搭建问题解决平台 助推学生思维进阶.pdf

56上海中学数学2023年第7 一8 期搭建问题解决平台助推学生思维进阶上海市徐汇区徐晓燕名师工作室（初中数学)200237上海市西南模范中学摘要：数学几何综合题是初中阶段解题学习和解题教学的重难点.笔者在教学实践中，采取分阶段、分层次逐步提高的教学措施，通过引导学生搭建问题解决平台，逐步提升学生对压轴题的解题能力和解题信心，助推学生思维进阶。关键词：问题解决；思维进阶数学几何综合题作为初中阶段解题学习和解题教学的重难点，在考查学生基础知识的综合运用、提高学生的数学思维以及培养学生的数学素养中，发挥着重要作用，同时在考试中具有区分和选拔学生的功能.初三的习题课教学中，对有较好基础同时又对解答压轴题有强烈愿望的学生来说，在突破数学几何综合题方面还是有一定的发展空间的.那么怎样让学生在遭遇“山重水复疑无路”时，助力他们“柳暗花明又一村”呢？在长期的教学实践中，笔者采取了分阶段、分层次逐步提高的教学措施.数学几何综合题考查知识点多、条件隐晦，突出考查空间观念，多以相似形、四边形以及图形运动的知识为考查重点，结合方程、函数等知识，以证明、计算等题型出现.在中考数学中，一般以第2 5 题的综合性最强.它将运动对象或运动规则复杂化，要求学生数形结合，从多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.所以，在对诸如第2 5 题这类数学几何综合题的教学过程中,要通过引导学生“审题一做题一讲题一编题”，逐步提升其对数学几何综合题的解题能力和解题信心。笔者以2 0 2 1年上海中考第2 5 题为例，结合自已的尝试，阐述教学中的实践与思考。考题（2 0 2 1上海-2 5）如图1,在梯形ABCD中，AD/BC，A BC=9 0 A D=C D,O 是对角线AC的中点，联结BO并延长，交边 CD或边AD于E.A应隽陈飞(2)若DE=2,OE=3,求 CD 的长.一、正确读题审题，助推思维发散联想，构建知识网络平台上述考题的题目较长，条件较多，读题困难，学生往往看到题号就想放弃.如何克服学生的畏难情绪呢？在引导学生读题审题时，笔者常常会隐去问题，通过设计有层次的问题串，启发学生由已知条件进行发散，联想相关性质定理，联想相关基本图形，帮助学生厘清知识网络，进而通过基本图形间的组合、基本概念间的串联构建“知识网络平台”本题以一个含有一组平行线的特殊四边形为载体.在学生完成第一遍读题后，教师可以突出题干，隐去小题（1）小题（2），引导学生通过已知条件、结合图形，观察得到初步联想的结论：图2 中的内错角相等，图3中的等边对等角.这些结论学生是很容易获得的，需要他们继续发散联想：将两个特殊三角形(RtA BC、等腰ADC)关联起来的是公共边，也就是对角线AC,那么由AC的中点可以继续发散联想，也就是图4中的直角三角形斜边上中线所衍生的角相等.通过提问，引导学生将这些结论关联起来,形成“错A型相似（如图5 所示）.ADDBEAC图2AC图3B图1(1)当点E在边CD上时，求证：DACSADO BC;若BELCD,求的值；BCBB图4C图5上海中学数学2023年第7 一8 期随后,在小题（1)的小问中,增加条件BE工的过程中，可以借助作高构造不同的直角三角形，运CD,学生就能继续结合已有图形中角相等的结论再用30 或6 0 三角比得到线段的倍分关系来表示线次联想，得到多个直角三角形的相似关系.虽然都是段.当然，还有一种在初中阶段不太常用的解析法，学生熟悉的相关知识和图形，图2 一图4由条件初即建立平面直角坐标系，利用直线解析式求交点，两步联想发散即可，但图5 却需要条件的叠加关联后点间距离公式求出线段长，等等.进一步发散，进行更深层次的挖掘和联想然后才能此时，对于学生呈现出的一题多解，教师一定要得到.所以，教师在课堂上需要启发学生从多角度观注意引导他们对方法进行筛选和优化，提炼出此题察（线段和角，数量关系和位置关系等）.的最优解以及最优的原因.显然，通过特殊角的三角这种方式帮助学生分解复杂图形，降低了困难，比建立线段之间的数量关系是此题的最佳方案，帮找到了可以着手的方向，实现学生思维的进阶，从简助学生进行思维的再收敛，再一次地优化解题方法单的记忆、理解和应用，走向了综合分析.并且，通过平台，为同类型问题的解决做好准备。对基本图形间的组合，又会创造出学生自已的解题在已有经验上，总结归纳出线段相关问题的常“知识网络平台”,这对学生创造性思维的形成也是用解决方法：如果两条线段位于一个图形中，常常很有帮助的.通过解三角形的方法（三角比边角关系，勾股定理三边关系）解决；如果两条线段分别位于两个图形二、梳理通性通法，助推思维收敛优化，构建解题方中，常常通过相似三角形、比例线段、等积法的相关法平台知识；不论线段有何关系都可以采用解析法，建立在思维充分发散后，学生遇到的困难主要是找平面直角坐标系，将线段问题转化为点的坐标，以此不到等量关系，或者等量关系太多，理不清、思绪乱。解决相关计算问题.这样梳理的通性通法，就是解决此时，需要教师针对要解决的具体问题，梳理通性通几何综合题的其中一个“解题方法平台”在此类方法，助推学生思维收敛优化，构建解题方法平台.法平台的建立过程中，学生需要在掌握多种方法的对于小问给出的小条件BE工CD，学生会通基础上，有综合分析统整的能力，思维方式也会由表过之前的联想，与之前分析出的基本图形关系结合层的知识性认识转向深层次的分析问题，从简单的得到含30 角的RtBEC 和RtC EO,以及底角为理解转向分析、评价进而创造，从而实现思维水平的30的等腰ADC和等腰BOC.那么在求解的过进阶.程中又有什么用呢？三、深挖图形结构，助推联系发展视角，构建解题策此时，在分析的过程中，需要帮助学生建立求线略平台段比值的解题方法平台.常见的求线段比值的方法有以下几种.一种是直接求比值.利用线段比值可以表示为相似比、面积比、三角比的想法，把AD和BC分别作为两个相似三角形的对应边（等腰ADC等腰COB，R t A O D S R t C BA），可是它们所在的三角形中，,AD和BC都不是这些相似三角形的对应边，此时就要启发学生转化，可以“以形构造相似”:以“BC为斜边所在的RtBEC”为形，构造BO目标相似AOD，直接转化为一个相等的比，而BE利用同高三角形面积比求得；以“BC为底边所在等腰BOC”为形，构造目标相似AOF；以“BC为直角边所在的RtA BC”为形，构造目标相似A C F，等等.通过一条边的代换将目标线段比值转化为相似比、三角比等，随后利用勾股定理或比例线段中的数量关系建立方程.另一种方法是通过启发学生通过设参数（也即中间量），将AD和BC分别表示出来，最后求出AD：BC 的值.在表示线段57几何综合题中复杂图形的探究，常常是在动态背景下研究图形中的数量关系，需要学生亲历画图过程，再现或拆解问题中的图形，通过积累作图经验获得感性知识，再通过探究、论证，解决数学问题.如此深挖图形结构，就能让学生从静态的图形分析走向动态的定性感知，再由运动中的静止位置进行定量计算,明白图形结构是联系的、发展的、统一的,能更好地助推学生动态空间观念形成，构建通过临界位置、特殊位置以静制动和化不确定为确定、化不可解为可解的化归思想等解题策略平台.比如，小题（2)中,因为E在边CD或边AD上，看上去好像与动态无关，事实却并非如此.位置分类恰恰与图形运动密不可分，教师要引导学生通过画图探究图形的本质，题干中分析出的四个角的相等关系，其实得益于直角、平行、中点这些不变的数量和位置关系.此时，教师也可以借助几何画板的演示，让学生更为直观地发现，在D点随着C点运动58的过程中有很多特殊位置，比如在一个临界位置，,E点与D点重合，梯形成为矩形，此时学生感知到上下底两条线段比值是变化的，不同的比值确定了E点不同的位置.进而引导学生理解小题(1)的小问其实就是在寻求满足特殊角度位置时的线段计算问题，那么小题（2)中的线段长度条件使得C、D 两点有了固定的位置，也就是图形运动中的特殊位置.在动静结合中，在函数思想、方程思想、数形结合思想方法的渗透与概括过程中，让学生充分地思考、动手、解决，并以此为载体助推学生动态空间观念的形成,运用多种解题策略教会学生思考问题的方式，提高学生思维能力。四、引导整理反思，助推能力素养提升，构建元认知平台在解题过程中，学生如果缺乏反思，则解同类题的多与少没有质的区别.因此,养成反思习惯，特别是从运动规则、背景图形、方法平台等不同角度对综合题进行提炼，反思问题与解法，转化为解题直觉，对提高学生的数学能力和数学核心素养很有帮助。所以，在几何综合题教学过程中，教师要倡导学生分类整理，总结和拓展综合题背后的本原问题，不断提升学生的自主探究能力和自主分析研究能力，让学生利用同类型题抓住问题的本质，发现其中规律，理清解题思路，从而有效转变过去复习时盲目刷题的状况.教学时，笔者常常通过让学生讲题、编题的方式来帮助学生检验自己的掌握情况，学生讲题时，同伴的提问会促使该生在解答过程中进一步地审视自己的认知是否准确。这一过程是让学生进一步追踪自己的认知，进行自我认识和自我调节，从本质上说，就是对自已思维过程的监控与评价，提升了对自已认知活动的认知，形成了元认知平台。比如，在运动过程中，学EA生会利用发现的特殊位置BE/CD（如图6 所示），改编为证明题，或者利用BC,AD的数量关系求解线段或角的相关问题；也可以在这种特殊位置中，探索两圆内切时的特殊的数量关系（如图7 所示）.还有学生想到子母三角形（如图8 所示），改变背景图形,同样可以使用前期分析所得的知识平台、方法平台以及策略平台.这一过程培养了学生的反思习惯，实现了新问题背景下的正向迁移,提高了学生的数学理解能力，使学生逐步掌握数学思想方法，并使其解题经验得到上海中学数学2023年第7 一8 期升华和理性化，产生了认识上的飞跃.从另一个角度，也鼓励了学生的元认知体验，使其明白考卷第25题是自已可以完成的，产生一种自我效能.AEBC图7AEB图：在解决这道题的过程中，学生原有的认知需要被联想，习得的方法需要迁移优化，旧有的模型需要在新的环境中重新构建.这样的思考过程充分体现了数学核心素养的落实.学生的思维能力就在这种结合实际的最佳思维过程和最佳解题方案的不断探索和回顾、反思中，产生出新颖性、独特性和巩固性，学生的元认知能力在自我反省中得到了很好的培养和开发，实现了思维进阶。参考文献1张奠宙.中国数学双基教学 M.上海：上海教育出版社，2 0 0 6.D2谢翔远.元认知能力培养的认识与实践 J.中国教育学刊,19 9 8(1).3鲍银霞.欧盟“学会学习”能力监测进展评介.上海教育科研,2 0 14(3).4魏元珊.初中数学综合题解题教学研究 D.上海：上BC图6DDC海师范大学，2 0 2 1.5张洁.初中数学综合题教学研究 D.兰州：西北师范大学，2 0 0 7.6吴琪燕.基于波利亚解题理论的初中数学综合题学习现状研究 D.昆明：云南师范大学,2 0 2 1.7于黎明.初中数学教学中的“四疑导学”模式研究 D.成都：四川师范大学，2 0 19.8刘畅.基于深度学习的初中数学综合与实践课堂观察研究 D.武汉：华中师范大学，2 0 19.