完全平方公式宋振东.docx

从特殊到一般再到特殊 数学的联想力和创造力
杨辉三角
（一）精准计算，探究规律。
1、应用公式或多项式乘法法则计算填空，并按字母a进行降幂排列。
(a+b)1＝a+b 第（1）行
(a+b)2＝a2+ ab+b2 第（2）行
(a+b)3＝a3+ a2b+3 +b3 第（3）行
(a+b)4＝ a4+ a3b+ a2b2+ ab3+ b4 第（4）行
(a+b)5＝ 第（5）行
第（6）行
第（7）行
2、把上面等式右面每一项的系数排列成行，找出规律，写出第7、8行数字。
1 1 第（1）行
1 2 1 第（2）行
1 3 3 1 第（3）行
1 4 6 4 1 第（4）行
1 5 10 10 5 1 第（5）行
第（6）行
第（7）行
（二）数形偶遇，交相辉映。
1、上述三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书（1261年），在我国通常称为杨辉三角形，法国数学家帕斯卡发现这一三角形是十七世纪的事，比杨辉晚了五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。小组合作交流，观察上面两图填空：
（1）三角形的两条斜边上都是数字____，而其余的数都等于它肩上的两个数字______ 。
（2）(a+b)n 的展开式共有n+1项，每项的次数_____；若按照字母a的降幂排列（也是按b的升幂排列），则各项的系数就是杨辉三角中第___行。
2、 请在原图上写出杨辉三角第6、7行；并据此写出(a+b)6 和(a+b)7的展开式 。
（三）赋值归纳，探究展示。
1、 从展开式到杨辉三角是删掉字母a和b，这样做的本质是让a和b分别取 ；顺便能发现什么结论？（写出过程并小组讨论）

2、杨辉三角从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第二行为121）都是上一行的数与____的乘积。由此可得出114=_________；由第___行可写出116=____ _____+
。你能说明其中的道理么？（写出过程并小组讨论）

（四）反馈升华，跨越联想。
1、 能求出(a+b+c)2和(a+b+c)3的值么？画出方案。

2、
3、
4、 已知，求值。
5、 请把上面思考过程写在下面。
1、 利用赋值法直接写出25-5×24+10×23-10×22+5×2-1＝ 。（合作交流，小组展示）

（五）悬念小结，深度求索。
1、 杨辉三角形和二项式展开式系数的对应关系是“偶遇”还是有“必然”？
图　7.1
1
1
1
1
4
10
20
1
1
2
3
4
3
6
10
35
1
1
5
15
1
1
5
15
35
6
21
126
70
56
2、 借鉴平面直角坐标系将杨辉三角放进去。平面直角坐标系里，杨辉三角成了直角三角形，能把二项式字母也放到坐标系中么？是否更方便求到(a+b)n 展开式？

3、小明从家里到学校，（只能从西到东，从南到北走）问有几条路可以走？

4、
通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？还有什么疑问？作为我国古代数学重要成就之一的杨辉三角还有更多有趣的规律，相信大家一定有极高的热情和严谨的态度去探究与发现杨辉三角的奥妙之处。把收获写在下面：

（六）作业布置（研究性学习）
活动主题：杨辉三角中的奥妙.
活动目标：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.
活动方案步骤：查阅资料，收集信息；独立思考，发现规律，猜想证明；合作探究，小组讨论，形成初步结论；与指导老师及其他小组成员交流展示；撰写研究性学习报告。
一、学习目标
1．建立“杨辉三角”与二项展开式之间的直觉，并探索其中的规律，感受我国古代数学成就和数学美。
2．通过研究(a+b)n 的展开式的规律，探索杨辉三角与其他数学对象之间的联系，培养观察能力和归纳推理能力。
3．通过体验“发现规律、寻找联系、探究验证、运用迁移、拓展质疑”的学习过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程。
4．通过合作探究的学习方式，培养问题意识，提高思维能力，激发探索、研究我国古代数学的热情。

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