正弦定理(第一课时)教学设计.doc

《正弦定理》（第一课时）教学设计
李珊

1.教材地位分析
《正弦定理》是《解三角形》的学习内容比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。

2.学生现实分析
(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：
①勾股定理： ②三角函数式，如：
(2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：
① ②大边对大角，小边对小角
③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）
(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型

3.教学目标分析
知识目标：
(1)正弦定理的发现
(2)证明正弦定理的几何法和向量法
(3)正弦定理的简单应用
能力目标：
(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力
(2)通过向量把三角形的边长和三角函数建立起关系，在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力
情感目标：
(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣
(2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题
(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思

二、教学展开分析

1.教学重点与难点分析
教学重点是发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。
教学难点是用向量法证明正弦定理。虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。

2.教学策略与学法指导
教学策略：本节课采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——数学实验深入探究——证明猜想得出定理——运用定理解决问题”五个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；并贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案。
学法指导：教师平等地参与学生的自主探究活动，引导学生全员参与、全过程参与。通过启发、调整、激励来体现主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。

3.教学媒体选择与应用
使用多媒体平台（包括电脑和投影仪）辅助教学，让学生自己动手进行实验，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，既突出了知识的产生过程，遵循了学生的认知规律，让学生形成体验性认识，体会成功的愉悦，同时又可以增加课堂的趣味性，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

4.教学过程实施
本节课采用“发现学习”的模式，因而教学过程实施分为五个部分：
(1)结合实例提出问题
(2)观察特例提出猜想
(3)数学实验深入探究
(4)证明猜想得出定理
(5)运用定理解决问题

(1)结合实例提出问题

教学过程
设计意图
设置问题情境

从“海湾大桥”这一学生喜闻乐见的重大实际工程提出问题,营造宽松、和谐、主动积极的探究氛围，激发学习兴趣.
学生自主探讨
可能很多学生会这样考虑：选择某地C点，构造Rt△ABC，测出∠C与AC的长，即可算出AB的长
挖掘学生的原有认知，在原有知识和学习目标之间搭建平台.
教师提问
如果构造出Rt△ABC时，发现点C在海上（或者由于地形、建筑等因素），无法测出∠C与AC的长，那怎么办？
实际问题要考虑实际情况，锻炼学生的发散思维，培养学生解决实际问题的能力.
师生共同探讨
C
A
B
①不能构造出Rt△，那只能构造一般的三角形ABC
②这时，我们能够测出哪些量？
学生分析讨论后得出：可以测出
∠A、∠C与AC的长
③测出这些量后，怎样求出AB长？
4教师引导学生，将实际问题抽象为数学问题，再来求解
5可以作辅助线，构造Rt△来求解：作BD⊥AC于D点，在Rt△ABD中，BD=ABsin∠BAD= ABsin∠BAC，AD=ABcos∠BAD= －ABcos∠BAC，在Rt△BCD中，BD=(AC+AD)tan∠C，即可求出AB
通过师生互动、生生互动的教学活动过程，体现教师的主导作用，形成学生的体验性认识.
教师提问
教师指出，人们在实际中，如测量、航海、机械设计、几何、物理等方面，经常碰到有关三角形的问题，在解决这些问题时，如果每次都通过构造直角三角形来求解，显然有点麻烦！
接着提问学生：在任意三角形中，各边、角之间是否存在某种数量关系呢？若有，那么我们就可以直接利用，快速求解。
寻求解决问题的简便方法，符合人们的思维规律，同时也指出本节课的探究方向.
(2)观察特例提出猜想

教学过程
设计意图
师生共同观察特例

①在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系？
②学生容易想到三角函数式子：（可能还有余弦、正切的式子）

③这三个式子中都含有哪个边长？
学生马上看到，是c边，因为

4那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？

C
B
A
c
a
b

5得到的这个等式，说明了在Rt△中，各边、角之间存在什么关系？
（各边和它所对角的正弦的比相等）
6此关系式能不能推广到任意三角形？
以旧引新, 打破学生原有认知结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展. 从直角三角形边角关系切入, 符合从特殊到一般的思维过程.
提出猜想

猜想：在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即：

鼓励学生模拟数学家的思维方式和思维过程, 大胆拓广, 主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.

(3)数学实验深入探究

教学过程
设计意图
学生自己进行数学实验

让学生用几何画板进行数学实验：

改变三角形的某个顶点的位置（即改变了三角形的形状），观察表格中的数据的数值大小变化情况.

观察发现：在拖动三角形的某个顶点的过程中，表格中的数据的数值大小也随着变化，但是它们始终保持相等.
给学生探索的空间，使学生真正感觉到自己在“做数学”，激起学生的好奇心和探究欲望, 调动学生自主参与数学活动，使学生体会到数学系统演绎性和实验归纳性的两个侧面.
归纳总结
通过实验后，猜想成立，即有下面的结论：

在任意的△ABC中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即：

让学生明确到：某些规律对部分特例成立，但是对一般情况不成立.

(4) 证明猜想得出定理

教学过程
设计意图
师生总结
三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，对于直角三角形，我们前面已经推导出这个关系式是成立的，那么我们现在是否需要分情况来证明此关系式？
及时总结，使方向更明确，并培养学生的分类意识.
交流研讨辨析
①教师启发：刚才在直角三角形中已经证明了,
那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？
——可以构造直角三角形

②如何构造直角三角形？
——作高线（例如：作CD⊥AB，则出现两个直角三角形）
b
a
C
D
A
B
c

③将欲证的连等式分成两个等式证明，若先证明 ，
那么如何将A、B、a、b联系起来？

——在两个直角三角形Rt△BCD与Rt△ACD中，CD是公共边：

在Rt△BCD中，CD= ， 在Rt△ACD中，CD=

4如何证明 ？
——作高线AE⊥BC，同理可证.
把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题.
学生在合作交流、与人分享的探讨的氛围中倾听、思考、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人；提高分析能力.
教师启发学生开拓思维
①教师提问：还有其他的证明方法吗？在我们所学过的知识中，有没有什么知识，同时包含长度和三角函数？
——学生联想到平面向量

②在平面向量中学过哪些知识？
——主要有向量的运算：加法、减法、数乘和数量积运算

③在向量的这些运算中，哪种运算同时包含有长度和三角函数？
——数量积运算

4在向量的这些运算中，哪种运算与三角形有关？
——加法和减法满足三角形法则，如：

5这几个式子实质上是相同的，不妨以 为例，从这个式子出发，怎样才能出现同时包含长度和三角函数的式子？
——将式子的两边与某个向量作数量积
根据数量积的定义得：

6应将式子的两边与什么样的向量作数量积？
研究性课题具有开放性多元性.启发学生利用所学知识解决新的问题， 让学生对学过的各个知识融会贯通.通过多次提问，层层递进，逐步搭设台阶,让学生联系向量数量积的意义, 借助向量工具来证明,突出向量的工具性作用.培养学生思维灵活广阔性
学生自主探究
教师根据学生的探究情况，适当提示：
①目标是什么？从目标进行分析
要证 ，即证 ，即

与 对比，

发现 不见了！即应该有
那么，所作的向量⊥AB.
②的方向确定了，的模如何确定呢？
当向量⊥AB时，
可化为
即为 ，从而得证.
所以，的模可以是任意大小（非零）.
由于学生的层次不同，探究的结果不尽相同.教师视察学生探究情况，对于感到困难的部分学生可进行适当的提示.对层次较高的学生，给其“尽显其能”的机会.分层教学，提高课堂效果.
课外探究

若△ABC为钝角三角形，证明：
探究的空间由课堂延伸到课外.
师生共同总结
回顾我们刚才证明正弦定理的过程，
①用了什么证明方法？
②分别是如何证明正弦定理的？
——几何法：作三角形的高线，构造直角三角形
——向量法：作垂直于三角形一边的向量，利用数量积运算
解题后适时反思总结，理清思维，加深理解和认识，可提高解题的理论水平

(5) 运用定理解决问题

教学过程
设计意图
定理明晰
①正弦定理如何表述？
——在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

②表达式反映了什么？
——指出了任意三角形中，各边与对应角的正弦之间的一个关系式
从形式和内容进一步让学生明确正弦定理所反映出的规律
解决情境中的实例
C
A
B

题目：在△ABC中，已知C＝48.57º ， A＝101.87º ， AC＝2620m，
求AB.(精确到1米)

解：B＝180º－A－C＝ 180º－ 48.57º －101.87º ＝29.56º

让学生用正弦定理重新解题，感觉比原来的方法简便多了,使学生认为艰辛的付出有了回报,感受收获的喜悦,体验成功的乐趣.
欣赏规划设计的海湾大桥图片

将漂亮的大桥图片展现给学生，从感观上刺激学生，使学生从内心深处体验成功的喜悦，也促使学生对美好事务的向往，对未来的憧憬；把课堂气氛推向高潮.
定理反思总结
①我们刚才已经用正弦定理解决三角形中的一类什么问题？
——已知任意两个角和一边，可以求出另一角和另两边

②用正弦定理还可以解决三角形中的什么问题？
——已知两边和其中一边的对角，可以求出另一边和另两角
通过总结与思考，领悟思想方法，把握规律的本质，提高分析和解决问题的能力.
课堂练习
课本第5页练习：1.（2）， 2.（2）
充分利用课本资源；简单应用正弦定理.
课堂反思小结
通过这节课的研讨，请大家谈谈自己的体会.
(1)在这节课中，学习了哪些知识？
①正弦定理及其发现和证明
②正弦定理的初步应用
(2)包含了哪些数学思想和数学方法？
①运用从特殊到一般，一般到特殊的转化思想
②运用方程的思想
③运用“观察、猜想、实验、证明”解决问题的方法
4运用向量的方法
通过反思，深化学生知识理解、完善学生认知结构.
课后作业

(1)课后探究：
①类比Rt△ABC中的式子

猜想在任意三角形ABC中，比值

并证明你的结论.
②在△ABC中，求证

(2)课后习题：
①课本第5页练习：2.（1）
②通过上题，你认为在解三角形时，什么时候会出现两个解？
“课后探究”中的两个题回答了课本第3页中的问题“是否可以用其它方法证明正弦定理？”
“课后习题”让学生探讨解的个数问题，为下节课作准备.
三、教学结果分析
通过本节课的学习，结合教学目标，从知识、能力、情感三个方面预测可能会出现的结果：
1、学生对于正弦定理的发现、证明正弦定理的几何法、正弦定理的简单应用，能够很轻松地掌握；在证明正弦定理的向量法方面，估计有少部分学生还会有一定的困惑，需要在以后的教学中进一步培养应用向量工具的意识。
2、学生的基本数学思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高。
3、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同。对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。

设计说明
1、强调向量的工具性作用，加强学生应用向量来解决问题的意识。本课例从引入到应用，遵循数学源于生活又应用于生活的特征。学生通过经历“发现学习”的过程，提高数学的思考问题、解决问题的能力，贯彻研究性学习方法。
2、教学设计本着学生心理和发展特点原则，尽量符合学生的认知规律，时时关注学生的兴趣、体验、困惑、疑难等，有效地发挥教师的组织、引导、激励作用，尽可能使学生在多方面得到发展。
3、教无定法，贵在得法。“教”、“学”不是教师单方面的操作，所以在教学中要抓住由师生、生生间的思维的碰撞而产生的教学生长点，把调动学生的内驱力放在首位。同时，教师要尊重学生的需要，如：探究的需要、获得新体验的需要、获得认可和欣赏的需要等等，努力营造一个宽松、可接纳的课堂环境，让学生在民主愉悦的氛围中放飞思维，潜心探究，收回快乐。
4、注重教师的主导作用和学生的主体地位。本节课采用“发现学习”教学模式，我经过两年的教学实践认为：此教学模式重在通过教师创设恰当的问题情境，诱发学生的学习动机，激发学生主动探究问题的欲望，充分体验学习的全过程，真正实施“再创造”式的有意义学习；使数学教学真正成为数学活动的教学，长期下去，可以使学生养成主动思考、善于发现与提出问题的良好学习习惯，从而提升数学课堂教学成为促进学生发展的教育价值。

【板书设计】

课题
一、实例引入

二、观察特例
提出猜想

三、几何法

四、向量法

五、正弦定理

六、简单应用

七、课堂小结

八、课后作业