汕头市金平区第四届青年教师基本功比赛笔试初中数学.doc

汕头市金平区第四届青年教师基本功比赛笔试----------初中数学试题（命题人：余泳斌）
汕头市金平区第四届青年教师基本功比赛笔试
初中数学试题
参考编号
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一个
是正确的.）
1.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（　　）
A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣
C．x1=1+，x2=1﹣ D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣
2.下列命题中是真命题的是（ ）
A．两边相等的平行四边形是菱形 B．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3.某品牌电插座抽样检查的合格率为99%，则下列说法总正确的是（　　）
A．购买100个该品牌的电插座，一定有99个合格
B．购买1000个该品牌的电插座，一定有10个不合格
C．购买20个该品牌的电插座，一定都合格
D．即使购买一个该品牌的电插座，也可能不合格 第4题图
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，D在BC上，AD=BD，
E为AB的中点，AD、CE相交于点F，∠DFE等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，点E在BA的
延长线上，下列条件不能判定AD∥BC的是（　　）
A．∠ABD=∠BDC B．∠EAD=∠ABC C．∠ADB=∠DBC D．∠DAB+∠ABC=180°
6.若一次函数y=kx+b，当x的值增大1时，y值减小3，则当x的值减小3时，y值（　　）
A．增大3 B．增大9 C．减小3 D．减小9
7．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②•=1，③÷=﹣b，
其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，A、B分别是反比例函数、图象上的两
点，过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OB、OA，
OA交BD于E点，△BOE的面积为S1，四边形ACDE的面积
为S2，则S2﹣S1的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC
于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交
半圆O于R，则下列等式中正确的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11.多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=　_________　，n=　_________　．
12．七（1）班四个绿化小组植树的棵树如下：10，10，x，8，已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是_________棵．
13．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是_________．
14．如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为_________．

15．若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是_________．
16．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，
连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为_________．
三、解答题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
17.计算：．

18．先化简，再求值：（+）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．

19.如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
（参考数据：sin67.4°≈，cos67.4°≈，tan67.4°≈）

四、解答题（本题共3小题，每题7分，共21分）
20.某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）求该种干果的第一次进价是每千克多少元？（2）超市销售这种干果共盈利多少元？

21．在9年级毕业前，团支部进行“送赠言”活动，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发赠言条数的情况进行了统计，并制成了如图两幅不完整的统计图：
（1）求该班团员共有多少？该班团员在这一个月内所发赠言的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（2）如果发了3条赠言的同学中有两位男同学，发了4条赠言的同学中有三位女同学．现要从发了3条赠言和4条赠言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“送赠言”活动总结会，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

22．如图，已知点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数
（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D，若AB=3BD．
（1）求点C的坐标；
（2）以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，试判断该圆与x轴的位置关系．

五、解答题（本题共3小题，每题9分，共27分）
23.如图1，四边形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分别在AB、AD边上，已知AB=4．
（1）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，求证：BE=DG．
（2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BE交DG于点H，设BH与AD的
交点为M．
①求证：BH⊥DG；
②当AE=时，
求线段GD、BH的长．

24.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△BDA；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．

25.如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．

参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
D
C
A
B
B
D
A
A
一、 选择题

二、填空题
11.6，1．
12．10．
13．a≥﹣1．
14．2．
15.＜a≤1．
16.10．
三．解答题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
17.解：原式=-1×8+1+2﹣ 5分
=-5﹣． 6分
18．解：原式=[﹣]• 1分
=（﹣]• 2分
=• 3分
=， 4分
∵+|b﹣|=0，
∴a+1=0，b﹣=0，
解得a=﹣1，b=， 5分
当a=﹣1，b= 时，原式=﹣=﹣ 6分
19.解：在Rt△DBC中，sin∠DCB=， 1分
∴CD==6.5（m）． 2分
作DF⊥AE于F，则四边形ABDF为矩形， 3分
∴DF=AB=8，AF=BD=6，
∴EF=AE﹣AF=6， 4分
在Rt△EFD中，ED==10（m）． 5分
∴L=10+6.5=16.5（m） 6分
四、解答题（本题共3小题，每题7分，共21分）
20.解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元， 1分
则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意得，， 3分
解得，经检验是原方程的解． 4分
答：该种干果的第一次进价是每千克5元； 5分
（2） 6分

（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元． 7分
21．解：（1）该班团员人数为：3÷25%=12（人）； 1分
发4条赠言的人数为：12﹣2﹣2﹣3﹣1=4（人）； 2分
该班团员所发赠言的平均条数为：（2×1+2×2+3×3+4×4+1×5）÷12=3（条）． 3分
补图如下：
； 4分
（2）画树状图如下：
6分
由上得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率P=． 7分
22.解：（1）∵A（，3），AB=3BD，
∴D（，1），
∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴k=，
∴反比例函数的解析式为y=， 1分
设直线OA的解析式为y=k1x（k≠0），则3=k1，解得k1=，
∴直线OA的解析式为y=x， 2分
∴，解得或（舍去），
∴C（1，）； 3分
（2）过C点做CE垂直于OB于点E，
∵A（，3），C（1，），
∴AC==2， 4分
∵C（1，），
∴OC=2，
∴CA=2﹣2， 5分
∴CA=（﹣1），CE=， 6分
∵（﹣1）﹣=﹣＞0，
∴该圆与x轴相交． 7分
五、解答题（本题共3小题，每题9分，共27分）
23．（1）证明：∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG，
∵将正方形AEFG绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°），
∴∠BAE=∠DAG=θ，
在△BAE和△DAG中，，∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE=DG； 3分
（2）①证明：∵△BAE≌△DAG，
∴∠ABE=∠ADG， 4分
又∵∠AMB=∠DMH，∴∠DHM=∠BAM=90°，
∴BH⊥DG； 5分
②解：连结GE交AD于点N，连结DE，如图， 6分
∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°，
∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵AE=，
∴AN=GN=1，
∴DN=4﹣1=3，
在Rt△DNG中，DG==； 7分
∴BE=，
∵S△DEG=GE•ND=DG•HE，
∴HE==， 8分
∴BH=BE+HE=+= 9分
24.（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE， 1分
∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴∠DAE=∠APE=90°，
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，
∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，
∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，
∴△ADP∽△BDA； 3分
（2）PA+PB=PC， 4分
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等边三角形，∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，AB=CB，
∴PA+PB=PF+FC=PC； 6分
（3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==，
∵AD=2，PD=1，∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，
∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，
∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴∠PAD=∠PCA，
∴△ADP∽△CAP，∴=，∴AP2=CP•PD，
∴AP2=（3+AP）•1，
解得：AP=或AP=（舍去），
∴BC=AB=2AP=1+． 9分
.25．（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．
令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，
解得：x1=3+，x2=3﹣，
∵点A在点B的左侧，
∴A（3﹣，0），B（3+，0）． 2分
（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．
令x=0，得y=，
∴C（0，）．
∴CG=OC+OG=+1=，
∴tan∠DCG=． 3分
设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．
由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．
∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2， 4分
∴DE=EM+DM=3．
在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；
在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．
∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，
∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°． 5分
设AE交CD于点F，
∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），
∴∠AEO=∠ADC． 6分
（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：
由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，
要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小． 7分
设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．
∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．
∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5
当y=1时，EP2有最小值，最小值为5． 8分
将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，
解得：x1=1，x2=5．
又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．
∴P（5，1）．
此时点Q坐标为（3，1）或（，）． 9分
14