数学：.解直角三角形教案.doc

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28.2 解直角三角形
【探究目标】
1．目的与要求 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2 知识 与技能 能根据直角三角形中的角角关系、边边关系、边角关系解直角三角形， ．
能运用 解直角三角形的知识解决有关的实际问题．
3．情感、态度与价值观 通过解直角三角形的应用，培养学生学数学、用数学的意识
和能力，激励学生多接触社会、了解生活并熟悉一些生产和生活中的实际事物．
【探究指导】
教学宫殿
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如下图：

角角关系： 两锐角互余，即∠A+B 90 ∠ ＝ °；边边关系：勾股定理，即 a 2 + b 2 = c 2 ；
边角关系：锐角三角函数，即
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1) 条边(
已知两 一直角边
和一斜边；两直角边) (2) 条边和一个锐角(
； 已知一 一直角边和一锐角；斜边和一锐角) 这 ．
两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题( 解直角三角形) 就是要舍去实际事物的具体内容，把事物 ，
及它们的联系转化为图形( 、线、角等) 图形之间的大小或位置关系．
点 以及
借助生活常识以及课本中一些概念( 俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等) 义，也
如 的意
有助于把实际问题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求
解．
在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，如没有特殊要求外，边长保留四个有效
数字，角度精确到 1 ． ′
例 1 在△ABC 中，∠C 90 ＝ °，根据下列条件解直角三角形．
(1)c，∠B 45 ＝10 ＝ °，求 a b A ， ，∠ ；

(2) 2 6, b = 6 2 ，求 c A B

a=
，∠ ，∠

思路与技巧 求解直角三角形的方法多种多样， (1) 求 a或 b 也可以先求∠A
如 可以先 ， ，
依据都是直角三角形中的各元素间的关系，但求解时为了使计算简便、准确，一般尽量选择
正、余弦，尽量使用乘法，尽量选用含有已知量的关系式，尽量避免使用中间数据．
解答 (1)90-45 45

(2) c=
∠A ° °＝ ° ＝

a2 + b2 = 24 + 72 = 4 6

sin A = 2 6 = 1 ,
4 6 2 所以 ÐA = 30°

例 2 如图，CD RtABC边上的高， BC = 2 3 ， CD = 2 2 , ACAB A
是△ 斜 求 ， ，∠ ，
∠ B( 精确到 1 ) ′．
思路与技巧 在 RtABC 仅已知一条直角边 BC 长，不能直接求解．注意到 BC
△ 中， 的
和 CD 同一个 Rt BCD 因此可先解这个直角三角形．
在 △ 中，

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解答 在 RtBCD
△ 中
用计算器求得 ∠B 5444 ＝°′
于是∠A 90- B 3516 ＝ °∠＝ ° ′
在 RtABC
△ 中，
例 3 气象台测得台风中心在某港口 A的正东方向 400km 处，正在向正西北方向转移，
距台风中心 300km 的范围内将受其影响，问港口 A是否会受到这次台风的影响?
思路与技巧 如图 1948 — ，就是要求出 A到台风移动路线 BC 的距离是否大于 300km ，
RtABC
△ 中，∠ACB °，∠ABC °，AB400kmAC
＝90 ＝45 ＝ ，是 可求．
解答 在 RtABC
△ 中，

AC = sin ÐABC
由于 AB

所以 ACABsin ＝400 ＝ · ∠ABC ×sin45 °
所以港口 A将受到这次台风的影响．
例 4 如图，两幢建筑物的水平距离为 565m从较高的建筑物的顶部看较低的建筑物 ．，
的底部的俯角是 42 °，从较低的建筑物的顶部看较高建筑物顶部的仰角是 22 °，求这两幢
建筑物的高度( 精确到 0 1m) ．．
思路与技巧 如图，ABCD 、 表示两 幢建筑物，AB BDCDB ，BD565m ⊥ ， ⊥ D ＝ ． ，根据俯
角、仰角的意义，∠DAE °，∠ACF °，于是 RtABD △ACF
＝42 ＝22 △ 、Rt 都可解．
解答 在 RtABD
△ 中，
∠ADB DAE ° ＝∠ ＝42
BD56.5(m) ＝
ABBDtan
＝· ∠ADB
＝56.5 ° ×tan42
»50.9(m)
在 RtACF
△ 中，
AFCFtan ＝ · ∠ACF
=56.5 22
×tan °
»22.8(m)
所以 CDAB-AF ＝
＝28.1(m)
答：两幢建筑物的高度分别为 50.9m ，28.1m
例 5 如图，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽 2m坡度由原来的 1 2改为 1 2 5
， ： ：．，
已知坝高 6m 长 50m
，坝 求：
(1) 部分横断面 AFEB
加宽 的面积；
(2) 这一工程需要多少土方? 完成
思路与技巧 只须求出梯形 AFEB EB 长，作 AGBCFHEB垂足分别为 G
的下底 的 ⊥，⊥， 、
H，根据坡度的意义，可以求出坡 AB EF 、坡 的水平长度．
解答 (1)⊥BCFHEB垂足分别为 G H 题意得
作 AG ， ⊥ ， 、 ，由
HGAF2(m)＝FH6(m)
＝＝ ．AG ＝
在 RtABG 因为
△ 中，
所以 BG2 6 12(m) ＝×＝
在 RtFEH 因为
△ 中，
所以 EH2 5 6 15(m) ＝．×＝

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所以 EBEH+HG-BG ＝5(m)
＝ ＝15+2-12
()

所以
S梯形AFEB = 1 (AF + EB)´ AG = 1 (2 + 5)´ 6 = 21 m2

2

答：加宽部分横断面 AFEB
2

的面积为 21m 2 ，完成这一工程需要1050 方土．
例 6 海上有两条船，甲船在乙船的正南方向，甲船以每小时 40 海里的速度沿北偏东
60 °方向航行，乙船沿正东方向以每小时 20 海里的速度航行，问两船会不会相撞? 为什么?
思路与技巧 根据题意画出图形，如图 1951 — ，可知甲、乙两船的路线可能会成为直
角三角形中 60 °所对的直角边和斜边，两船同时出发，在相同的时间内所走路程的比如果
正好等于 60 °的正弦就会相撞，否则不会．
解答 如图，因为乙船的速度为每小时 20 海里，甲船的速度为每小时 40 海里，所以乙
船与甲船所走路程的比为 1 2 ：．

sin 60° =


3¹1

又
所以不会发生相撞．
2
2

例 7 某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树 AB在地面上事先 ．
划定以 B为圆心，半径与 AB 长的圆形危险区，现在某工人站在离 B点 3m 的 D点测得树
等 远
的顶部 A点的仰角为 60 树的底部 B的仰角为 30
°， °，如图 1952 距离 B点 8m 的
— ，问 远
保护物是否在危险区内?
思路与技巧 本题的实质是要计算大树的高度，如果大于 8m说明保护物在危险区内， ，
否则不在．由于大树不在哪一个直角三角形中，根据条件，过 C作 CEAB ⊥ ，则可把 AB 在 放
RtACERtBCE进行求解．
△ 和△ 中
解 答 过 C作 CEAB垂足为 E. ⊥，
由题意可知，CEDB3m ＝＝
在 RtCEB
△ 中，
在 RtACE
△ 中，
所以 ABAE+BE 6+1.732 ＜8(m)
＝ ＝5.19 ＝6.928(m)
所以距离 B点 8m 的 保护物不在危险区域内． 远
【探 究活动】
提出问题 运用解直角三角形的知识可以解斜三角形( 角三角形或钝角三角形) ?
锐 吗
探究准备 锐角△ABC( b a和∠C)钝角△ABC(∠A c ∠B)( ，∠B ∠
已知 ， ． 已知 ， ， ∠A ，
C的对边为 a b c) ， ， 如图．
探究过程 直角三角形中的边边关系、角角关系、边角关系是解直角三角形的依据，它 们只有在直角三角形中才成立，因此要想用它们来解斜三角形，必须把斜三角形转化为直角
三角形，转化的方法一般是作高，如图 1953 — 甲可以作 ADBC D 样构造了两个直 ⊥ 于 ，这

角三角形 RtABDRtACD △ACD CD b cos，AD b sin，因为 BCa
△ 和 △ ，Rt 中， ＝ ∠C ＝ ∠C ＝ ，所

tan B = AD = b sin ÐC

以 BD a - cos，在 RtABD

＝
b ∠C
△
中，
BD a - b cosÐC ，得出∠B 进而求出∠ ，

A 180∠B-C AB = AD + BD =

＝ °- ∠ ，
2
2
(bsin ÐC)2 + (a + bcosÐC)2

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