第二章231.doc

§2.3　直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1　直线与平面垂直的判定
一、基础过关
1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是 (　　)
A．b⊥β B．b∥β
C．b⊂β D．b⊂β或b∥β
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是 (　　)
A．a⊥β B．a∥β
C．a⊂β D．a⊂β或a∥β
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是 (　　)
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为 (　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．
6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.

7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．
求证：CF⊥平面EAB.

8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.

求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.
二、能力提升
9. 如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中 (　　)
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.

三、探究与拓展
13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为，求直线AB和平面α所成的角．

答案
1．A　2.D　3．C　4．B
5．(1)45°　(2)30°　(3)90°
6．90°
7．证明　在平面B1BCC1中，
∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，
∴△BB1E≌△CBF，
∴∠B1BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，
又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，
∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，
∴CF⊥平面EAB.
8．证明　(1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA.
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.

(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，
∴GF綊CD，
∴GF綊AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.
∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.
9．A　10．B　
11．∠A1C1B1＝90°
12．证明　连接AB1，CB1，设AB＝1.
∴AB1＝CB1＝，

∵AO＝CO，∴B1O⊥AC.
连接PB1.
∵OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
∴OB＋OP2＝PB.
∴B1O⊥PO，
又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC.
13．解　(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝＝.
∴∠BAH＝30°.

(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成 的角．
∵△BCB1∽△ACA1，
∴＝＝2，
∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝，
∴B1C＝.
∴tan∠BCB1＝＝＝，
∴∠BCB1＝60°.
综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.