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多面体的外接球问题
多面体的外接球问题是一类重要的题型，学生往往感到困难，本文从常见的题型出发，进行归类总结，提高解决这类题的能力。
题型一 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，
球心在公共斜边的中点处
C1.在矩形中，＝4，＝3，沿将矩形
折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为
A. B. C. D.
B2.三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且，，则该球的体积为
A B C D

解析：

D3．在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．

A4.在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点都在同一个球面上，则该球的体积为
A B C D
5．平行四边形ABCD中，·=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD－C，且，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（　 　）
A． B． C． D．
试题分析：,所以,因为为平行四边形,所以.因为为直二面角,所以,因为,,,所以.因为,所以.分析可知三棱锥的外接球的球心为的中点.因为,所以.则三棱锥的外接球的半径为1,表面积为.故C正确.
6已知直角梯形ABCD，，，，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．
解：如图，，
∴.
取的中点的中点，连结，
∵当三棱锥体积最大，∴平面平面，
即为外接球的半径.
此时三棱锥外接球的体积：
题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体，
长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱
1. 在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为____________
|科|

2四点在半径为的球面上，且， ，，则三棱锥的体积是____________．[来源:学,科,网]【答案】20
试题分析：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为，则有，解得，，，所以三棱锥的体积为－＝20．
题型三 直角四面体的外接球 补成长方体，
长方体对角线长为球的直径
1. 已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，
则球心到截面的距离为________
2．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四个不同点，且满足·＝0，·＝0，·
＝0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S1＋S2＋S3的最大值是________．
答案　8
解析　由·＝0，·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，⊥，由点A，B，C，D构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB2＋AC2＋AD2＝(2＋2)2＝16，即＋＋＝16≥AB·AC＋AB·AD＋AC·AD，∴S1＋S2＋S3＝(AB·AC＋AB·AD＋AC·AD)≤×16，当且仅当AB＝AC＝AD＝时，S1＋S2＋S3取得最大值8.
3．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
解析:由题意得：两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥的外接球，半径为，表面积为，选B．
C4.在正三棱锥中，分别是的中点，，若，则外接球的表面积为
A B C D
C5.在正三棱锥中，分别是的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为
A B C D
7．已知正方形的边长为4，点分别是边的中点，沿折叠成一个三棱锥（使重合于点），则三棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
解析：折成的三棱锥如图所示.由题意可知两两互相垂直且.

设此棱锥外接球的半径,则.则外接球的体积为.故B正确.
8.已知在球的表面上，，，是边长为 的正方形，则的面积为____________
题型四 过底面外心做垂线，球心有垂线上

1.已知四面体,其中是边长为6的等边三角形,平面,,则四面体外接球的表面积为________．
【答案】．
【解析】根据已知中底面是边长为6的等边三角形,平面,可得此三棱锥外接球,即以为底面以为高的正三棱柱的外接球．因为是边长为6的正三角形,所以的外接圆半径为,所以球心到的外接圆圆心的距离为,所以球的半径为,所以四面体外接球的表面积为,故应填．

2.已知三棱锥中，,,直线底面所成的角是，则此时三棱锥外接球的体积是 ( )
A B C D
选D
3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（　　）

A．外接球的半径为 B．表面积为 C．体积为 D．外接球的表面积为
解：由三视图可知，这是侧面ACD⊥ABC，高的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为0，半径为x，则，
在直角三角形OEC中，OE2+CE2=OC2，即，
整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，所以A，C，D都不正确，
故选B．

题型五 平面截球的截面是圆，设球心到截面的距离是，球的半径为，截面圆的半径为，则有
1.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为
A. B. C. D.
2.已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，
若，则球的体积为 .
3.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体
积为 。
C4.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为
A B C 1 D [来源:学

O
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
·
5．如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，
则平面截球的截面面积为

6连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于、，分别为的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦可能相交于点；②弦可能相交于点；③的最大值为5；④的最小值为l.
其中真命题的个数为 3个

题型六 求锥体的体积
1.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为
A B C D
C2（2011辽宁理）已知球的直径，是该球面上的两点，，，则三棱锥的体积为
A B C D 1
（2012新课标）（11）已知三棱锥的所有顶点都在球球面上，
是边长为的正三角形，为球的直径，且；
则此棱锥的体积为（ ）
A B C D
【解析】选
的外接圆的半径，点到面的距离 ，
为球的直径点到面的距离为
,此棱锥的体积为
方法二：排除

B3．三棱锥中，顶点在平面上的射影为,满足，点在侧面上的射影是△的垂心， ，则此三棱锥体积最大值是（ ）
A．12 B．36 C．48 D．24
4 正四棱锥,,当它的体积最大时，它的高为 2

题型七 补成直棱柱，球心在上下底面中心连线的中点处
1.三棱锥中，⊥底面，，底面是边长为2的正三角形，则三棱锥的体积等于______。
2. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中△为等边三角形，，,则该球的体积是
3（2015•兴安盟二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ACD与△BCD是全等的等腰三角形，且平面ACD⊥平面BCD，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为　　．

解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，EF=2，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为．故答案为：．

4（2015•长春四模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ACD与△BCD都是边长为2的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为　　．

解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，
连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，
求得，所以其表面积为．故答案为：．

5（2015•石家庄二模）在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（　　）
A．11π B．7π C． D．
解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，
∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，
由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R═=，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．
6（2014秋•莱城区校级期末）已知四面体S﹣ABC中，SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，则该四面体的外接球的表面积为　8π　．
【解答】解：由于SA=SB=2，且SA⊥SB，BC=，AC=，
则AB=SA=2，由AB2=AC2+BC2，则AC⊥BC，取AB的中点O，连接OS，OC，
则OA=OB=OC=OS=，则该四面体的外接球的球心为O，则球的表面积为
S=4πr2=4π×（）2=8π．故答案为：8π．

补充新的
已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，若A,B,C,D ,E 在同一个球面上，则此球 的体积为
A．2π B．π C．π D．π
解：作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角，
CH=， OH=，CO=
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
设球的半径为R，则R2=（﹣R）2+（）2，∴R=
∴V==．故选：D．

以ABCD为面比较好做，如果以ABC为底面不好做 、或者取两个面的中心，作两条垂线不好做 。

少北问了一个题
在三棱锥S﹣ABC中，底面△ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC的三条边长分别为AB=，AC=，BC=，则三棱锥S﹣ABC的体积（　　）
A．2 B． C． D．

解：∵底面△ABC的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，
∴三棱锥的三个侧面与底面ABC全等．
∴三棱锥S﹣ABC可看做是面对角线分别为，，的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体．
设长方体的棱长为x，y，z，
则，解得，
∴xyz==2．
∴三棱锥的体积V=xyz﹣==．
故选C．
【点评】本题考查了棱锥的结构特征和体积计算，属于中档题．

太原一模上有一题
11. 在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为
　A、3　　　　B、4　　　　　C、5　　　　　D、6
答案：D
解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，
而且底面BCD是正三角形，
∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，
令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，
∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，
∴DE=，∴PE=，DP=
∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，
∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，
∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，
∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积=4πr2=6π

（2016太原二模）已知三棱锥中，底面为边长等于的等边三角形，垂直于底面，，那么三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．

（2016•南平模拟）己知三棱锥P﹣ABC，侧棱PA垂直底面ABC，PA=4，底面是边长为3的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A．14π B．28π C．12π D．9π
【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．
【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=，可得球的半径R，即可求出三棱锥的外接球的表面积．
【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为3的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是边长为3的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=，
∴球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=2，故球的半径R==，
故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=28π
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，由题意明确三棱锥外接球是以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，利用半径公式R=是解答的关键．
已知三棱锥A﹣BCD中，DA⊥平面BCD，底面△BCD为等边三角形，且BC=2，AD=2，则此三棱锥的外接球的表面积为　π　．
【考点】球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】综合题；方程思想；综合法；立体几何．
【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以DA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．
【解答】解：根据已知中底面△BCD是边长为2的正三角形，DA⊥平面BCD，可得此三棱锥外接球，即为以△BCD为底面以DA为高的正三棱柱的外接球
∵△BCD是边长为2的正三角形，
∴△BCD的外接圆半径r=，
球心到△BCD的外接圆圆心的距离d=，
故球的半径R==，
故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，正确求出球的半径R是解答的关键．

（2016秋•温州月考）在四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC，以下判断错误的是（　　）
A．该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直
B．该四面体的外接球球心与内切球球心重合
C．该四面体的各面是全等的锐角三角形
D．该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为1
【考点】棱锥的结构特征．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何．
【分析】把该四面体ABCD补成一个长方体，四面体ABCD的棱是长方体面上的对角线，由长方体的性质能求出结果．
【解答】解：如图，把该四面体ABCD补成一个长方体，
四面体ABCD的棱是长方体面上的对角线，
由长方体的性质得AB=CD，AC=BD，AD=BC，
由长方体性质得该：
四面体的三组对棱的中点连线两两垂直，故A正确；
该四面体的外接球球心与内切球球心重合，故B正确；
该四面体的各面是全等的锐角三角形，故C正确；
由于长方体的三条棱长不一定相等，
故该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和不一定为1，故D错误．
故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体结构特征的合理运用．