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题组教学的认识与实践
塘厦中学 喻卉寅
【摘要】 本文从教学实践中探讨题组教学的作用
【关键词】 题组教学
1 问题提出
我们教师总是希望学生在接受新知识后能够做到“举一反三”，所以教师也经常以此作为教学的目标。但在实际教学过程中并不容易做到，常有学生说作业中老师讲过的原题可以做，但经过略微变化的题目就做不了。究其原因在于学生还不具备知识的迁移和变通能力，所以只能死板地套用老师的方法，而并不能去灵活运用。在笔者的教学实践中，发现采用题组的教学方式能够在一定程度上帮助学生去更好地理解和运用一些解题方法，从而突破部分难点问题。
2 题组教学的认识
2.1 什么是题组教学
题组教学是我们数学老师在课堂上经常采用的一种教学方式。所谓“题组教学”是指在教学过程中将一组解决方法基本相同，但题目呈现形式不同的题目由易至难逐步展开，从而使学生掌握和领悟一类题型解决方法的教学方式。
2.2 题组教学的优点
题组教学相较于普通教学方式有几个明显优势：1、题组教学符合学生的认知规律。学生对新知识的接受和掌握总是从易到难，从最初的模仿到理解再到创新。题组教学正是由最基础的题型出发，通过条件的变换来提升难度，给学生搭建台阶，步步为营；2、题组教学中各个题目之间关联紧密，逻辑性很强，对学生系统性思维的形成有较大好处。荷兰数学家弗赖登塔尔认为“形式化是数学教育的特征”，必须发展到抽象层次上的思维，而题组教学正是通过前后几个问题的联系以及解决这些问题方法的变化，从而上升至更高层次思维，而不至于像普通教学方式中题目的跳跃性较大，学生思维转换上存在一定障碍，可能会有部分同学上题还没弄明白，又要到属于另一种题型的下一题去了；3、题组教学的目标更集中，学生能够从一系列的题目中，理解老师讲课的意图和目的，从而掌握一类问题的解决思路与方法；4、题组教学看起来是每次让学生跨一小步，实则在解题方法的形成上对学生提出了更高的要求，需要学生自主思考，对一组问题的解决方法进行提炼，对学生归纳能力的提高有不小帮助；5、题组教学还符合因材施教的教学理念。由于随着条件变化，题目的难度在不断加大，学习水平较低的同学只需要掌握基本变化就可以，而水平较高的同学可以对复杂的变化进一步理解。
2.3 题组教学的核心
题组教学在实施过程中的核心就是选题，在选题上有几点值得注意：题型必须具有代表性，是学生在做题过程中会经常遇见的问题，这会让学生感觉到老师教学的针对性；其次，解题方法具有典型性和普遍性，能够让学生易于接受，再次接触时可以立刻想到，教学时的特殊方法可以略去，只讲所有问题的通法；选题时要注意各个题目之间的逻辑联系，能够让学生在解题过程中较容易看到题目的联系，从而将上一题的方法迁移至下一题，最后形成归纳总结。
3 题组教学的实施
以下结合本人的教学实践，介绍几种题组的合成方式。
3.1 在同一知识点内，改变条件，方法微调，从属设计
这是笔者在教学过程中最常用的题组合成方式。从最基础的问题出发，将题目中的条件一次次改变，可以是条件数据变化，可以是条件结论互换，也可以是所求的变化，它们都由一个简单问题出发，相互间有从属关系。
例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系，如果相交求出它们的交点坐标。
本题是课本上的一道例题，较为简单，学生们通常都会使用联立方程组的代数方法和利用圆心到直线距离与半径比较的几何法去解决问题。
在学生解决该题后，师：“在求出两交点坐标后，进一步可以求出什么？”，
生：“弦长。”
师：“如果将直线方程中的6改成5呢？请大家尝试计算弦长。”
学生通过实践很快发现此时，两交点坐标的求解需要用到求根公式，如果再将求出的坐标套入两点间距离公式，计算将会比较复杂。
师：“有其它方法解决吗？”
善于利用图形的学生很快会发现半径、圆心到直线距离和弦长的一半构成了直角三角形，可以很快利用勾股定理，求出弦长一半，再乘以2就能得出弦长。但仍有部分同学不能想到，需要老师的提示“刚刚的问题根源在于解一元二次方程，也就是例1中的代数法，为什么不想想几何法呢？”，再有些许时间绝大多数同学都能发现利用勾股定理求解。
在上面的例子中，仅仅将题目中一个数据进行了改变，就让学生从自己的想法中发现问题，并进一步得到了解决这类的常用方法，而这仅仅只是一个开始：
师：“在上题中，我们已知直线与圆的方程，求出了弦长。如果我们将条件与结论互换，也就是已知圆的方程和弦长，能否求出直线方程呢？”
例2 已知点和圆，过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程。
尽管已经有了例1作铺垫，但是学生对于该题的求解仍然存在以下三个问题：第一，想不到要设出直线方程，或是不知如何设直线方程；第二，用斜截式设直线方程，出现 两个参数，又不知利用点坐标消参；第三，不敢带着直线方程中出现的字母进行运算。故做以下设计：
师：“与上题相比，什么条件没有了？”
生：“直线方程。”
师：“如果你想用上题的方法，就必须要有直线方程，而这题所求就是直线方程，所以应该…”
生：“设出直线方程。”
师：“常用直线方程的形式有哪些？”
生：“点斜式和斜截式。”
师：“本题已知直线过点，并且知道点坐标，那么应该用谁？”
生：“点斜式。”
在解决设直线方程问题后，就只有计算了，由于本题并无太多运算技巧，所以可以多鼓励学生带着字母进行相应运算。
师再问：“从例2来看，我们还可以如何改变条件来得出新的题目？”
生：“可以已知直线方程与弦长，求圆的方程。”
师：“非常好！一起来看看例3”
例3 求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程。
在例1和例2的基础上，很多学生对例3已经有了大概的方向，稍微多给点时间学生已经能够完成例3，并且从三道题的解法中学生可以很快发现条件的改变其实就是半径、圆心到直线距离和弦长的一半构成的直角三角形中三边的改变，始终都是三边中“知二求一”。
在以上的题组设计中，主要是对条件的变化带来题目呈现形式上的改变而并未改变解决题目的本质方法，学生能够从中比较容易窥视出出题形式的套路，从而掌握题型的解决方法。然而我们的题组并未就此结束。
师：“例2中出现了两解，怎么从图形上解释？”此时学生不易从图形中发现两解的合理性，需要老师将图形做出，他们就能很快发现解出的两条直线其实关于点和圆心的连线对称。
师：“如果将两直线的夹角慢慢增大，弦长会发生什么变化？”
生：“变小。”
师：“最后会怎样？”
生：“会变成两条切线。”
师：“很好。那我们现在就来求这两条切线的长度。”
例4 已知点和圆，过点的直线与圆切于点，求切线长 。
这时候学生们已经能够比较快地想到利用前面题目中的直角三角形去解决问题了。
再次做出改变，师：“如果是要求切线方程呢？”
学生不假思索地回答：“和前面例2的方法一样啊！”
师：“有几解？”
生：“两解！”
师：“那请大家算一算这两解分别是什么？”
学生经过计算发现只有一解，此时需要提示学生再次利用图形去试一试，学生能够很快发现其实应该有两解，但其中一解的斜率不存在。
例5 求圆 在点 处的切线方程。
学生解完后发现这次真的只有一解，“为什么？两题中点的位置有什么不同？”，学生能够发现前一题点在圆外，而后一题点在圆上。这时可以告诉学生“过某点”和“在某点”求切线方程的不同之处。
师：“如果我们将点移到圆内，此时只有弦而没有切线了，来看看又会怎么出题。”
例6 已知点和圆，求过点的最长弦长和最短弦长。
至此整个题组结束。
在上面的6道题构成的题组中，前三题是从条件和结论的互换角度去设计，而后三题是将点的位置不断进行变化，从而出现不同情况，而例3到例4的衔接是利用图形的变化来实现的。在逻辑联系上环环相扣，一步步营造出新的环境，又没有跑出学生的知识水平以外，让学生“跳一跳，够得着”。通过这一组题的联系，学生对弦长和切线问题会有较深刻的认识。
3.2 跨章节的平行设计题组
除了能像上例一样在同一知识点内采用题组教学外，跨章节的知识中题组一样可以收到不错的效果。我们不妨再来看一例。笔者曾在高三的复习课中设计过以下题组：
例7 已知为方程 的两根。求
应该来说对高三同学来说这道题比较简单，顶多就是在第（2）问时，对于变形 不够熟练，但稍作讲解后学生都能回忆起来。其实本题中主要是涉及到两者和，差，积之间的关系，而联系它们的手段就是“平方”。于是就有了下面这题。
例8 已知 ，求
这题与上题的方法完全相同，不同之处在于考察了三角公式，另外在某些题目中需要注意角的范围对式子符号的影响。
例9 已知椭圆方程，焦点分别为，椭圆上有一点，满足 ，求的面积。
本题中由椭圆定义和垂直条件分别列出，再将前一式的平方减去后一式即可求得面积，运算上与前两题如出一辙，同样是通过平方将两者和与积联系在一起，但在形式上又进一步，需要自己列出式子，而并非像前两题那样式子已经给定，只需运算。
例10 已知样本9,10,11，，的平均数是10，标准差是，求的值。
这是一道以统计为背景的题目，并不常见，但本题中却不易看出与上面题目的联系。由平均数和标准差公式得出 ，之后大多数学生是利用代入消元法，从①式得出，再将其代入②式求解出方程组；而其实只要将②式展开，得到式子 ，通过观察我们可以很容易发现方程组中同样是涉及了两者的和与积的关系，故只需将①式平方后代入即可直接得出的值。
在上面的题组中，四个例子都涉及到两者和，差，积之间的转换关系，但知识点的跨越却比较大，题目之间是平行关系，仅对这些知识点而言，学生在学习过程中时间跨度大，往往容易学了后面，忘了前面，所以就是在函数中掌握了一元二次方程中两根的和，差，积关系，当在椭圆中再次碰见类似关系时也未必能够回忆起来。而通过题组的形式，将不同章节中解决方法相同或相似的题目放在一起，就能够在学生的头脑中形成强大的冲击，从而融汇进自己的知识体系中。
3.3 从属与平行的综合运用
除了在一个知识点上和跨章节使用题组外，有时我们也可以将两者综合起来。
例11 数据的方差为，平均数为，求数据的标准差。
这道题对学生而言有一定难度，学生看见这题甚至不知道如何切入，主要是对方差的公式不熟悉，另外运算也是问题。所以我们设计题组时可以把抽象问题具体化，不妨先求以下这题：
例12 数据的方差为，则数据的方差为多少？
这题的形式就比较“亲民”，学生心理上负担丢掉了，也容易由方差的公式算出结果，为上一题的解决打下基础。解决上面两题后，可以再让学生试试下面这题：
例13 （1）已知等差数列的公差为，求等差数列的公差；（2）已知等比数列的公比为，求等比数列的公比。
这组题的设计是出于两方面考虑：一是题目的呈现形式几乎一样，都是这个数；二是这两题中利用公式定义以及运算上的技巧也相同，所以学生在过渡时不会有太大困难。
4 一点思考
以笔者的教学实践经验来看，采用题组教学，需要多方寻找资料，并勤加思考，必要时去改编一些题目，达到自己想要的教学目的。而题组教学也为一些学习落后的同学搭建了台阶，让他们也在数学上体会到成功感，从而提升他们学习数学的信心，迈向更高的平台。题组教学的备课所耗费的时间与精力确实会比普通教学要多，但想到看见学生成功的喜悦，这些付出都是值得的。
【参考文献】
[1]人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书•数学必修2.北京：人民教育出版社，2007，2
[2]人民教育出版社数学室编著.普通高中课程标准实验教科书•数学必修3.北京：人民教育出版社，2007，2
[3]张奠宙，李士锜，李俊.数学教育学导论，2003，4