资源描述
,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第1章 复数与复变函数,1.1 复数,1.1.1 复数的概念,设 ，为两个任意实数，称形如 的数为复数，记为 ，其中 满足 ，称为虚数单位.实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，记为,，.,各数集之间的关系可表示为,1.1.2 复数的代数运算,设复数 ，定义 与 的四则运算如下：,加法：,减法：,乘法：,除法：,复数四则运算规律：,（1）加法交换律,（2）乘法交换律,（3）加法结合律,（4）乘法结合律,（5）乘法对于加法的分配律,复数运算的其它结果：,（1）,（2）,（3）若 ，则 与 至少有一个为零，反之亦然.,共轭复数的运算性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）为实数.,例1,化简 .,解,例2,设 ，求 及 .,解,所以,1.1.3 复数的各种表示、模与辐角,1.复数的几何表示,由复数 的定义可知，复数是由一对有序实数 惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为 ，纵坐标为 的点 表示复数 （如图1.1），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 与数 看作同义词.,图1.1,图1.2,2.复数的向量表示,复数 还可以用起点为原点，终点为,的向量 来表示（如图1.1），与 分别是 在 轴与 轴上的投影.这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系.,3.复数的模与辐角,复数的模 如图1.1中的向量 的长度称为复数 的模，记作 或 ，即,复数的辐角 设复数 对应的向量为 （如图1.1）,与实轴正方向所夹的角 ，称为复数 的辐角,记作 ，即,并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.,4.复数的三角表示式,称,为复数 的三角表示式.,5.复数的指数表示式,称 为复数 的指数表示式.,例3,求 和 .,解,例4,求 的三角表示式与指数表示式.,解,因为 ,所以,设,则,又因为 位于第II象限，,所以 ,于是,1.1.4.复数的幂与根,1.复数的乘幂,设 为正整数，个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即,若 ，则有,当 时，得到著名的棣莫弗 （De Moivre）公式,例7,求 .,解,因为,所以,例8,已知 ，求 .,解,因为,所以,2.复数的方根,称满足方程 的复数 为 的 次方根，记作,或记作 .,例1,解方程 .,解,因为,所以,可求出6个根，它们是,例2,计算,解,因为,所以,即,第1章 复数与复变函数,1.2 区域,1.2.1.复平面上的点集与区域,扩充复平面,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,有限复平面,不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平面.,邻域,平面上以 为心，为半径的圆：,内部所有点 的集合称为点的 邻域，记为 ，即,称集合 为 的去心 邻域，,记作 .,开集,如果点集 的每一个点都是 的内点，则称 为开集.,闭集,如果点集 的余集为开集，则称 为闭集.,连通集,设是 开集，如果对于 内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称开集 是连通集.,区域（或开区域）,连通的开集称为区域或开区域.,闭区域,开区域 连同它的边界一起，称为闭区域，记为 .,1.2.2 单连通域与多（复）连通域,1.简单曲线、简单闭曲线,若存在满足 ，且 的 ，使 ,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jordan）曲线；除 外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，,是一条简单闭曲线（如图1.9）.,图1.9,在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的,是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的 ，不是简单曲线，但 是闭曲线.,图1.10,图1.11,2.光滑曲线、分段光滑曲线,设曲线 的方程为,若 ，在 上可导且 ，连续不全为零，则称曲线 为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.,3.单连通域、多连通域,设 是复平面上一区域，如果在 内任作一条简单闭曲线 ，其内部的所有点都在 中，则称区域 为单连通区域；否则称 为多连通区域或复连通区域.,在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，它可以是由曲线 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域（如图1.12）.,图1.12,第1章 复数与复变函数,1.3 复变函数,1.3.1 复变函数的概念,定义1,设 为给定的平面点集，若对于 中每一个复数 ，按着某一确定的法则 ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 是定义在 上的复变函数（复变数 是复变数 的函数），简称复变函数，记作 .其中 称为自变量，,称为因变量，点集 称为函数的定义域.,例1,将定义在全平面上的复变函数 化为一对二元实变函数.,解,设 ，代入 得,比较实部与虚部得,，,例2,将定义在全平面除原点区域上的一对二元实变函数,，（）,化为一个复变函数.,解,设 ，则,将 ，以及,代入上式，经整理后，得,1.3.2 映射的概念,如果复数 和 分别用 平面和 平面上的点表示，则函数 在几何上，可以看成是将 平面上的定义域 变到 平面上的函数值域 的一个变换或映射，它将 内的一点 变为 内的一点 （如图1.13）.,图1.13,1.3.3 反函数与复合函数,1.反函数,定义2,设 定义在 平面的点集 上，函数值集合 在 平面上.若对任意 ，在,内有确定的 与之对应.反过来，若对任意一点 ，通过法则 ，总有确定的 与之对应，按照函数的定义，在 中确定了 为 的函数，记作 ，称为函数 的反函数，也称为映射 的逆映射.,2.复合函数,定义3,设函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，值域 .若对任一 ，通过 有确定的,与之对应，从而通过 有确定的 值与 对应，按照函数的定义，在 中确定了 是 的函数，记作 ，称其为 与 的复合函数.,第1章 复数与复变函数,1.4 复变函数的极限与连续性,1.4.1复变函数的极限,定义4,设函数 在 的某去心邻域内有定义，若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存在正数 ，使得适合不等式,的所有 ，对应的函数值 都满足不等式,则称复常数 为函数 当时 的极限，记作,或,定理1,设 ，则,的充分必要条件为:,且,复变函数的极限四则运算法则：,设 ，则,(1),(2),(3),例1,试求下列函数的极限.,（1）（2）,解,（1）,法1,设 ，则 ，且,得,法2,（2）,设 ，则 ，得,例2,证明函数 在 时极限不存在.,证,设 ，,而 ，.,考虑二元实函数 当 沿着 （为任意实数）趋向于 ，即,显然，极限值随 值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，在 趋向于 时的极限不存在，即得结论.,1.4.2 复变函数的连续,定义5,设 在点 的某邻域内有定义，若 ，则称函数 在点 处连续.,若 在区域 内每一个点都连续，则称函数 在区域 内连续.,定理2,函数 ，在 处连续的充要条件是 和 都在点 处连续.,定理3,在 处连续的两个函数的和、差、积、商（分母在 处不等于零）在 处仍连续.,例3,求,解,因为 在点 处连续，故,例4,讨论函数 的连续性.,解,设 为复平面上任意一点，则,当 时，在 无定义，故 在,处不连续.,当 落在负实轴上时，由于 ，在 从实轴上方趋于 时，趋于 ，在 从实轴下方趋于 时，趋于 ，所以,不连续.当 为其它情况时，由于,所以 连续.,定理4,若函数 在点 处连续，函数,在 连续，则复合函数,在 处连续（证略）.,最值性质,当 在有界闭区域 上连续时，则 也在 上连续，且可以取得最大值和最小值；,有界性,在 上有界，即存在一正数 ，使对于 上所有点，都有 .,例5,讨论 在闭圆域 ：上的连续性，并求 在 上的最大值与最小值.,解,因为 和 在 上连续，故 及 在 上都连续.,又因为 ，故它在 上的最大值与最小值分别就是 的最大值与最小值.,在 内，当 时，取到最大值 ；,当 时，取到最小值 ，即对任意,都有,特别指出，在曲线 上点 处连续的意义是,第2章 解析函数,2.1 复变函数的导数与微分,2.1.1 复变函数的导数,定义1,设函数 在包含 的某区域 内有定义，当变量 在点 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量,若极限,（或 ）（2.1）,存在，则称 在点 处可导，,此极限值称为 在点 处的导数，记作,或 ，即,如果函数 在区域 内每一点都可导，则称 在 内可导.,例1,求函数 的导数（为正整数）.,解,因为,所以，由导数定义有,例2,求 的导数.,解,由例1,2.1.2 可导与连续的关系,若函数 在点 处可导，则 在点 处必连续.,证,因为,知 ，故 在点 处连续.,2.1.3 复变函数的微分,定义2,称函数 的改变量 的线性部分,为函数 在点 处的微分，记作,或 ，即,当 时，所以 在点,处的微分又可记为,亦即,由此可知，函数 在点 处可导与可微是等价的.,2.1.4 导数运算法则,复变函数的求导法则（以下出现的函数均假设可导）：,（1）其中 为复常数；,（2）其中 为正整数；,（3）；,（,4,）,（,5,）,；,（6）；,（7）,是两个互为反函数的单值函数，且 .,.,例3,求下列函数的导数.,（1）,（2）,解,（1）,（2）,例4,设 .,解,因为,所以,第2章 解析函数,2.2 解析函数的概念,2.2.1解析函数的定义及其性质,1.解析函数的定义,定义3,如果函数 不仅在点 处可导，而且在点 的某邻域内的每一点都可导，则称 在点 处解析，并称点 是函数的解析点；如果函数 在区域 内每一点都解析，则称 在区域 内解析或称 为区域 内的解析函数，区域 称为的 解析区域.,如果 在点 处不解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点,则称 为 的奇点.,例1,讨论函数 的解析性.,解,由例2知，在整个复平面内处处,可导且 ，则由函数在某区域内解析,的定义可知，函数 在整个复平面上,解析.,2.解析函数的运算性质：,（1）若函数 和 在区域 内解析，,则 、在,内也解析；,（2）若函数 在区域 内解析，而,在区域 内解析，且 ，则复合函数 在 内也解析，且.,.,2.2.2函数解析的充要条件,定理,设函数 在区域 内有定义，则 在 内解析的充分必要条件为 在 内任一点 处,（1）可微；,（2）满足,上式称为柯西黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称CR条件（或方程）.,定理,函数 在区域 内解析的充要条件为,（1）在 内连续；,（2）在 内满足CR条件，,例2,讨论函数 的可导性，并求其导数.,解,由,得,则,显然，在复平面内 和 的偏导数处处连续，,且,即和处处满足CR条件且处处可微，所以，在复平面内处处可导且,.,例3,讨论函数 的可导性.,解,因为,得,显然，、处处具有一阶连续偏导数，但仅当 时，、,满足CR条件.因此，仅在点,处可导.,例4,证明 在复平面上不可微.,证,由于 ，于是，,从而,显然，对复平面上任意一点 ，都不满足CR条件，所以 在整个复平面上不可微.,例5,讨论下列函数的解析性.,（1）；,（2）；（3）.,解,（1）设,因为,且这四个偏导数处处连续，故,在复平面上处处解析.,（2）因为 ，,设 ，而,所以 在复平面上处处不解析,（3）因为,设 ，,由于,这四个偏导数虽然处处连续，但CR条,件仅在原点处成立，因而函数,在复平面内的原点处可导，其它点不可导，,可知该函数在复平面上处处不解析.,第2章 解析函数,2.3 初等函数及其解析性,2.3.1 指数函数,定义4,复变量的指数函数定义为,指数函数的一些重要性质：,（1）指数函数 在整个 的有限平面内都有定义，且处处不为零.,（2）,（3）指数函数是以 为周期的周期函数,（4）指数函数在整个复平面上解析，且有,（,2,）,2.3.2 对数函数,定义5,对数函数定义为指数函数的反函数.,若 ，则称 是 的对数函数，记作 ,对数函数是一个多值函数，每一个 对应着多个 的值.,若令 ，则上式中的多值函数便成为了单值函数，则称这个单值函数为多值函数,的主值，记作 ，即,例1,求 .,解,因为 的模为 ，其辐角的主值为 ，,所以,而,又因为 的模为 ，而其辐角的主值为 ，,所以,复变量对数函数具有与实变量对数函数同样,的基本性质：,（1）,（2）,（3）,（4）；,（5）对数函数的解析性,可以证明 在除去原点与负实轴的,平面内解析，所以 的各个分支也在除去原,点与负实轴的 平面内解析（因 的每一,个单值连续分支与 只相差一个复常数），且,2.3.3 幂函数,定义6,设 为任意复常数，定义一般幂函数为,它是指数与对数函数的复合函数，是多值函数(因 是多值的).,幂函数的几种特殊情形：,（1）当 为整数时，是与 无关的单值函数（为正整数）时，为 的 次乘方，当 （为正整数）时，,）；,）；,（2）当 为有理数 时（为既约分数，），,只有 个不同的值，即当 取,时的对应值，,因此，,.,（3）当 为无理数或复数时，有无穷多个值.,此时的 与根式函数 的区别是：是无穷,多值函数，而 是 值函数.,幂函数 的解析性：,（1）当 （为正整数）时，在整个复,平面内单值解析，且,；,（2）当 （为正整数）时，,在除原点的复平面内解析，且,（3）当 （为整数）时，由于对数函,数 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析，因而 的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内也是解析的，且,.,例2,求 .,解,例3,求 .,解,例4,求 .,解,所以 的三个值分别为,.,2.3.4 三角函数,定义7,设 为任一复变量，称,与 分别为复变量 的正弦函,数与余弦函数，分别记为 与 ，即,正弦函数与余弦函数的性质：,（1）与 都是以 为周期的周期函数，即,=,，,（2）为奇函数，为偶函数，即对任意的 有,（3）实变函数中的三角恒等式，在复变函数,中依然成立，如,（4）和 都是无界的.,因为,可见，当 无限增大时，趋于无穷,大，同理可知，也是无界的.,（5），在复平面内均为解析函数，且,其它四个三角函数，利用 和 来定义：,例5,求 .,解,根据定义，有,.,2.3.5 反三角函数,定义8,如果 ，则称 分别为 的反正弦、反余弦、反正切函数，分别记为,反三角函数与对数函数之间的关系：,（1）,（2）,（3）,本章学习目标,1了解复变函数积分的概念;,2了解复变函数积分的性质;,3掌握积分与路经无关的相关知识;,4熟练掌握柯西古萨基本定理;,5会用复合闭路定理解决一些问题;,6会用柯西积分公式;,7会求解析函数的高阶导数.,复变函数的积分,3.1 复变函数积分的概念,3.1.1积分的定义,本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。,3.1.2积分存在的条件及其计算方法,1)当是连续函数且是光滑(或按段光滑),曲线时，积分是一定存在的。,2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。,3.1.3 积分的性质,从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.,我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向.,3.1.3 积分的性质,1,2,3,4,例1计算 其中 为从原点到点 的直线段。,解 直线的方程可写成,又因为,容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值无论 是怎样的曲线都等于,例2计算 其中 为以 中心，为半径的正向圆周,为整数.,解:的方程可写成,所以,因此,例3计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，1）的线段：,解 :,例4计算 的值，其中 为沿从（0，0）到（1，1）的线段与从（1，0）到（1，1）的线段所连结成的折线。,解 :,3.2 柯西古萨（CauchyGoursat）基本定理,3.2.1 积分与路经无关问题,积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.,柯西古萨（CauchyGoursat）基本定理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即,3.2.3 几个等价定理,定理一 如果函数 在单连域内处处解析，那末积分 与连结从起点到终点的路线 无关.,定理二 如果函数 在单连域 内处处解析，那末函数 必为内的解析函数,并且,原函数的概念,下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首先引入原函数的概念：,结论：的任何两个原函数相差一个常数。,利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。,定理三 如果函数 在单连域内处处解析，为 的一个原函数，,那末,这里 为区域 內的两点。,例 5 计算,解：,例 6 计算,解：,例7 计算,解：,例8 计算,解：,3.3 基本定理的推广复合闭路定理,我们可以把柯西古萨基本定理推广到多连域的情况.,在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理.,例9计算 的值，为包含圆周 在内的任何一条正向简单闭曲线。,解:,3.4 柯西积分公式,定理(柯西积分公式)如果函数 在区域 内处处解析，为内 的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 ,为 内的任一点,那末,(3.4.1),公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在 内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示.,例10计算 (沿圆周正向),解 由公式(3.4.1)得,例11计算 (沿圆周正向),解 由公式(3.4.1)得,柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具,(见3.5解析函数的高阶导数).,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,3.5 解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理,定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:,其中 为 在函数的解析区域 内围绕 的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全含于 .,例12 计算 其中 为正向圆周:,解:由公式(3.5.1)得,第4章级数,本章学习目标,了解幂级数的概念;,会求泰勒级数;,会把函数在展开成幂级数;,知道幂级数和罗伦级数的区别与联系;,会求函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数.,4.1 幂级数,4.1.1幂级数的概念,同实变函数一样,关于幂级数也有:,1.收敛圆与收敛半径,2.级数在其收敛圆内有如下性质:,1)可以逐项求导.,2)可以逐项积分.,3)在收敛圆内,幂级数的和函数是解析函数.,例1求 的收敛半径(并讨论在收敛圆周上的情形),解:因为,所以,收敛半径,即原级数在圆内 收敛,在圆外发散.在圆,周 上,原级数收敛,所以原级数在收敛圆内和收敛圆周上处处收敛.,4.1.2泰勒级数,我们经常利用泰勒展开式的唯一性及幂级数的运算和性质(级数在其收敛圆内可以逐项求导,可以逐项积分)来把函数展开成幂级数,即利用间接的方法,把函数展开成幂级数.,4.1.2泰勒级数,定理一 若函数 在圆盘 内解析,则 在该圆盘内可展成的幂级数,这种展式是唯一的,且为,(4.1.3),或,其中,这个公式(4.1.3)称为 在 的泰勒展开式,它的右端称为 在 的泰勒级数,称为泰勒系数.,利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数,把函数展开成幂级数.,(4.1.4),(4.1.5),(4.1.6),(4.1.7),1.只要函数 在圆盘 内解析,就可在 展开成泰勒级数;,2.此时泰勒级数,泰勒展开式,的幂级数为同意语;,3.若 在 平面内处处解析,则;,4.若 只在区域 内解析,为内 的一点,则 在 的泰勒展开式的收敛半径 等于 到的 边界上各点的最短距离;,5.若 在 平面上除若干孤立奇点外内处处解析,则 等于 到最近的孤立奇点的距离.,例2把函数 展开成 的幂级数,解:函数 在 内处处解析,由公式(4.1.7),把上式两边逐项求导,即得所求的展开式,罗伦级数,定理二 设函数 在圆环域 ,内处处解析,那末,(4.2.1),其中,(4.2.2),4.2 罗伦级数,幂级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域:内的罗伦级数也具有.,1.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项求导,2.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项积分,3.在收敛圆环域内的罗伦级数的和函数是解析函数,求罗伦展开式的系数,罗伦展开式的系数 用公式(4.2.2)计算是很麻烦的,由罗伦级数的唯一性,我们可用别的方法,特别是代数运算,代换,求导和积分等方法展开,这样往往必将便利(即间接展开法).,同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不同;由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同.,例3把函数 展开成 的级数,解:因为,所以,例4把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.,解:因为,所以,例5把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.,解:因为,所以,例5把函数 在收敛圆环域 内展开成罗伦级数.,解:因为,所以,通过例3、例4、例5可知同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不同;由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同.,第5章 留数,本章学习目标,1.了解孤立奇点的概念;,2.会求可去奇点,本性奇点;,3.熟练掌握极点的求法;,4.会求留数;,5.熟练掌握留数定理;,6.会用留数定理计算积分;,7.了解留数的一些应用;,5.1 孤立奇点,5.1.1孤立奇点的概念,5.1.2 孤立奇点的分类,根据展开的罗伦级数的不同情况将孤立奇点作如下分类:,1.可去奇点,2.极点,3.本性奇点,5.1 孤立奇点,5.1.1孤立奇点的概念,定义1 如果函数 在 处不解析,但在 的某个去心邻域 内处处解析,那末 称为 的孤立奇点.,1可去奇点,定义2 如果罗伦级数中不含 的负幂项,那么孤立奇点 称为 的可去奇点.,这时 在它的孤立奇点 的去心邻域内的罗伦级数实际上就是一个普通的幂级数,例如 是 的可去奇点,因为 在 的去心邻域内的罗伦级数为,2极点,定义3 如果 的罗伦级数中只有有限多个,的负幂项,且其中关于 的最高幂为,即,那么孤立奇点 称为 的 级极点.,3本性奇点,定义4 如果罗伦级数中含有无穷多个 的负幂项,那么孤立奇点 称为 的本性奇点.,5.1.3 函数的零点与极点的关系,定理(1)如果 是 的 级零点,则 是的 级零点;,(2)如果 是 的 级极点,则 是 的 级零点,反过来也成立.,例1试求 的孤立奇点,解 因为,其中 在 解析,并且 似乎 是函数 的二级极点,其实是一级极点.,由此可见,我们在求函数孤立奇点时,不能一看函数的表面形式就急于做出结论.,例2试求 的孤立奇点,解:因为,其中 在 解析,并且 似乎 是函数 的三级极点,其实是二级极点.,由此可见,我们在求函数孤立奇点时,不能一看函数的表面形式就急于做出结论.,5.2 留数,5.2.1 留数概念,5.2.2 留数定理,定理一(留数定理)设函数 在区域 内除有限个孤立奇点 处处解析.是 内包含诸奇点的任意一条正向简单闭曲线,则,(5.2.2),一、如果 是 的可去奇点,那末,因为此时 在 的展开式是泰勒展开式,所以.,二、如果 是 的本性奇点,那末,那就往往只能用 在 展开成罗伦级数的方法求,三、如果 是 的极点,我们有以下三个计算留数的规则.,规则1 如果 是 的一级极点，那末,（5.2.3）,三、如果 是 的极点,规则2 如果 是 的 级极点，那末,（5.2.4）,规则3设 及 在 都解析,如果,那么 是 的一级极点，,而,(5.2.5),例3计算积分 为正向圆周:,解:根据规则1,有,同理,因此,例3我们也可用规则3来求留数:,因此,例4求 在 处的留数.,解:应用规则3,*5.3.1 在无穷远点的留数,关于在无穷远点的留数的计算,我们有以下的规则:,规则4,(5.3.3),*5.4.1 留数在定积分计算上的应用,复变函数是一门工程数学，在工程技术上有许多应用,复变函数在稳定平面流场和静电场以及在工程技术上都有许多用,由于涉及到许多专业知识,因此我们在此只简述一点留数在定积分计算上的应用.,在数学以及实际问题中往往要求出一些定积分的值,而这些定积分中,被积函数的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来;有时即便可求出原函数,计算也往往比较复杂.,利用留数定理,来计算这些类型的定积分,只需计算这些解析函数在孤立奇点处的留数;这样一来就把问题大大简化了.,第6章 傅立叶变换,6.1 傅立叶积分,6.2 傅立叶变换,6.3 函数及其傅立叶变换,6.4 傅立叶变换的性质,6.1 傅立叶积分,6.1.1主值意义下的广义积分,定义1,设函数 在实轴的任何有限区间上都,可积.若极限 存在,则称在主值,意义下 在区间 上的广义积分收敛,记为,例1,计算 为实常数）,解,我们可以证明,为实数),令 则,例2,设,计算积分,解,上式(1)称为函数,的复指数形式的,傅里叶积分公式,而等号右端的积分式称为,的傅里叶积分(简称傅氏积分).,从例2可以看出,函数 存在如下关系,若函数 在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：,(1,）连续或只有有限个第一类间断点,(2),至多有有限个极值点）,并且在,上绝对可积则有：,6.1.2 傅氏积分存在定理,为连续点,为间断点,也叫做 的,傅氏积分表达式,6.2.1 傅立叶变换的概念,6.2 傅立叶变换,叫做,的,傅氏变换,象函数,可记做,=,叫做,的,傅氏逆变换,象原函数,=,例3,求函数 的傅氏变换,解,例4 求函数,的傅氏变换,和傅氏积分表达式.,解,若 上式右端为,于是,6.2.2 傅氏变换的物理意义频谱,称为,的,频谱函数,其模,称为,的,振幅频谱,可以证明,频谱为偶函数,即,6.3 函数及其傅立叶变换,在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.,6.3.1 函数的定义,（1）看作矩形脉冲的极限,（2）函数的数学定义,（3）物理学家狄拉克给出的定义,满足下列两个条件的函数称为 函数：,1,函数,用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图,o,1,如下图,o,定义为满足下列条件的函数,6.3.2 函数的性质,（,1,）对任意的连续函数,都有,（,2,）,函数为偶函数,即,（,3,）,其中,称为单位阶跃函数,.,反之,有,.,6.3.3 函数的傅立叶变换,由于,=,可见,=1,-1,1=,.,与常数,1,构成了一个傅氏变换对,即,与 也构成了一个傅氏变换对,即,6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对,例,5,可以,证明单位阶跃函数,的傅氏变换为,的积分表达式为,例6 证明,的傅氏变换为,证明,=,所以,例,7,求正弦函数,的傅氏变换,可以证明,6.4 傅立叶变换的性质,6.4.1 线性性质,=,设,为常数则,=,6.4.2 对称性质,若,=,则以,为自变量的函数,的象函数为,即,6.4.3 相似性质,=,若,则,6.4.4 平移性质（1）象原函数的平移性质,若,=,为实常数,则,例,8,求,解 因为,所以,（2）象函数的平移性质,若,=,为实常数,则,例9 已知,求,解,显然,一般地,且 则,6.4.5 微分性质（1）象原函数的微分性质,若,=,一般地,若,则,例10 证明,证明 因为,所以,一般地,（2）象函数的微分性质,若,=,则,或,例11 已知,求,解,6.4.6 积分性质,若,=,则,在这里 必须满足傅氏积分存在定理的条件,若不满足,则这个广义积分应改为,6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理,1,上的卷积定义,若给定两个函数,则积分,称为函数,的卷积,记为,卷积满足下列性质,例12,对函数,计算卷积,解,所以,2傅氏变换的卷积定理,=,=,(1)若,则,=,=,(2)频谱卷积定理,则,若,第7章 拉普拉斯变换,7.1 拉普拉斯变换,7.2 拉普拉斯变换的基本性质,7.3 拉普拉斯逆变换,7.4 拉普拉斯变换的应用,在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为,7.1 拉普拉斯变换,7.1.1拉普拉斯变换的概念,定义1,设函数 当 有定义,而且积分,是一个复参量）,我们称上式,为函数,的拉普拉斯变换式,记做,叫做,的,拉氏变换,象函数.,叫做,的,拉氏逆变换,象原函数,=,的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数,7.1.2 拉普拉斯变换存在定理,若函数,满足下列条件,在,的任一有限区间上连续或分段连续,时,当,时,及,使得,成立,则函数 的拉氏变换,在半平面 上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 为解析函数,7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换,例2,求单位阶跃函数 的拉氏变换,解,例1,求单位脉冲函数 的拉氏变换,解,例3,求函数 的拉氏变换,解,例4,求单位斜坡函数 的拉氏变换,解,例5,求幂函数 的拉氏变换,解,当,为正整数时,例6,求正弦函数,的拉氏变换,解,则,所以,即,同理可得,如,是周期为,当 在一个周期上连续或分段连续时,则有,7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换,这是求周期函数拉氏变换公式,的周期函数,即,可以证明:若,7.2 拉普拉斯变换的性质,7.2.1 线性性质,设,为常数则,7.2.2 相似性质,若,=,则,7.2.3平移性质（1）象原函数的平移性质,为非负实常数,则,例7 求函数,的拉氏变换,解 因为,所以,若,（2）象函数的平移性质,为实常数,则,若,(为正整数).,例8 求,解 因为,所以,则,7.2.4 微分性质（1）象原函数的微分性质,一般地,若,特别地,当,时,可以证明,（2）象函数的微分性质,若,则,从而,例9 求函数,解 因为,同理,所以,7.2.5 积分性质,若,则,（,1,）,象原函数的积分性质,一般地,且积分 收敛,若,则,（,2,）,象函数的积分性质,一般地,或,推论,若,则,且积分 收敛,例,10,求,解 因为,所以,顺便可得,7.2.7 拉氏变换的卷积与卷积定理,(1),上的卷积定义,若函数,满足,时都为零,称为函数,在 上的卷积.,则可以证明卷积,例11,对函数,计算 上的卷积,解,(2)拉氏变换的卷积定理,若,则,例12 已知,为正整数),求在 上的卷积,解 因为,所以,7.3 拉普拉斯逆变换,求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.我们简单介绍留数法和查表法.,根据拉普拉斯变换的定义,右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.,2.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换,一些常用函数的拉氏变换,拉氏逆变换的性质,例13 已知,求,解,所以,例14 已知,求,解,所以,例15 已知,求,解,所以,例16 已知,求,解,所以,2.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换,7.4 拉普拉斯变换的应用,7.4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法,利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系,数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:,（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;,（2）从象函数的代数方程中解出象函数;,（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.,例,17,求微分方程,满足初始条件,的解,解,设,对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得,解得,所以,2.4.2 线性系统的传递函数,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
