吉林省东北师大附中、长春十一高、松原实验中学三校联考2016届高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）.doc

2015-2016学年吉林省东北师大附中、长春十一高、松原实验中学三校联考高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集U={x∈N|x≤8}，集合A={1，3，7}，B={2，3，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（　　）
A．{1，2，7，8} B．{4，5，6} C．{0，4，5，6} D．{0，3，4，5，6}
2．已知复数z1=1+i，z2=2﹣i，则=（　　）
A．1﹣3i B．﹣1+3i C．1+2i D．1﹣2i
3．若实数数列：1，a1，a2，a3，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（　　）
A． 或 B． C． D．或
4．函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．
5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．20+2π B．20+3π C．24+2π D．24+3π
6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2．
则肯定进入夏季的地区有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3
7．（x+1）2（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为（　　）
A．16 B．40 C．﹣40 D．8
8．若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（　　）

A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
9．若方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ＜2π）的任意一组解（x，y）都满足不等式，则θ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．已知△ABC外接圆的圆心为O，，，A为钝角，M是BC边的中点，则=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（　　）
A．b﹣a=|MO|﹣|MT| B．b﹣a＞|MO|﹣|MT| C．b﹣a＜|MO|﹣|MT| D．b﹣a=|MO|+|MT|
12．函数．给出函数f（x）下列性质：①函数的定义域和值域均为[﹣1，1]；②函数的图象关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④（其中a，b为函数在定义域上的积分下限和上限）；⑤M，N为函数f（x）图象上任意不同两点，则．则关于函数f（x）性质正确描述的序号为（　　）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③④ D．②④

二、填空题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．向量，，，则向量与的夹角为　　　　　　．
14．函数y=cos2x﹣2sinx的值域为　　　　　　．
15．设O为坐标原点，A（2，1），若点B（x，y）满足，则的最大值是　　　　　　．
16．已知集合，集合P的所有非空子集依次记为：M1，M2，…，M31，设m1，m2，…，m31分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果P的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么m1+m2+…+m31=　　　　　　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
（Ⅰ）求证：2（a+c）=3b；
（Ⅱ）若，，求b．
18．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．

19．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[70，76）
[76，82）
[82，88）
[88，94）
[94，100]
元件A
8
12
40
32
8
元件B
7
18
40
29
6
（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
20．椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．
（Ⅰ）求椭圆C1与C2的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C1交于点E，F．
（1）求证：直线PA，PB斜率之积为常数；
（2）直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．

21．设函数，（a＞0）
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4--1几何证明选讲]
22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．

[选修4--4坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．
（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．

[选修4--5不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；
（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．

2015-2016学年吉林省东北师大附中、长春十一高、松原实验中学三校联考高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集U={x∈N|x≤8}，集合A={1，3，7}，B={2，3，8}，则（∁UA）∩（∁UB）=（　　）
A．{1，2，7，8} B．{4，5，6} C．{0，4，5，6} D．{0，3，4，5，6}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据补集与交集的定义，进行化简与运算即可．
【解答】解：全集U={x∈N|x≤8}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，
集合A={1，3，7}，
∴∁UA={0，2，4，5，6，8}；
B={2，3，8}，
∴∁UB={0，1，4，5，6，7}；
∴（∁UA）∩（∁UB）={0，4，5，6}．

2．已知复数z1=1+i，z2=2﹣i，则=（　　）
A．1﹣3i B．﹣1+3i C．1+2i D．1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把复数z1=1+i，z2=2﹣i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z1=1+i，z2=2﹣i，
∴=．
故选：A．

3．若实数数列：1，a1，a2，a3，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（　　）
A． 或 B． C． D．或
【考点】椭圆的简单性质；等比数列的通项公式．
【分析】由实数数列：1，a1，a2，a3，81成等比数列，得到a2=9，从而圆锥曲线为=1，由此能求出圆锥曲线的离心率．
【解答】解：∵实数数列：1，a1，a2，a3，81成等比数列，
∴1×q4=81，解得q2=9，
∴=9，
∴圆锥曲线为=1，
∴圆锥曲线的离心率e==．
故选：C．

4．函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．
【考点】基本不等式；指数函数的图象变换．
【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n=1，整体代入可得=（）（m+n）=3++，由基本不等式可得．
【解答】解：当x﹣1=0即x=1时，ax﹣1﹣2恒等于﹣1，
故函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），
由点A在直线mx﹣ny﹣1=0上可得m+n=1，
由m＞0，n＞0可得=（）（m+n）
=3++≥3+2=3+2
当且仅当=即m=﹣1且n=2﹣时取等号，
故选：D．

5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．20+2π B．20+3π C．24+2π D．24+3π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】几何体为半圆柱与正方体的组合体，由7个平面和1个曲面组成．
【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与正方体的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，正方体的边长为2，
∴几何体的表面积S=2×2×5+π×12+π×1×2=20+3π．
故选B．

6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每天日平均温度不低于22℃”，现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2．
则肯定进入夏季的地区有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】利用众数、中位数、方差、平均数的性质求解．
【解答】解：甲地肯定进入夏季，因为众数为22°C，所以22°C至少出现两次，
若有一天低于22°C，则中位数不可能为24°C；
丙地肯定进入，10.2×5﹣（32﹣26）2≥（26﹣x）2，
∴15≥（26﹣x）2，若x≤21，不成立．
乙地不一定进入，如13，23，27，28，29．
故选：C．

7．（x+1）2（x﹣2）4的展开式中含x3项的系数为（　　）
A．16 B．40 C．﹣40 D．8
【考点】二项式系数的性质．
【分析】直接写出两因式的展开式，相乘可得含x3项的系数．
【解答】解：∵（x+1）2（x﹣2）4
=（x2+2x+1）（x4﹣8x3+24x2﹣32x+16），
∴展开式中含x3项的系数为﹣32+2×24﹣8=8．
故选：D．

8．若程序框图输出S的值为126，则判断框①中应填入的条件是（　　）

A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=2+22+23+…+2n=126时，S的值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是输出满足条件S=2+22+23+…+2n=126时S的值
∵2+22+23+…+26=126
故最后一次进行循环时n的值为6，
故判断框中的条件应为n≤6
故选B

9．若方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ＜2π）的任意一组解（x，y）都满足不等式，则θ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】圆方程的综合应用．
【分析】根据题意，方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在的左上方（包括相切），可建立不等式，利用三角函数知识，即可求得θ的取值范围．
【解答】解：由题意，方程（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1（0≤θ≤2π）表示的曲线在的左上方（包括相切），则
，∴sin（θ﹣）≥
∵0≤θ≤2π，∴﹣≤θ﹣≤
∴≤θ﹣≤
∴θ的取值范围是
故选D．

10．已知△ABC外接圆的圆心为O，，，A为钝角，M是BC边的中点，则=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由M是BC边的中点，可得，利用O是△ABC的外接圆的圆心，可得cos∠BAO==6，同理求得，则答案可求．
【解答】解：∵M是BC边的中点，
∴，
∵O是△ABC的外接圆的圆心，
∴cos∠BAO==．
同理可得．
∴==
=×（6+4）=5．
故选：C．

11．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（　　）
A．b﹣a=|MO|﹣|MT| B．b﹣a＞|MO|﹣|MT| C．b﹣a＜|MO|﹣|MT| D．b﹣a=|MO|+|MT|
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．
【解答】解：连OT，则OT⊥F1T，
在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．
连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，
∴|OM|=|PF2|，
∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b
=×（﹣2a）+b=b﹣a．
故选A．

12．函数．给出函数f（x）下列性质：①函数的定义域和值域均为[﹣1，1]；②函数的图象关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④（其中a，b为函数在定义域上的积分下限和上限）；⑤M，N为函数f（x）图象上任意不同两点，则．则关于函数f（x）性质正确描述的序号为（　　）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③④ D．②④
【考点】定积分；函数奇偶性的判断．
【分析】①先求定义域，根据定义域化简函数解析式；
②根据函数奇偶性的定义进行判断．
③根据函数单调性的定义判断．
④根据奇函数的积分性质进行判断．
⑤根据两点间的距离的意义进行判断．
【解答】解：要使函数有意义，需满足，
解得﹣1≤x≤1且x≠0，即函数的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①不正确．
根据函数的定义域可将函数解析式化简为，
所以=﹣f（x），即函数是奇函数，所以其图象关于原点对称；故②正确，
③∵函数的定义域是间断的，
∴函数在定义域内不单调，故③错误，
④∵函数f（x）在定义域上为奇函数，
∴，故④正确，
⑤∵M，N为函数f（x）图象上任意不同两点，所以|MN|＞0，而不是|MN|＞，故⑤错误，
故选：D

二、填空题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）
13．向量，，，则向量与的夹角为　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知可得，展开后代入向量模，则向量与的夹角可求．
【解答】解：由，得
，
∵，，
∴，即，
∴向量与的夹角为．
故答案为：．

14．函数y=cos2x﹣2sinx的值域为　[﹣3，]　．
【考点】三角函数的最值．
【分析】化简并换元可化问题为y=﹣2（t+）2+在t∈[﹣1，1]的值域，由二次函数的知识可得．
【解答】解：化简可得y=1﹣2sin2x﹣2sinx，
令sinx=t，则t∈[﹣1，1]，
换元可得y=﹣2t2﹣2t+1=﹣2（t+）2+，
由二次函数可知当t=﹣时，函数取最大值，
当t=1时，函数取最小值﹣3，
故函数的值域为[﹣3，]
故答案为：[﹣3，]

15．设O为坐标原点，A（2，1），若点B（x，y）满足，则的最大值是　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标表示得到线性约束条件，由点到直线的距离公式求得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

令z==2x+y，
由图可知，当直线z=2x+y与平面区域切于A1 时，z有最大值．
由坐标原点O（0，0）到直线2x+y﹣z=0的距离为1，得
，解得z=．
故答案为：．

16．已知集合，集合P的所有非空子集依次记为：M1，M2，…，M31，设m1，m2，…，m31分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果P的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么m1+m2+…+m31=　5　．
【考点】集合的表示法．
【分析】f（x）=（x﹣）（x+）（x+）（x+1）（x+2）所有子集的“乘积”之和即f（x）展开式中所有项的系数之和T﹣1．
【解答】解：f（x）=（x﹣）（x+）（x+）（x+1）（x+2）所有子集的“乘积”之和即f（x）展开式中所有项的系数之和T﹣1，
令x=1，则T=×××2×3=6，
∴T﹣1=5，
故答案为：5

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知
（Ⅰ）求证：2（a+c）=3b；
（Ⅱ）若，，求b．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知及降幂公式可得，由acosC+ccosA=b，可得，即可得解．
（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式可求ac=8，利用余弦定理可得b2=（a+c）2﹣2ac（1+cosB），代入（Ⅰ）的结论2（a+c）=3b，即可解得b的值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由条件：，
由于：acosC+ccosA=b，所以：，
即：2（a+c）=3b…．
（Ⅱ）∵，∴，…．
∵，∴ac=8…．
又∵b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac（1+cosB），
由2（a+c）=3b，
∴，
∴b=4…．

18．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．
（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；
（2）求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P﹣ABCD的高．
【解答】（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，
所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，
所以：平面PAD⊥平面ABFE…．
（Ⅱ）∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，
则A（0，0，0），F（2，2，0），C（2，0，2），
=（2，2，0），=（2，0，2），=（1，﹣h，1），
=（x，y，z）是平面AFC的法向量，则，
令x=1，则y=z=﹣1，即=（1，﹣1，﹣1），
设=（x，y，z）是平面ACP的法向量，
则，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即=（1，﹣1，﹣1﹣h），
∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是．
∴cos＜，＞===．
得h=1或h=﹣（舍）
则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1．

19．生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[70，76）
[76，82）
[82，88）
[88，94）
[94，100]
元件A
8
12
40
32
8
元件B
7
18
40
29
6
（Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，
（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；
（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率计算公式即可得出；
（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率计算公式及数学期望的定义即可得出；
（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于140元的正品数，再利用二项分布列的计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为．
元件B为正品的概率约为．
（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．
∵P（X=90）==；P（X=45）==；P（X=30）==；
P（X=﹣15）==．
∴随机变量X的分布列为：
EX=．
（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．
依题意得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．
所以 n=4或n=5．
设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，
则P（A）==．

20．椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．
（Ⅰ）求椭圆C1与C2的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C1交于点E，F．
（1）求证：直线PA，PB斜率之积为常数；
（2）直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．

【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）依题意，设C1：，C2：，由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，从而得到b2=1，由此能求出椭圆C1与C2的方程．
（Ⅱ）（1）设P（x0，y0），则，，，由此能证明直线PA，PB斜率之积为常数．
（2）设E（x1，y1），则，，，由此能求出直线AF与直线BE的斜率之积为常数．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵椭圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴与y轴上，它们有相同的离心率，
并且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是．
∴依题意，设C1：，C2：，
由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，
且面积，解得：b2=1，
所以椭圆C1：，C2：…．
证明：（Ⅱ）（1）设P（x0，y0），
则，，，
，…．
∴，
直线PA，PB斜率之积为常数﹣2…．
解：（2）设E（x1，y1），则，，，
∴，同理：…．
∴，
由kEA=kPA，kFB=kPB，结合（1）有…．

21．设函数，（a＞0）
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在内有极值点，当x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），求证：．（e=2.71828…）
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，令g（x）=x2﹣（a+2）x+1，根据函数的单调性得到：；，作差得到新函数F（n）=2lnn+n﹣，（n＞e），根据函数的单调性求出其最小值即可证明结论成立．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
当时，，…
令f′（x）＞0，得：或，
所以函数单调增区间为：，，
令f′（x）＜0，得：，
所以函数单调减区间为：，…
（Ⅱ）证明：，
令：g（x）=x2﹣（a+2）x+1=（x﹣m）（x﹣n）=0，
所以：m+n=a+2，mn=1，若f（x）在内有极值点，
不妨设0＜m＜，则：n=＞e，且a=m+n﹣2＞e+﹣2，
由f′（x）＞0得：0＜x＜m或x＞n，
由f′（x）＜0得：m＜x＜1或1＜x＜n，
所以f（x）在（0，m）递增，（m，1）递减；（1，n）递减，（n，+∞）递增
当x1∈（0，1）时，；
当x2∈（1，+∞）时，，
所以： =，n＞e，
设：，n＞e，则，
所以：F（n）是增函数，
所以，
又：，
所以：．

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，[选修4--1几何证明选讲]
22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．

【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．
【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D为PC的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是的中点，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
∴PA2=PB•PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD•DC=PB•2PB，
∵AD•DE=BD•DC，
∴AD•DE=2PB2．

[选修4--4坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（ϕ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．
（Ⅰ）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|+|PB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）消参数即可得到普通方程，根据极坐标的几何意义即可得出P的直角坐标；
（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程得出A，B对应的参数，利用参数得几何意义得出|PA|+|PB|．
【解答】解：（Ⅰ），y=sin=，∴P的直角坐标为；
由得cosφ=，sinφ=．∴曲线C的普通方程为．
（Ⅱ）将代入得t2+2t﹣8=0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣8，
∵P点在直线l上，
∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==6．

[选修4--5不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；
（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）若a=1，不等式：f（x）≥2|x+5|⇒|x﹣1|≥|x+5|，等价于（x﹣1）与（x+5）的和与差同号，转化为一元一次不等式得答案；
（Ⅱ）利用绝对值的不等式放缩，把f（x）≥8恒成立转化为|a+5|≥8，求解绝对值的不等式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥2|x+5|⇒|x﹣1|≥|x+5|
⇔（2x+4）（x﹣1﹣x﹣5）≥0，解得：x≤﹣2，
∴原不等式解集为{x|x≤﹣2}；
（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+|x+5|≥|x﹣a﹣（x+5）|=|a+5|，
若f（x）≥8恒成立，
只需：|a+5|≥8，解得：a≥3或a≤﹣13．

2016年8月5日