数学物理方法 第9章 二阶常微分方程级数解法变换法.pdf

第九章 二阶常微分方程级数解法变换法本征值问题9.1正交曲线坐标系 9;2，特殊函数常微分方程9交需点邻域的级数解法9.4 正则奇点邻域上的级数解法9.5 施图姆一刘维本征值问题9.1正交曲线坐标系对于圆的Dirichl et问题，其边界条件Up-a=0若分离变量u=X(x)Y(y)则 XY,-=0边界条件分离不出来但若选极坐标 u=A(p)(夕)则 A(。)(夕)=0 边界条件能分离出来1、正交曲线坐标系若以q i，q 2，q 3正交坐标，则它与直角坐标的相互关系为W）=y（孙必应3）L%=01（X，Z）1%=%（X，/Z）L z=z（/U2，03）l/=g（x,y,2）4 口-.-.、柱坐标（P，,2）r t 尸（P，化2）厂工=pc o s（pY y=psin c p J z=zp=3+yy（p=arc tg xz=zy(1)、柱坐标(夕例2)=pc o s(p y=sin(p-z=zP(p”)八/2 2P=p+y(p=ar c tg-xz=z其中 OV夕o o 0(p27r00 Z 00（2）、球坐标（rf,（p）厂 x=rsin eco s y=rsin sin c p z=r c o sOr=yjx2+y2+z2Jx2+y2 0=ar c tg-z(p=ar c tg 其中 0Vo o007TQ(p2 兀2、正交曲线坐标系中的Au直角坐标系中(1)、柱坐标x=pc o s(p Y y=psh(pJ z=zAw=du _ du dx du dy-Idp dx dp dy dpdu du.=co s夕+sm(p dx dyd2u 0/。、d,du du.、7=()=(co s 69+sm(p)dp dp dp dp dx dyd2u d.du du.、-=(co s c p H-sm 69)dp2 dp dx dyd,du du.x dx d Qu du.、(co s 9+sm c p)1(co s d sm c p)dx dx dy dp dy dx dydp,d2u d2u.、/d2u d2u.、.=(-co s)+-sm(p)co s+(-co s-sm(p)sm(pdx dxdy dxdy dyd2u 2 c .d2u.2=-co s 9+2-sm(pc o s(p+-sm(pdx dxdy dydu.类似有du-psm(p+pco s/d(p dx dy0 2 e u.2 c 2 ali.2 ati 2Y=P-5-sm(p-2p-sm(pc o s(p+p-co s(pd(p dx dxdy dydu du.-pc o s(p-psm(p dx dyd2u d2u 2 c a?.S2u.2-=-co s 0+2-sm(pc o s(p+-sm(pdp dx dxdy dy上面第一式两边除以p21 d2u d2u d2u d2u 1,du du.、5-7 H-7-彳 H-8-(-COS(D H-SB1(D)p1 d(p dp dx2 dy p dx dy1 d2u d2u d2u d2u 1,du du.、-入-7 H-7-7 I-o-(COS(D H-SI H(D)p1 d(p dp dx2 dy p dx dyd2u d2u 1 du_._|-dx2 dy2 p dp1 d2u d2u d2u d2u d2u d2u 1 du-1-1-1-1-p2 dc p1 dp1 dz2 dx2 dy2 dz2 p dp直角坐标系中A=头+/+段 o x c y o z户 a/人 4 小 a 1 du 1 d2u d2u在枉坐标系中 A=-+-+-+-直角坐标系中在柱坐标系中a d2u d2u d2uAl/=-H-H-dx2 dy dz2a d2u 1 du 1 d2u d2u=-7 H-1-%-7 H-7dp p dp p1 d(p dz2在极坐标系中,d2u 1 du 1 d2u=-7 H-1-%-7dp p dp p1 d(p(2)、球坐标系中人 1 1 d2uA”=7 (r2)+-(sm 0)+-r2 dr dr r2 sin 0 dO dO r2 sin2 3 d(p9.2特殊函数常微分方程 二)、La pl a ce方程 Au=O(1)、球坐标系A 10/2。、1。/.八。、1 d2u=7&)+；-(sm 0)+-r2 dr dr r2 sin 0 dO d3 r2 sin2 d(p首先试图将此变量变r与0和p分离u(rf,(p)=R(r)Y(e,(p)代入Y d/?dR、R。.八0丫、R 02yF-0)+f-(sm 0)+5-r=0r2 dr dr r2 sin 0 dO dO r2 sin2 dc pY d/?dR、R。/八。丫、R 02yF 一(,一)+-(sm 0)+9.9-7=0r2 dr dr r2 sin 0 dO dO r2 sin.2 0 d(p两边除以R,Y,乘以/-_d_R dr 令 1_d_ R drdRy sin 9 S3dY(sin)-do1 d2Y-r=/(/+i)r sin 2 gdei aar ar白总须。务鲁=/(/+l 普天函sm 0 SO dO sm 0 dc p 数方标上边第一式化为2 d2R dR 7/7 1、八八r2-+2r-l(l+1)7?=0dr2 dr是欧拉型常数方程，令r=ddR _t dR-二e-dr dtr2d2Rdr2dR+2r-/(/+1)7?=0 dr-t dRr=e-drd2Rdr2t dR=e-dt _-it dR=-e-F edt-it d2Rdt22t/-2t dRe(-e+e dt-2z d2Rdt2)+2/(/+1)&=0dtJ R=Celt+De-1+-/(/+l)7?=0 匚=Crl+Dr-ddtR=C八 DL+d1 d dY 1 d2Y-(sin 6)J=/(/+1)Y sin 0 dO-dO sin2接着试图将变量G和cp分离令 丫(仇9)=3(。)()代入称为球函 数方程 d/.八2、0/-(sm 0)-=/(/+l)G)sin 0 dO dO sin2/9 dc p用。sin?8除以两边 d z.八(1、0/2 1X _-(sm 0)-二 l(l+1)sin 0 dO dO sin2 d(p用sin 2。除以两边1/中 d(p2 1/令.不商/sin。d/.八 d同、7 1、.2 八-(sm 0)+Z(Z+l)sm0 dd dOsin。d/.八、7、.2 八-(sm 0)+/(/+l)sm 6=20 de ded(p2+X=0sin。房(sin。合)+W+l)sin2 6-20=0ep xp gpxp。os ep.xp p pgso o=x 48 us O=0 LtiZo p o p 0 UI S-(1+/)+(而)万丁d)m uj sg+0以 so。/=_0P OPo=/一夕乙 uj s a+/)+(e uj s)下 e uj sOP p0=眦+d d0 加 2.(sin 8 吆)+/(/+1)_-=0sin 3 dO dO sin2令 X=COS0d&d&dx.八 d&=-=-sin，dO dx dOdx1 d z.-d0、1 d/.-d、dx-(sm 0)=-(sm 0)sin 0 dO dO shO dx dd dO1 d z.2 八 d、,.小-(-sm)(-sm 9)sin 8 dx dx=为1-号字】ax axd d0 加 2.(sin 8 吆)+/(/+1)_-=0sin 3 dO dO sin2令 x=co s61 d/.c d。、d r/1 2、-(sm 0)=(l-x)1 sin 0 dO dO dx dxd r/1 2、dg I 八 加2_(1_x)+/(/+1)._0=o该方程称为连带勒让德方程如m=0d r/1 7/7 n而K-)区+/(/+1)=称为勒让 德方程球坐标系x=co s9连带勒让德方程d八 2、“7-ix m2 八(x)-+/(/+1)-=。ax ax 1-x/2小n+加=0d(p=Zco s加。+5sin m(p(m=0,1,2,3)2 d2R.dR 7/7 1、八八r2-+2r-/(/+1)7?=0dr2 drR=C八 DL+d(2)、柱坐标系a d2u 1 du 1 d2u d2u=-k H-1-8-k H-7dp p dp p1 d(p dz2试图将变量变p与e和z分离 u(p,(p*)=R(p)(p)Z(z)代入人 d2R dR RZ d?不”/工 Z -F Z-1 -F R 0dp p dp p d(p dz用Z0R/p2除以两边_n p2 dR dR 夕2 d?Z _ 1/2N 而7+下不+方不而令P2 d2R、p dR、.2 d2Z _/_,七R dp2 R dp Z dz2 dc p1空+加=0-d(pp1 d?R+p dR+p?d?Z _ 2R dp2 R dp Z dz2代入令 X=m2用 二Zco s加0+5sin加0(加=0J,2,3)p2 1 d2R 1 1 dR m1 _ 1 d2Z-|-除以两边 R dp2 p R dp p1 Z dz1=4co sm(p+Bsh m(p(m=。12,3)1 d2R 1 1 dR m2 1 d2Z-1-=-_/J 令 R dp2 p R dp p1 Z dz1d2R 1 dR-1-o 1dp p dp2+(-R=0 代入 Pd2Z_Z=0r Z=c+DzV Z=C+(=0)(0)Lz=Ceo s J2+Z)sin J z(0)LZ=Cco s J_z+Osin J_ 4 2(4 0)令 x=dR _dR dx,dR dp dx dp 7 dxd2R 1 dRH-p dp加2+(一-)R=0 PR=E+F hp(加=)R=Epm+F pm(加 w =)(0)令 x=pdR _dR dx,dR dp dx dp 7 dxd2R_ d IdR d IdR dxdp2 dp dx dx dx dpd2Rd2R 1 dR Z1 m2、八加r+-+(l-QR=b 即dx x dx xd2R 1 dR z 八dp pdp+JR-。(O)-d2R 1 dR“m?、c 加r+-+(1 r)7?=O 即dx x dx x2 d2R dR,2 2、力八 称为贝塞X及2+x入+(x加)火0尔方程(0)c=4MPd?R dx21 dRH-x dx2m(1+丁)A=0 x2 d2R dR x +x dx dx-(x2+m2)R=0称为虚宗 量贝塞尔 方程即柱坐标系=4co s加9+5sin m(p(m=0J23)rZ=C+Dz(=o)y Z=Cez+Dez(0)=Cco s/zz+Dsin J-rz(0)R=E+F hp(m=0R=Epm+F pm(机 w x=x2-y-+x+(x2-m2)7?=0dx dx=0)=0)(0)x=x2-+x-(x2+m2)R-0()+2 区 2 +k2RY=0dd/$仙2夕合/两边除以R,Y,乘以1 d/2 dR、z 2 2 _-(v)+k Y=.R dr dri aYsin 8 9。dY(sin6)-de1 d2Yy sin 之。Q(p2令1.2 dR、2 2-(r)+k r R dr dr1d2YYsin 9 995 Y 1 dzY(sin 6).-=/(/+l)d0 Ysh20d(p2化简为两个 方程(r2)+k2r2R=l(l+l)R dr dri asin 0 dOdY(sin6)-de1 d2YI-r=/(/+i)rsin 2 8(r2)+k2r2R=l(l+l)R dr dr1。sin 0 dOdY(sin6)-dO1 d2Y1r=/(/+i)y sin 之 8称为球函 数方程上边第一式化为r2d2Rdr?dR+2r+2r2-/(/+1)7?=0 dr之称为/阶球贝塞尔方程若k=0令x=krZ阶球贝塞尔方程 退化为欧拉型方程R=y(%)2xd?R dRr2 v+2r +F r2-/(/+1)7?=0 l 阶球贝塞尔方程dr _dr_d?R dRr1 2 v+2r+k2r2-l(l+V)R=0 l 阶球贝塞尔方程dr _dr_ _r x krR=/（x）0 X2 +X-+x2-(7+)2y=0 ax ax 2为1+1/2阶贝塞尔方程1 d dY 1 d2Y-(sin 6)-4=/(/+1)7 sin 0 dO-dO sin2 d(px=krR=51/1阶球贝塞尔方程+2r+k2r2-1(1+1)7?=0dr dr连带勒让德方程x=co s9)d r zi 2、di”7,、加之区(口+小+匚7分。屋 2小n十加=0 d(p=4 co s 加0+5 sin m(p(m=0J23)(2)、柱坐标系d2v 1 dv 1 d2v d2v z 2 八7+-+7+-+k V=0dp P dp 夕2&2试图将变量变p与(p和z分离代入v(.9,Z)=火(p)Z(2)zfzr+rrzu dp p dp p dc p dz用Z火/夕2除以两边一 互以+遑+左送+左2 2.工岁2Z R dp1 Rdp Z dz2 dtp1互U+R/+左返+左22=_ 令 R dp1 Rdp Z dz?P1/=A d(p2/中d(p2+X=0左驾+2遑+左g+左2夕2=xR dp R dp Z dz2代入令 X=m2二Z c o s m(p+5 sin m(p(加=。，2,3)1 d2R 1 1 dR m?R dp2 p R dp p1+k2=-1 d2ZZ dz2=4co sm(p+Bsh m(p(m=。J,2,3)1 d2R 1 1 dR m2/2 _ 1 d2Z上-彳 H-7+k=-=y令 R dp p R dp p Z dz2d?Z 27c=j b“z=。代入l 续+工迎+（F吗夫=0 dp p dp pd2R 1 dR z m2、n 仆令二产一-号行+QR令x=6p=驾+工建+（1_1）k=0岑二缪dx2 x dx x2 塞尔方程竺+1z=odz2d2R 1 dR 2 2 病-+-+(k-v r)7?=0dp p dp p二左2 一172若 二d?R 1 dR z m2 x _ 八 一+一丁+(一一=。dp p dp pd2R 1 dR Z1/、八八k+7+丁)&=dx x ax xd2R l 诙一丁二 r+-rA=odp p dp p代入为m阶贝 塞尔方程加阶球贝塞尔方程火=+b111 p(加=0 4=0)退化为欧拉型方程R _+F p一加(加 w 0 4=0)=4co s加0+5sin m(p(加=。,2,3)二左2-v2 x=p（4=0）m阶贝塞尔 方程退化为 欧拉型方程d?R dp2 dR dx21 dR/m?八d +(/-QR=0p dp p+-+(l-)R=0 为机阶贝x dx x2 塞尔方程R=E+F hp(m=0 二)R=Epm+F pm(加 w 0 4=0)d2Z+v2Z=0Z=C+DzJz=Cco sv z+Dsin v z(v=0)”0)9.3常点邻域的级数解法虑二阶常微分方程 y1+p(x)y+q(x)y=0初始条件为 y(/)=c0 y(x0)=a可以用级数求更一般，对于复变函数zvQ)初始条件为d2w dz2/、dvr+夕(，+q(z)w=Ow(zo)=Q 3(%)=GN力复变函数,No力选定点，Co,G为复常数d2w/、dw/、八-yv+P(z)+夕(z)二 0 dz dzg)=Co 3(Zo)=q若p(z)和q(z)在点z的邻域内解析,z0称为方程的常点 者z0空p(z)和q(z)的奇点,z0称为方程的奇点对于常点邻域内解析的情形,可用级数解法求解00W(Z)=Z%(Z。)”k=0其中dk有待确定(1)、勒让德方程的级数解勒让德方程即或(l-x2)-+/(Z+l)j=0 ax ax(1%2 2x-+1(1+l)y 0dxd2y 2x dy 1(1+1)-2-2-1-y=Udx 1-x dx 1-x2x 1(1+1)P(x)=-r q(x)=-r1-x 1-x在xo=O的邻域内解析,可以用级数求令00(1-x2)4-2x+/(/+1)j=0 dx dx00y(x)=Z 左,代入有k=60000(1-x2)Z k(k-r)akxk-2-2x Z kakxkA+1(1+1)akxk=0k=2即 00k=200k=k=000akxk2+1(1+V jakxkk=000-2g kakxk-k(k-l)akxk=0k=l k=200 00E 曲1)叫2+/(/+i)z 即k=2 k=000 00-2 kakxk-k(k-V)akxk-0k k-2比较各次森系数有2,(21)2+/(，+1)佝=03-(3-13+/(/+1)-2=0(k+2)(左+1)为+2+/(/+1)一 呼+1)应=02,(2-1)出+/(，+1)，=03(31)%+/(/+1)2%=0(k+2)(左+1)&+2+叩+1)-k(k+则=0从而可得/(/+1)a2=0/(/+1)左体+1)即+2二 即*2 把+2)(左+1)/(/+1)%=-斤劭3 3-2 1/(/+1)-+1)即+2二 即2(k+2k+1)k外推一%=（T）-。I/(/+1)-2-3 2”2)/(/+1)(-3)。2:(一1)-,夕-1二5外推l(R(/2左+2)(/2左+4)/(/+1)(/+2左一1)(W“0%=(川(/2 左+1)(/2 左+3)(/1)(/+2)(/+2 封(2 左+1)!%女=1,2,将以上系数代入得,、(ky(x)=Z%x=0%+源其中 k=0、/小(/+1)2-2(/-2)/(/+1)(/+3)4 1为T+(T)x+(T)-%+,+(-1/(/2左+2)(/2左+4)/(/+1)(/+2左一1)2kX明！一一 卜=%+(-!)-If+(-I)。-.+3!5!“/2+1)(/23)(/一1)(/+2)(/+21)+(1)-x+(2 左+1)!将以上系数代入得 M、）=0%+%其中%=1+”以工4+511”+.0 许 0%=%+%_?+生八.+吼婷,%(2)、解的收敛性利用达朗贝尔判别法有即 ak+i=l im7?=l im（左+2）（左+1）Z（/+l）-+l）火二 l im上一00即 ak+i=l im（左+2）（左+1）/（/+1）-+1）说明X 1发散可以证明在X=1即X二1处为(1)和必(1)均发散(3)、勒让德多项式由于 (1)和为(1)均发散勒让德方程的级数解若能退化为 多项式，则发散问题解决考虑到0=(力(/2左+2)(/2左+4)/(/+1)(/+2左一1)(W“0若取 1=2n 贝4 o(x)只至U x2n项因为Q 二产Z/2+Z /(2/7 2Kx2Tl 2+2)(2/1+2)!旬=0若取 1=2n 贝yo（x）只至N项 因为/(/2女+1)(/2女+3)(/1)(/+2)(/+2外“2-(W-%贝4%（动力发散但可取从而4 1二 0M%）二旬为%（%）=0被称为Z阶勒让德多项式将”艮制在o或正整数，使“解在久=1保持有限 称为勒让德方程的自然边界条件9.4正则奇点邻域上的级数解法T二）、正则奇点邻域上的级数解考虑二阶常 d2w/、如微分方程-JT+P（z）7+夕（2）.=0若Zo是p（z）和*Z）的奇点,Zq称为方程的奇点,解也以方程为寺点,则在02-200 R 存在两个线性独立解00叫二即（Z-4丫左二一0002（2）=24（-2o 户左二一0000或 明二/%蜂-2）+E%（2-Zo产左二一00在 0 z-z0$2若S1 52。蹙，则取第一个。）&）等式,否则取第二个s(s l)+w_i+q _2=0的证明00 00 00W二 与(2-20 1=E(2-z y 二 年 k-s k-s、oo3=Z左以2 1 3=Zk(k-l)c ikZk 2k=s k=s代入 3+2(z)w+q(z)v=000 00 00E 曲左 T)%2+0(2)左年破2)Z 二 0k=s k=s k=ss(s l)+w_i+q _2=0的证明00 00 002 网1)年2+式2)2加=0k=s k=s k=s00 00p(z)=EPk(zzy g(z)=x%(zzy k k2考虑Z的最低赛次若s(s-V)aszs2+sp_xaszs2+q_2asz2=0S(S-1)+sp_x+02=0(二)、v阶贝塞尔方程(1)、V阶贝塞尔方程考虑v阶贝塞 岁5+工立+(1_:方二o尔方程 dx x dx x/、i 夕=-p(z)以0=0为一阶极点,q(z)以xo=O为二阶极点21=1V2 g（x）=1 2Xq2=y2判定方程代人S（S-1）+叫+02=05（5-l）+5-V2=0考虑V阶贝塞 尔方程2d y dydx2x dxy2+（一尸 0s（s-V）+s-v2=0sx=v先取SI=VS2=f00yx=akxk+v攵二o代入v阶贝塞 尔方程x2d2 ydx2+x+（a：2 v2）y=0 dx00先取 s，代入V阶贝塞 2.尔方程+2_y2dx2 dxx-00 00“Z（左+u）（左+v）akxk+v+（左+v）akxk+vk=0 k=000 00k+V nakx-0k=Q k-0 _ _ _ _00 00即 2（左+切2-内即；户+2年产+2=0 k=0 k=0Ek+v+l 2 1v X00 00即 2也+犷-内即/“+2即”3=k=0 k=0比较各次赛系数看=(v2-v20=0(1+切2_商%=0(k+v)2-v2ak+ak_2=0 a。w 0 q=0ak-2 ak-2ak=-%-(k+v)2-v2 k(k+2v)o w 0二 0ak=ak-2ak-2(左+4-/k(k+2v)%_ 0-2(2+2 v)_2-4(4+2 v)_/_八a?03 3(3+2v)%=0=(一1)2ao24-2(v+2)(v+1)a 2k-22k(2k+2v)（l+i）%了（【+人）回0=7川-)N+/叼或产力1=a)0000 爵（1+一）用7（I+4）-叼（1+八）（【-7+力（7+人力%/1-）=0（Z+Z-由4-g（找+收）收F J4-）=：（1-）=（5比”5%00 00/（X）=。（/7+2（T/k=0 k=l40r（1/+1）2k+u22!f（v+l）X00N（T）“k=06zor（v+i）2k+v 22!f（v+l）X其中而无）=/产力（%o）r（i）=i r（-）=Gr（x+l）=xF（x）r（n+1）=nT（n）=nT（n-1）=,=!00k=0为r+l)婷+P 22!r(y+l)(2)、解的收敛性利用达朗贝尔判别法有上00即 ak+=lim 22 k(k+2v)=oo故只要X有限,攻戏收敛=(_、左)(j+l)2k+v 2人!,+左+1)(3)、贝塞尔函数 故只要X有限,攻痴|攵敛10 2T(y+l)有00r(v+1)i2k+vk=aook=022kkir(v+k+l)2T(v+l)1kr(v+k+i)称为贝塞尔函数00 1 丫y=(iy-(1 s k!n y+后+i)2用 j(X)=(iy!()2k+vti 左!0+左+1)2表示为V阶贝塞尔函数同理有 9 口乙?5而ZF U甲jV阶贝塞尔方程的通解为j；(x)=C1Jv(x)+C2J_v(x)00 x)=z(-iyk=000 乙(x)=X(T)k=0Jv和称为第一类柱函数-(4)、耋数机阶贝塞尔方程 当vwm时,丫和Lv线性无关 当v=nt时,1丫和Ly线性相关 00证明如下:12k-mk=0人!(一冽+左+1)00乙 a)=z(Tyk=01左!r(掰+左+i)令km=l,因为km+l 000k=01(/+m)!r(/+l)00=(-1)C(-1)/k=01 2l+m(/+加)!/，=(-WM)故当v=nt时,Jv和线性相关 需要寻找另一与1nl无关的解x）=X（T）k=000乙（%）=x（iy k=0后!10+上+i）21 2k-v（-+左+1）5）X x）=C/v（x）+C2J_v（x）取 Q=CtgV 7l C2=-C SC V 7Tv阶贝塞尔方程的一个特解为/、J（X）C0SV 7T-J（X）2/、歹（工）二v-三M（x）sm V 7ij/(x)=CXJV(x)+C2J_V(x)N M=，(x)c 称为v阶诺v sin V 7i 伊曼函数v阶诺伊曼函数为第二类柱函数V阶贝塞尔方程的通解可取为y(x)=ClJv(x)+C2Nv(x)但当v=m时n(兀)=人(%)。一.万一/加0)sm mjiNm(x)=sin mji 0入7/、r JV(X)COSV 71-J(x)Nm9=ta 八.-y 加 sm V 7i2 x=-(ln-+C K(x)71 2C为欧拉常数y(x)=CxJm(x)+C2Nm(x)(5)、C+l/2)阶贝塞尔方程考虑(7+1/2)阶贝塞尔方 程x2+x+x2-(/+)2j=0dx2 dx 2(/=0,123)取1=02嗯+立+2_山2 0ax ax 200左二0kV(y+k+)x1代入v=l/2gi 7 1 x 2k+-4(x)=Z(T)i-e 22 卜=0 左!(：+左+1)200加阶贝i（x）=Z（T）k塞尔函数2 k=01i左!弓+左+1）2+-200=zk=0（-1）左2k+-2后!（后+5）（左+不 1）（3）00 八（x）=Z 2 左=0（-1）左2个左!（2左+1）（2左一1）5316（F7 1 C7 1k 2k2（x）22后（2左一2）42（2左+1）（2左一1）5.311/2阶贝塞尔函数2个2八(%)=2(-1)%2后(2左一2)42(2左+1)(2左一1)531仁白（2左+1）!（）以片上L（x产 以、七（2左+i）r1(%)二sin x271 Xs1 s2=l第二个特解应为00y2(z)=A Jr(x)lnx+bkx2但可试着用v 72代人贝塞尔函数00j(x)=z(Ty2 k=a00)二元 k=01 V 2ki(5)2人!r(5+左+i)2(产左!2鼠2左1)(2左3)5311(1)X与线性无关故坛和人口可作为、=V 2双塞尔方林的线性独立解v=加贝塞尔方 程的通解为y(x)=ClJi(x)+C2J i(x)22贝塞尔函数力00 1“Z 12k+l 2J1(%)=22.sin x71 XJ 1(x)=22co sx71 X00小 x)=z(-iy2 k=0mr（/+：+左+i）C7 Z 12k+l2S _ S2=21+1第二个特解应为y2(z)=A J i(x)hx+/+-2o oEv左二(/+1/2)但可试着用V=4+加）代入贝塞尔函数J1(x)=22.sin x71 XJ 1(x)=22co sx71 X00小 x)=z(-iy2 k=01左!(/+：+左+1)C7 7 12k+l2 与00j n、(%)=z(-iy(/n)7 n 2 k=0人!(一/：+左+1)2kI2线性无关v=Z+加贝塞尔 方程的通解力y(x)=CJ i(x)+C2J i/+-(/+-)2 2(6)、=0处的自然边界条件00 1当7时，4(%)=z(1)一,停了小M 上!0+左+1)2S Jo(X)f 1 40)-0 人-8L Nv(x)T 00 Nm(x)00(y 0)若研究区域含x=0,要去N(x)Nm(x)N(x)J_v(x)剩下4。)JQ)LG)称x=0处的具 有自然边界条件（三）、虚宗量贝塞尔方程（1）、V阶虚宗量贝塞尔方程考虑V阶虚宗量 贝塞尔方程令二1为V阶贝塞尔方程X=一记d2y 匕dy/匕2 2、八-+-f-+-v2)y=0延 四100/庶）=4（比）=（1）左左二0ixkr(v+k+l)2)2 左+1/X=*00“）=/）N（Ty1ix00k=01=ivYmr（i+i）左!r（v+左+i）22k+v)2 左和oo=（比）=x（irk二Q1左!r（v+k+i）-V00i=iv y+左+i）2k-v2,八,丁/.J(ix)C0SV 7T-J(ix)曼函数 Ny=Nv(zx)=八).-士sm vji00 1j(zx)=ry-打“+上+1)令V阶虚宗量贝塞尔函数为实数00 1/v(x)=ivjv(ix)=Sr(v+i)00 1 Y4Jg)?说弓尸00 1/（%）=fj）=y-白人!（一+左+1）V阶虚宗量贝塞尔方程的一般解为2k-vX x)=C1/v(x)+C2/_v(x)(2)、整数m阶虚宗量贝塞尔方程考虑m阶虚宗 量贝塞尔方程x2+x (x2+m2)y=0 dx2 dx令 X=-ij二 丁今+4某+(8=。dj 若为m阶贝塞尔方程m阶虚宗量贝塞尔函数为实数00IM=rmJm(ix)=Xk=01左!r(加+左+i)/X、2k+mm阶虚宗量贝塞尔函数为实数100 1 yI(%)=rmj Gx)=y-(yk+m黑左!(加+左+1)200 1=y七左!（机+左）!2k-m而乙位）=（-以人也）=r(_lrr4(x)=4(x)寻找 另一个独 立解9.5施图姆一刘维本征值问题（一）、施图姆一刘维本征值问题考虑形式为:左（%）孚-Q（x）y+澳（尤）y=0 axb）ax ax的带参量九的二阶常微分方程，只有某些非零九方程才看就 九称为本征值，对应的非零解称为本征函数前面介绍的方程都属于施图姆一刘维型方程（D考虑贝塞尔方程 嗯+（l _：）y=（）dx1 x dx x1d/dy.v,八O-)-y+无u=oax ax x2=1?x=ddxk(x)q(x)y+A p(x)y=0(axb)dx-(i)贝塞尔方程d,匕方、v 勺匕 八涯 4“2k(J)=J 虱多=-7qC)=J2=4a=0b=4o注意：贝 塞尔方程 是在柱坐 标系中代 换得到的III也/Li k1y/1d2R 1-1-dp2 pd2R 1-2-I-dx xy(4)=o+欧而原国2 2,2 2 m p m X2o o-二左(外孚g(x)y+即(x)y=0(axb)ax ax(ii)勒让德方程C:(1M?+/(/+l)k o ax axkx=1 x2 q(x)=0|A=/(/+1)c i=-1夕(%)=1b=ll自然边界条件y(l)=有限-j-左()半q(%)y+2p(x)j=0 axb)ax ax(iii)连带勒让德方程 d r/1 i.dy1 m2 1、八I 区K)石一+/(2k(x)=x2加2w=匚彳夕(x)=l2=/(/+1)c i 1b=l自然边界条件y(l)=有限d7/、dy-i/、o/、r 不小)&-公”+即(中=。(ax(1)=有限 以 1)=0连带勒让德方程 kx=1-X2y(l)=有限 左(1)=0(二)、施图姆一刘维本征值问题的性质(1)、若k(x),k，(x),q(x)连续,或最多 V lx-afx-b 为一阶极点，则存在无限多本征值44 3-*对应有非零本征函数%(X)%(、)%(x)(2)、所有本征值均大于零(3)、有带全重?出的正交关系aI ymMynMpMdx=QJa证：本征函数%无%.满足dhKC Ov：-Q(x)ym+4夕(x)j=axd-kxy-qxyn+Anpxyn=0 ax第一式乘以yn第二式乘以ym相减 Vyn回+(4-4pymyn-。ax axd yn7 ax积分叱i）现/=。b d dynWmA-ym-kydx a ax axa+1(4-Ja2-ky 儿)+(4-4=。(yJ x=b 一(kyy1-ky yjr b+1(4-4)西zA=oJaxaynV m-n J)x=b(kynykyn ym)xar b+1(4-4)叽xA=o Ja根据边界条件 y 0 y=0J n xb J m x=b或 yx=b=ym x=b=()或(兄+hym)|x=0q(y+kyn)|x=b=(kynymky ym)x=b=(一%ym+hky ym)|.=o或自然边界条件 k(b)=0(左u，yJx=b-(kynym-ky ym)x=arb+1(4-4)o jA=o Ja(kynymky ym)x=b=o(kyny:ky n ym)二b(4-4)X m=0 abpymyndx=a(4)、本征函数族/j/2(x)j3(x)是完备的，且00/(x)=Zy(x)n=l(三)、广义F o urier级数上式称为广义F o urier级数，力称为广义F o urier系数_I pymyndx=Jaf p ym=工夕以 C)以 CM Jn=lo o/(%)=Zzx(%)a=oZ2=lf p ym C)/C W J=fYJfnpyn C)%(&)延 n=l由正交性 f pym=f mPym C W4 Ja Jar b _ 夕 G)%C)/G WAf m 7b-f HJ/GD斯Ja00/（X）=Zf _ Ja_J m-rb cf夕（J立eW4Ja令N；=，p（+y；8dJ 2神称为的模Ja夕 G）%bpymyndx=ap也)媪Ja可合并为.bpymyndx=n；3mH aro(m w n)而3nm1(m=n)如，贝塞尔函数勒让德函数 N：=，斤也）四一般正、余弦函数N；=，co s2()dj