重标极差RS分析法估计Hurst指数的有效性检验.doc

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R/S 类方法估计 Hurst 指数的有效性检验①

黄诒蓉②
中山大学管理学院，广州510275，中国

【摘要】 本文在设定不同 H 真实值的情况下，通过 DHM 算法模拟出一系列 FGN 序

列，对 CRS、MRS 和 VS 等三种 R/S 类方法估计 H 指数的有效性进行了研究。研究结果表

明，CRS 受到序列长度、短期相关性处理和白噪声成分强弱的显著影响，MRS 受到序列长

度和白噪声成分强弱的显著影响，而 VS 受到白噪声成分强弱的影响，并且均不具有正态分

布特性，分别当 H 真实值介于 0.7 至 0.8、0.6 至 0.7 和 0 至 0.6 之间时能对 H 指数做出较好

的估计，而当 H 真实值介于 0.8 至 1 之间时，R/S 类方法均低估 H 指数。

关键词 Hurst 指数；经典 R/S 分析；修正 R/S 分析；V/S 分析；有效性。
Testing the Efficiency of Hurst Index Estimation
Based on R/S Type Method

Yirong Huang
School of Business, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China

Abstract: This paper studies the efficiency of estimating Hurst index with R/S
type including classical rescaled range analysis, modified rescaled range analysis and rescaled variance analysis by simulating FGN series with DHM. There are evident differences between the effects of the length of series, the type of dealing with short-rang dependence, strength of added white noise in series on three estimators, moreover, they have separate applicable interval of estimating Hurst index.
Keywords: Hurst Index; Classical Rescaled Range Analysis; Modified Rescaled Range Analysis; Rescaled Variance analysis; Efficiency.

① 资助项目：国家自然科学基金项目（项目名称：资本市场的分形结构及其应用研究，
项目编号： 项目负责人：黄诒蓉）
， 。

② 黄诒蓉，男，1976.11，中山大学管理学院副教授、博士，通讯地址：广州市新港西路
135 号中山大学管理学院，邮编：510275，Email： 电话：
， 。
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1引 言

Hurst（1951）[1]在长期的水文研究工作中发现，河流流量存在较强的长记忆
性。后来，许多研究发现，该特性不仅存在于自然界，而且广泛存在于经济与管
理领域的数据中。金融时间序列长记忆性的检测与建模目前已经成为金融计量领 域研究的重要内容。长记忆性通常从具有双曲率缓慢衰减形式的自相关函数和在

零频率处趋于无限值的谱密度函数等两个角度进行刻画，而且均通过 Hurst 指数
（下文简称 H 指数）来表征长记忆性程度。因此，H 指数的估计与检验是长记
忆性研究的关键工作，其估计与检验的有效性直接影响对长记忆性的甄别。

尽管现有文献提出多种估计 H 指数的方法，但是 R/S 类方法由于其简洁性
而一直受到研究者的青睐，迄今为止仍是估计 H 指数最常用的方法。该类方法

最早是由 Hurst（1951）[1]和 Mandelbrot & Wallis（1969）[2]提出的经典 R/S 分析
方法（Classical Rescaled Range，下文简称 CRS） ，后来 Lo（1991）[3]通过考虑序
列的短期相关性对 CRS 进行了修正而提出修正 R/S 分析方法 Modified Rescaled （
Range，下文简称 MRS） Giraitis et al.（2003）[4]利用部分和序列的方差替代部 ，

分和序列的极差对 CRS 进行了修正而提出 V/S 分析方法（Rescaled Variance，下
文简称 VS） 虽然 MRS 和 VS 均是从不同方面对 CRS 进行了某种程度的修正， 。

但是能否真正提高 H 指数的估计有效性呢？尽管许多研究文献对 R/S 类分析方
法的有效性提出许多质疑， 但是目前大多数的研究都是这些估计方法在某些领域

的直接应用，而对它们估计 H 指数的有效性的关注和研究却很少。
R/S 类分析方法由于产生于 Hurst 的长期实践工作过程而没有严格的数学推
导，因此，我们难以使用严格数学证明来检验其有效性，但是可以通过模拟研究

方法来综合评价它们的有效性。鉴于此，为检验 R/S 类方法估计 H 指数的有效
性，下面将通过预先设定不同的 H 真实值并模拟出一系列的 FGN 序列，然后利 用 CRS、MRS 和 VS 三种方法分别估计 H 指数，从 H 估计值的均值和标准差两
方面反映序列长度、短期相关性处理、白噪声成分等因素对 H 指数估计的影响，
并综合比较三种估计量的有效性，为 R/S 类分析方法使用者提供有益的参考。

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2 研究方法

2.1 R/S 类分析方法

通常将 CRS、MRS 和 VS 统称为 R/S 类分析方法，原因在于它们具有共同
的基本原理，我们可将它们估计 H 指数的基本步骤概括如下：
第 1 步，将原始序列划分成若干子序列。合适选定某标度长度 n，将原始序

列 {yt }T=1 划 分 成 M 个 互 不 重 叠 的 长 度 为 n 的 子 序 列 ： (y1, y2 ,L, yn ) ， t

(yn+1, yn+2 ,L, y2n ) ，¼，(y(M-1)n+1, y(M-1)n+2 ,L, yMn ) ，其中，M = [T / n] ，[× ]表示
取整，下同；

第 2 步，计算出与标度长度 n 所对应的标度统计量。首先计算出根据标度长

度 n 所划分出的所有子序列的局部统计量 LSn,m ，然后利用所有局部统计量计算

出标度长度 n 对应的标度统计量 SSn ，此处标度统计量是所有局部统计量的平均

值，即为 SSn = 1 å LSn,m ； M

M m=1
第 3 步，改变标度长度 n，重复前面的步骤，这样得到一系列的标度长度 n

及其相应的标度统计量序列 SSn ；
第 4 步，若标度统计量序列与标度长度序列存在如下的标度关系：

SSn ~ Cn H ，其中，C 为某常数，则可以采用如下的双对数回归方式估计 H 指数：

log(SSn ) = log(C) + H log(n) 。 （1）
CRS（Hurst，1951[1]；Mandelbrot，1969[2]）使用如下的局部统计量为：

( R / S) n , m = R n , m / S n , m ， （2）

其中， Rn,m = [max å (yt,m - yn,m ) - min k


å (y k


t,m


- yn,m )] 为第 m 个子样本的极

1£k £n t =1 1£k £n t =1

差，Sn,m = 1 å (yt,m - yn,m )2 为第 m 个子样本的标准差， yn,m = 1 å yt,m 为第 m

n

n t=1
个子样本的均值。

MRS（Lo，1991）[3]使用如下的局部统计量：

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n

n j=1