投影下不变，所以U、V、W、X
共线。
例4 证明有心二次曲线的垂直切线的交点的轨迹是圆（包括点圆、虚圆）。
分析： 有心二次曲线、垂直性、圆在正交变换下都是不变的，因此可考虑选
用正交变换来进行证明。
证明 适当选用正交变换，使有心二次曲线的方程为
①
而圆环点I（1，i，0）、J（1，-i，0）在正交变换下不变。
设垂直切线的交点为P（x，y），那么IP、JP关于①调和共轭，从而有

即
这是一个圆。因为圆在正交变换下是不变图形。所以有心二次曲线垂直
切线交点的轨迹是圆。
论 作 题

第 七 讲 参 数 法
解析法是通过坐标系的建立，借助于代数工具来完成证明的。坐标系的真正
含义是通过一个参照物，建立对象与数组之间的一一对应，这数组就称为该对象
的坐标。参数是一种非常重要的坐标形式，它是在两个变量的联系中引入一个间
接变量，从而使问题的研究更为简捷、便利。我们以曲线束为例来说明参数的应
用。
以前我们学过直线束，在平面解析几何中我们研究大量的二次曲线，和直线
束一样，我们可以考虑过若干个点的二次曲线的集合，这就是二次曲线束。
设二次曲线
那么过此二曲线的交点的所有二次曲线可以表示为
是参数）
当允许参数值取无穷大时，常把上式改写成

因为过平面上五点可唯一决定一条二次曲线，故过平面上四点可决定二次
曲线的一个单参数族。设四点为、、
，那么过此四点的二次曲线束可写为

在应用时上式有许多特例：
① 当B点无限接近于A时，AB变为切线，设其方程为
则过A、C、D且与相切的二次曲线束
的方程为 。
② 当B无限接近于A，C无限接近于D时，AB、CD都变为切线。故过
A、 C且与过A、C的两相异直线 ，
相切的二次曲线束为

例1 求过（1，0，1）、（0，1，1）、（0，-1，1）且以，
为切线的二次曲线方程。
解 因为（1，0，1）、（0，1，1）分别在两切线上，而过（1，0，1）与
（0，1，1） 的直线为 ，所以可设所求二次曲线为

把（0，-1，1）代入解得∶2∶－1， 于是二次曲线为

即 。
例2 设自点P至二次曲线S=0的切线的切点为、；自Q点至二次
曲线的切线的切点为、 。求证：、、、、P、Q在同一个二
次曲线上。
证明 因为P的极线 过、；Q的极线过、，
故可设所求二次曲线为

将P代入得 ，因，故 ∶∶－1 ，于是由
、、、、P确定的二次曲线为

显然Q在此二次曲线上，即、、、、P、Q在同一个二次曲线上。
例3 设 ；

解方程组
。
解 若退化，则，那么只要解方程组
和 即可。
若非退化，则从 解出，将
因式分解得 ，最后解方程组
和 即可。
其中 、 。
二次曲线束的问题可看成是参数坐标系的一种特例，在解决具体问题时，导入参数系，诸如在几何证题中导入辅助图形，在运动问题中导入时间参数，在数学分析和代数问题中引入辅助函数等，往往能使复杂的问题大为简化。
例3 设是圆的凸内接四边形，证明。
证明 过C作直径交圆于另一点，
连，过C作∥交
于。
B*
A*
D*
D
C
B
A
∥

又
∽

根据（1）知
例4． 设在上连续，且 存在，试证明。
证明： 取点列 ，由
存在， 。
取的子列，使，类似于上述证明可得
点列，使。重复这一过程，可得点列，使。 存在，。
在泰勒公式 中将视为参
数，分别取值1，2，……，n－1，代入上式得
因为系数行列式从上述方程组解出得

代数方程 的解公式的导出是参数应用的一个极好的例证，整个过程如下：
设，代入方程得 ，
整理得
令 （*） 那么
于是
即 是一元二次方程 的根，由此解得

所以
总结： 在上述过程中，（*）起着关键性的作用。对于（*）的导入我们可以这样思索：由于在问题的解决过程中我们引入了两个参数，而约束的条件只有一个，这样我们可以根据问题的需要而自由选择另一个约束条件，从而大大提高解决问题的灵活性。
方程的解公式的导出过程给我们的启示是：我们引入参数时，不一定要把参数的个数限制在“最少”，而是着眼于“灵活”与“便利”。这种思想在常微分方程的常数变易法中得到了淋漓尽致的发挥。为进一步理解和撑握这种思想，我们将常数变易法叙述如下：
已知的个线性无关解，求的通解。
设 ，那么
令 （1）
由 再求导得
再令 （2）

直到第次令

最后将 及其的各阶导数代入方
程得
由得到的方程组的系数行列式正好是线性无关的解函数
的朗斯基行列式从而不等于0，所以可解出

于是 所以所求的解为

上述求解过程中设了个参（函）数，约束条件只有一个方程，于是灵活地给出另外个条件，从而使求解可以顺利进行。
论 作 题
1． 一条河的对岸有一棵大树，不知其高，若认为河岸线是平行的，请利用测角器和皮尺测出河的宽度及大树的高度。
2． 实验材料：，证明 ≥
实验目的： 探求当时，
的一般结果。
实验要求： 证明你的结果。
3． 已知 >，求证：
≥，其中。
4． 设为一圆的直径。过任意作一直线，与圆上点的切线相交于点，设与圆交于另一点，过及作相交于点的直线使，∥，求点的轨迹。
5． 设是的内心，角的内角平分线分别与对边交于。求证： >。
6． 设求证：≥ 。

第 八 讲 知 识 的 综 合 应 用

人们要了解一个复杂的事物，总是先从事物的某些方面入手，进行考察、研究；然
后将从各方面了解到的信息进行综合、分析，设法得出事物的规律。其实学习的过程也
是如此，在学习的初期，我们是逐个地了解并掌握知识点的，为了将学到的知识用于实
践，解决实际问题，必须将各个知识点经过整合，综合应用，才能有效地发挥知识的作
用。知识的综合应用是培养创新能力有效途径。
例1 化简下列二次曲线方程并出坐标变换公式：
（1）
（2）
解 （1） 因为 ，所以曲线是中心型的。
由
即
解得
主轴方程为
和
即
原方程
取坐标变换式为
得标准方程为
（2） ，曲线是抛物型的。
因为，故主轴为

即
原方程
取坐标变换为

得标准方程为
。
将一般二次曲线化为标准型是一个比较繁复的过程，但由于我们采用了求对称轴、配方等方法，不仅使计算大为化简，而且还直接写出了变换式，从而使曲线图形的位置也随之确定。
例2 解方程 。
解 将原方程改写为
利用等比定理可得

由后等式得
积分之得
即 ， c是任意常数。

总结： 以上的解法巧妙之处在于应用了等比定理，从而避免了变量代换，使计算大为化简。这种方法在求解一阶方程 中具有普遍的应用价值。对于方程 （1） ， 我们讨论如何将上述运算一般化。由

令
即有 （*） ，由解得，再求得相应的，就可以将原方程化为直接可积分的方程。我们称（*）为微分方程（1）的特征方程，（*）的解称为特征根，称为对应于的特征向量。在此我们给出（1）的三种情形的解的形式，其证明从略。
（ⅰ） （*）有两个不同的实数根，对应的特征向量分别为，那么（1）的解为 是任意常数。
（ⅱ） （*）有相等实数根，由

及，将上式积分可得（1）的解

（ⅲ） (*)有共轭复根，（1）有解

例3. 求解下列方程
1． 2. ,
3.
解 1. 由解得，对应的特征向量分别为，所以方程的解为

2. 由解得，对应的特征向量为 ，所以
。
3. 由解得，所以方程的解为
即 。
对于形如 ( )的方程可通过变量代换化为。
综上所述，我们可通过变量代换，等比定理及线性代数理论的综合应用，使得方程（1）的解可通过代数运算而得到。
论 作 题
1． ① 证明