数学建模时间序列方法.pdf

9.2随机时间序列分析模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性 二、随机时间序列模型的平稳性条件 三、随机时间序列模型的识别随机时间序列模型的估计五、随机时间序列模型的检验经典计量经济学模型与时间序列模型确定性时间序列模型与随机性时间序列 模型一、时间序列模型的基本概念及其适用性1、时间序列模型的基本概念随机时间序列模型(time series modeling)是指仅用它的 过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为Xt=F(Xt,1?X_2，,建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：(1)模型的具体形式(2)时序变量的滞后期(3)随机扰动项的结构例如，取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项(出二%)，模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：Xt=(pXji+8t这里，、特指一白噪声。一般的p阶自回归过程AR(p)是Xt=(PlXt-l+P2Xt-2+(PpXt-p+也(*)(1)如果随机扰动项是一个白噪声(%=%)，则称(*)式为一纯AR(p)过程(pure AR(p)process),记为Xt=(PiXt/+(p2Xt_2+.+q)pXt_p+。(2)如果也不是一个白噪声，通常认为它是一个q 阶的毯动平南(moving average)过程MA(q)：m=4。声 t-l%加2 0qSt-q该式给出了 一个纯MA(q)过程(pure MA(p)process)。将纯AR(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均(autoregressive moving average)过程 ARM A(p,q)：Xt=(PlXt-l+(P2Xt-2+(PpXt-p+F _ 0lSt-l-。2京2 0qSt-q该式表明：(1)一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过 程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随 机扰动项来解释。(2)如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间 的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为 来预测未来。这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。2、时间序列分析模型的适用性 经典回归模型的问题：迄今为止，对一个时间序列xt的变动进行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有一定的模型结构，因 此也常祢为结构式模型(structural model)o 然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无法解释的因 素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来 解释Xt的变动就比较困难或不可能，因为要取得相应的量 化数据，并建立令人满意的回归模型是很困难的。有时，即使能估计出一个较为满意的因果关系回归方 程，但由于对某些解释变量未来值的预测本身就非常困 难，甚至比预测被解释变量的未来值更困难，这时因果关 系的回归模型及其预测技术就不适用了。在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过时间 序列的历史数据，得出关于其过去行为的有关结论，进而 对时间序列未来行为进行推断。例如，时间序列过去是否有明显的增长趋势，如果增长 趋势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行 为里占主导地位呢？或者时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过去 的这种行为来外推它的未来走向？随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变 化特征来预测未来的变化趋势。使用时间序列分析模型的另一个原因在于：如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则这一结 构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间序列分析模型的 形式。例如，对于如下最简单的宏观经济模型:Yt=Ct+It这里，Ct、I t、Yt分别表示消费、投资与国民收 入。Ct与Yt作为内生变量，它们的运动是由作为外 生变量的投资It的运动及随机扰动项戊的变化决定 的。上述模型可作变形如下:a=-Gi+；+：L+山一/一/一/l-ar2 7 0 1 r 42/1Y=-Y H-1-11-11 1 H-NtI 4 r1 4 4 I 4 f1 4 t Il-a1 l-a1 l-a1 l-a1 l-a1两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分 可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于 投资项I t的行为。如果L是一个白噪声，则消费序列Ct就成为一 个1阶自回归过程AR(1),而收入序列Yt就成为一 个(1,1)阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1)。二、随机时间序列模型的平稳性条件1、AR(p)模型的平稳性条件自回归移动平均模型(ARMA)是随机时间序列分析模 型的普遍形式，自回归模型(AR)和移动平均模型(MA)是它的特殊情况。关于这几类模型的研究，是时间序列分析的重点内容：主要包括模型的平稳性分析、模型的识别和模型的估计。随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间 序列的平稳性来判断。如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则，就说该AR(p)模型是非平稳的。考虑p阶自回归模型AR(p)Xt=(PlXt-l+P2Xt-2+.+(PpXt-p+。(*)引入滞后算子(lag operator)L：LXt=Xt_pPXt=Xt.2,.,LPXt=Xt.p(*)式变换为(1押/一(p2L2-._PpLp)Xt=st记(L)=(l-(pL-(p2L2-.-q)pLp),则称多项式方程(z)=(Ip/-(p2z2-.-(ppzp)=0为AR(p)的特征方程(characteristic equation)。可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外(根的模大于1),贝！JAR(p)模型是平稳的。例9.2.1 AR(1)模型的平稳性条件。对1阶自回归模型AR(1)X,=阳t+J方程两边平方再求数学期望，得到Xt的方差E(X；)=(p2E(X；_)+E(e；)+2E(X,t)由于Xt仅与曾相关，因此，E(Xt_R)=O。如果该模型稳 定，则有E(Xt2)=E(Xt/2),从而上式可变换为：在稳定条件下，该方差是一非负的常数，从而有 l(pllo而AR(1)的特征方程(z)=1-舔=0的根为 Z=l/(pAR(1)稳定，即kplvl,意味着特征根大于1。例9.2.2 AR(2)模型的平稳性。对AR(2)模型Xt=.XT+(p2Xt_2+t方程两边同乘以xt,再取期望得：Xo=91/1+02/2+（X 片）又由于E(XG=(pE(X.CE(X.2t)+E)=.于是2Xo=91/1+02/2+1同样地，由原式还可得到71=0%+Y1=（P1/1+。2九于是方差为二 _（1一。2届（1+（p2）（1-（px。2）（1+。1 一。2）由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有(pl+(p2 l,(p2-(pll,I(p2 ll这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点 分别为(-2,-1),(2,-1)，(0,1)的三角形。图9.2.1 AR(2)模型的平稳域AR(2)模型Xt=/Xi+(p2Xt_2+t对应的特征方程(p2 z2=0的两个根Z2满足：z1z2=-l/(p2,Z1+Z2=-(Pi/(p2解出6,我 1 Z1+Z292=-5=-由AR(2)的平稳性，l(p2l=l/|Z11|z2l1,有+。2=-=)0Zi Z2于是1z2 llo由r2 一 6 vl可推出同样的结果。对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有 必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有 用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：(l)AR(p)模型稳定的必要条件是：(Pl+(P2+.+(Ppl(2)由于R(=1,2,p)可正可负，AR(p)模 型稳定的充分条件是：|(p1|+|(p2|+.+|(pp|l2、MA(q)模型的平稳性对于移动平均模型MR(q)：Xt=t-0lt-l-加2 0qt-q其中、是一个白噪声，于是E(XJ=E4矶之)q矶%)=o7o=var(Xj=(l+.+)或.=cov(X,Xi)=(/+d+)或小=cov(X,X,)=(-%+叫位当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。因此:有限阶移动平均模型总是平稳的。3、ARMA(p,q)模型的平稳性由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型与MA(q)模型的组合：Xt=(PlXt-l+(P2Xt-2+(PpXt-p+15-1 一优加2 0qt-q而MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA(p,q)模型的平 稳性取决于AR(p)部分的平稳性。当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳 的，否则，不是平稳的。最后(1)一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机 过程或模型；(2)一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方 法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对 应的平稳随机过程或模型。因此，如果我们将一个非平稳时间序列通过d次差分，将 它变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的 组成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移 动平均(autoregressive integrated moving average)时 而用歹记为ARI MA(p,d,q)。例如，一个ARI MA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前 先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模 型的。当然，一个ARI MA(p,0,0)过程表示了一个纯AR(p)平稳过 程；一个ARI MA(0,0,q)表示一个纯MA(q)平稳过程。三、随机时间序列模型的识别所谓随机时间序列模型的识别，就是对于一 个平稳的随机时间序列，找出生成它的合适的随 机过程或模型,即判断该时间序列是遵循一纯 AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。所使用的工具主要是时间序列的自相关里数(autocorrelation function,ACF)及偏自相关函 数(partial autocorrelation function,PACF)。1、AR(p)过程(1)自相关函数ACF1阶自回归模型ARX 尸(pXtj+8t的k阶滞后自协方差为：九二(乂心(密 i+=(pkyQ k=1,2,.因此，AR(1)模型的自相关函数为Pk=八0=9k k=1,2,.由AR(1)的稳定性知1(plvL因此，kfoo时，呈指数形 衰减，直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆(infinite memory)。注意，cpvO时，呈振荡衰减状。2阶自回归模型AR(2)Xt=(PXt_+P2 Xt_2+8t该模型的方差%以及滞后1期与2期的自协方差力,丫2分别为/0=91/1+02/2+0Xi=9%+02%/2=91/1+。2九类似地,可写出一般的k期滞后自协方差：九二E(Xt(9-2Xt2-I-2 t)二。1九i+。2一2(K=2,3,.)于是,AR(2)的k阶自相关函数为：Pk 9Pk-+。2夕左一2(K=2,3,.)其中：P1=P1/(1 呻2)，Po=1如果AR 稳定，则由(pi+(p2l知I Pk I衰减趋于零，呈拖尾 状。至于衰减的形式，要看AR特征根的实虚性，若为实根,则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。一般地，p阶自回归模型AR(p)Xt=WlXt_+(P2t-2+甲pXjp+tk期滞后协方差为：Yk=E(XkX-i+(p2Xt_2+9pXj+j)=。2 九一2+0php从而有自相关函数：Pk=91X4-1+(PiPk-2+WpPkp可见，无论k有多大，Pk的计算均与其1至M阶滞后 的自相关函数有关，因此呈拖尾状。如果AR(p)是稳定的，则I pk I递减且趋于零。事实上，自相关函数pk=5Pdk2+*pPkp是一p阶差分方程，其通解为Pkfcli=l其中：I/4是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，1p,4与Xjk间的 偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是:kp时，pk*=Corr(Xt,Xt_k)=0即Pk*在P以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即kp时，Pk*=O,而 它的自相关函数P1是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)序 列。需指出的是，在实际识别时，由于样本偏自相关函数几*是总 体偏自相关函数Pk*的一个估计，由于样本的随机 性，当kp时，0*不会全为。，而是在。的上下波 动。但可以证明，当kp时，以*服从如下渐近正态 分布：%*N(O,l/n)式中n表示样本容量。因此，如果计算的几匆茜足I rk lY=我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p之后截 尾。2、MA(q)过程对MA过程Xt=j可容易地写出它的自协方差系数：九二(1+/)近八=-既r2=二0于是，MA(1)过程的自相关函数为：0 Pl (1+l时，pk0,即4与Xt.k不相关,MA自 相关函数是截尾的。MA(1)过程可以等价地写成又关于无穷序列人，Xi，的线性组合的形式：8t=Xt+3Xt_1+02Xt_2+或 X t=X-k x-2+J(*(*)是一个AR(oo)过程，它的偏自相关函数非截1尾但却 趋于零，因此MA的偏自相关函数是非截尾但却趋于零 的。注思：(*)式只有当101Vl时才有意义，否则意味着距Xt越远的X 值，对Xt的影响越大，显然不符合常理。因此，我们把191 qI相应的自相关函数为f 1 当上=04二2=(-+昨也)/(1+4+彳)Ik q可见，当kq时，工与X/不相关，即存在截尾现象，因此，当kq时，pk=0是MA(q)的一个特征。于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0 来判断MA(q)模型的阶。与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是 非截尾但趋于零的。MA(q)模型的识别规则：若随机序列的自相关函数截 尾，即自q以后，Pk=。(kq);而它的偏自相关函数是拖 尾的，则此序列是滑动平均MA(q)序列。同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关 函数也是总体自相关函数Pk的一个估计，由于样本的随机 性，当kq时，见不会全为。，而是在0的上下波动。但可以 证明，当kq时，以服从如下渐近正态分布：“N(O,l/n)式中n表示样本容量。2因此，如果计算的1满足：=我们就有95.5%的把握判断原时间序列在q之后截尾。3、ARMA(p,q)过程ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数 和AR(p)的自相关函数的混合物。当片0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质从识别上看，通常：ARMA(p,q)过程的偏自相关函数(PACF)可能在p阶滞 后前有几项明显的尖柱(spikes),但从p阶滞后项开始逐渐 趋向于零；而它的自相关函数(ACF)则是在q阶滞后前有几项明显 的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。表9.2.1 ARMA（p,q）模型的ACF与PACF理论模式模型ACFPACF白噪声Pk=OA=AR(p)衰减趋于零（几何型或振荡型）P阶后截尾：Pk，kPMA(q)q阶后截尾：，pk=0,kq衰减趋于零（几何型或振荡型）ARMA(p,q)q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）图9.2.2 ARMA(p,q)模型的ACF与P4CF理论模式ACFPACF模型 1：X,=0.7Xi+j1 2 3 4 5 6 7 8模型 2：Xt=-OJXt_i+t0.0-0.2-0.4-0.6-0.81 2 3 4 5 6 7 8模型3：X 0.7%模型 4：X=0.7X 0.49X+%模型 5：x=-0JXtl+-0Jti0.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8八随机时间序列模型的估计参数AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多，大 体上分为3类：(1)最小二乘估计；(2)矩估计；(3)利用自相关函数的直接估计。下面有选择地加以介绍。.AR(p)模型的Yule Walker方程估计在AR(p)模型的识别中，曾得到Pk=(PPk.+9 必一2+(PpPk-p 利用Pk二P-k，得到如下方程组：P1=91+02.+%XV，1Pl=(PPH+(PpPp_2PP=。1 2p-1+022p-1+(PpPp-k此方程组被称为Yule Walker方程组。该方程组建 立了 AR(p)模型的模型参数6,，,生与自相关函数 Pl，P2 ,Pp的关系利用实际时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的 估计值 a。?,a然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计值血也，,以人02人%八 Po人 AA-i人 人 一|一1人A Pp-i P人 人 八夕0 Pp2 Plpp-i A J LA由于 3=X(PiXt_i-(PpXt-P 于是仇=E；=.=yi,j=lP从而可得52的估计值 6：=甯-圾力7i,j=l在具体计算 仇可用样本自相关函数以替代。时，2.MA(q)模型的矩估计将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量代 替，得到：6；(1+母+无+年)当左=0兀=无(也+“皿+加/)lk q首先求得自协方差函数的估计值，(*)是一个包含(q+1)个待估参数人 八 人 G的非线性方程组，可以用直接法或迭代法求解。常用的迭代方法有线性迭代法和Ne wton-Raphsan 迭代法。（1）MA（1）模型的直接算法对于MA（1）模型，（*）式相应地写成仇二吠（1+殆Y C 人一其仇于是.4=一力/矣有 用-%无+方；=。或内仔；-月+。：=。于是有解月二勺（1土 Jl-4讲）乙0=一位/月=-2。/（1土 J1-4环）由于参数估计有两组解，可根据可逆性条件助1l的MA(q)模型，一般用迭代算法估计参数：由(*)式得r沆=1+a2 H卜 0；(*)第一步，给出62d瓦的一组初值,比如6；(。)=%。(0)=2(0)=(0)=0代入(*)式，计算出第一次迭代值代=%。=一久第二步，将第一次迭代值代入(*)式，计 算出第二次迭代值司(2)=%/(1+医+4)a=-0/-自公(1)eq_k(1)(D)按此反复迭代下去，直到第m步的迭代值与 第m-1步的迭代值相差不大时(满足一定的精 度)，便停止迭代，并用第m步的迭代结果作为(*)的近似解。3.ARMA(p,q)模型的矩估计在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)个待估参数(p 口鱼，卸p与,02，.,为以及02,其估计量计算步骤及公式如下：第一步，估计(pi，q)2,必一 人 一%02 一 八Pq6q+A-i人 Pq /K 一Pq-p+A-p1-A+i-Pq+2人人人人人%_Pq+p-1Pq+p2 4_Pq+p _A是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函 数也代替。第二步，改写模型，求Op%，Sq以及52的估计值将模型Xt=91X(P2Xt_2+OpX/_p+J 一。22一2-6qq改写为：X t _/X _(P?X _2(PpX-p=J-61邑一1 一%J-2 BqS.q(令 文t=Xt-0X1-0?X2。pXt_p于是(*)可以写成：文 t=。17一1一%J-2-qt-q构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可 以得到3,02，.凡以及“2的估计值。4.AR(p)的最小二乘估计假设模型AR(p)的参数估计值已经得到，即有 Xt=Xi+02X.2+残差的平方和为：n nS(0)=Z靖=Z(x江 Xi02 X，OpXQ(*)t=p+t=p+根据最小二乘原理，所要求的参数估计值是下列方程组的解：SS 西二即(x代xt2X.20pX.p)x.j=a 户12,p(*)t=p+l解该方程组，就可得到待估参数的估计值。为了与AR(p)模型的Yule Walker方程估计进行比较，将(*)改写成：fx-Xt 卢运 x,2X7-之 xt pX，j=L yxtxt.rL%=p+l t=p+l t=p+l J=p+1j=l,2,.,p由自协方差函数的定义，并用自协方差函数的估计值1.一Yk=fXf+kXt 几 t=p+l代入，上式表示的方程组即为：0。-+02%-2+0pK.p=Yj j=l,2,.,p或+02 5.2+0。=rj 户 12,p解该方程组，彳导至I J:一 人 1 01%n rP-irl02=厂 1-0 rP-2 厂2人KJ小。一2 r0 _即为参数的最小二乘估计。Yule Walker方程组的解一 人 一一/K人/一1/K-91PoAPplA人人人人人02=APoPp2A人人人人人KJ_pp-Pp-2 Po _pp _比较发现，当n足够大时，二者是相似的。“2的估计值n-p up+i n-p需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨 论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含常数项的模型转换为不含常 数项的模型。下面以一般的ARMA(p,q)模型为例说明。对含有常数项的模型Xt=2+9遇1+%X/_p+耳一耳_1-8滔方程两边同减a/(1-牝-.),则可得到Z=。1匕-1+.+(PpX.p+J 6百一1-Oqt_q中 X-Xj a，-(P-cpp j-1,p五、模型的检验1、残差项的白噪声检验由于ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随机扰 动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模 型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪 声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估 计。在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。可用QLB的统计量进行%2检验：在给定显著性水平 下，可计算不同滞后期的QLB值，通过与%2分布表中的相 应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假 设。若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新 识别与估计。2、AI C与SBC模型选择标准另外一个遇到的问题是，在实际识别ARMA(p,q)模型时，需多次反复偿试，有可能存在不止一组(p,q)值都能通过识别 检验。显然，增加p与q的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了 自由度。因此，对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性”与模型 的拟合优度的权衡选择问题。常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法(Akaike information criterion,简记为AI C)与施瓦兹贝叶斯法(Schwartz Bayesian criterion,简记为SBC)：A IC=Tln(RSS)+2nSBC=Tln(RSS)+nln(T)其中，n为待估参数个数(p+q+可能存在的常数 项)，T为可使用的观测值，RSS为残差平方和(Residual sum of squares)。在选择可能的模型时，AI C与SBC越小越好显然，如果添加的滞后项没有解释能力，则对RSS值 的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使 得AI C或SBC的值增加。需注意的是：在不同模型间进行比较时，必须选取相 同的时间段。例9.2.3中国支出法GDP的ARMA(p,q)模型估计。由第一节知：中国支出法GDP是非平稳的，但它的一阶 差分是平稳的，即支出法GDP是1(1)时间序列。可以对经过一阶差分后的GDP建立适当的ARMA(p,q)模 型。记GDP经一阶差分后的新序列为GDPD1,该新序列的样 本自相关函数图与偏自相关函数图如下：GDPD1PAC图形：样本自相关函数图形呈正弦线型衰减波，而偏自相 关函数图形则在滞后两期后迅速趋于0。因此可初步判断该序列 满足2阶自回归过程AR(2)。自相关函数与偏自相关函数的函数值：相关函数具有明显的拖尾性；偏自相关函数值在k2以后，I*Iy 2/V2 2 X 0.42 6可认为：偏自相关函数是截尾的。再次验证了一阶差分后的 GDP满足AR随机过程。表922中国GDP一阶差分序列的样本自相关函数与偏自相关函数krk*rkkrk*krk*10.8590.8597-0.034-0.2 5213-0.361-0.08620.622-0.4418-0.1120.01214-0.3630.07630.378-0.0659-0.1750.0415-0.3080.04340.1910.06610-0.2 2 8-0.11716-0.2 16-0.02 250.0870.07711-0.2 82-0.19217-0.12 8-0.04860.036-0.05112-0.32-0.0218-0.059-0.002设序列GDPD1的模型形式为GDPDlt=(PiGDPDj+(p2GDPDlt_2+t有如下Yule Walker方程:伊/12Jio,8590.859丫70.859、1)(0.62 2)解为：血=1.239,02=0442用OLS法回归的结果为：GDPDl=1.593GDPDlt,-0.653GDPDVI r1 rZ I(7.91)(-3.60)d=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15有时，在用回归法时，也可加入常数项。本例中加入常数项的回归为：GDPD1t=909.59+1.495GDPD1,-0.678GDPDL 9+I 1L ZZ I(1.99)(7.74)(-3.58)r2=0.8758 R2=0.8612 DW=1.2 2模型检验下表列出三模型的残差项的自相关系数及Qlb检验值。模型1与模型3的残差项接近于一白噪声，但模型2存在4阶滞后相关问 题，Q统计量的检验也得出模型2拒绝所有自相关系数为零的假设。因此:模型1与3可作为描述中国支出法GDP一阶差分序列的随机生成过程。表9.2.3模型残差项的自相关系数及Q检验值模型1模型2模型3KResid-ACFQResid-ACFQResid-ACFQ10.3823.38460.2 581.53770.2 571.52 6320.0143.3893-0.1392.0077-0.0401.56463-0.1323.842 7-0.2 463.5677-0.0591.65544-0.3417.0391-0.52 911.2 67-0.32 84.62 105-0.1707.8910-0.30013.908-0.1515.2 86460.2 539.90970.2 7116.2 070.3459.033170.14410.6130.15817.0510.1559.845880.05710.7300.11617.5410.07610.0599-0.01910.7450.09717.9140.01110.06410-0.14611.685-0.03617.969-0.12 310.72 811-0.2 3314.32 9-0.13618.878-0.2 3013.31912-0.04914.4610.06419.104-0.01213.32 8用建立的AR模型对中国支出法GDP进行外推预测。模型1可作如下展开：GDPt-GDP.i=(p(GDP-GDP-)+(P2(GDPt_2-GDP-)GDPt=(1+?)GOQ_+M-gGDPg-6GDP-于是，当已知t-1、t-2、t-3期的GDP时，就可对第t期的 GDP作出外推预测。模型3的预测式与此相类似，只不过多出一项常数项。对2001年中国支出法GDP的预测结果(亿元)预测值 实际值 误差模型 1 95469 95933-0.48%模型 3 97160 95933 1.28%例9.2.4中国人均居民消费的ARMA(p,q)模型由于中国人均居民消费(CPC)与人均国内生产总值(GDPPC)这两时间序列是非平稳的，因此不宜直接建立它 们的因果关系回归方程。但它们都是1(2)时间序列，因此可以建立它们的 ARI MA(p,d,q)模型。下面只建立中国人均居民消费(CPC)的随机时间序列模 型。中国人均居民消费(CPC)经过二次差分后的新序列记 为CPCD2,其自相关函数、偏自相关函数及Q统计量的值列 于下表：表9.2.4 CPCD2序列的自相关函数、偏自相关函数与Q统计量值kACFPACFQkACFPACFQ10.12 50.12 50.2 6970.1960.0146.2 862-0.2 94-0.3141.8828-0.2 18-0.3358.0673-0.0340.0601.9069-0.0100.02 48.0724-0.2 13-0.3502.919100.102-0.1478.6505-0.2 58-0.1934.57611-0.0710.0019.02 560.1310.0175.057120.006-0.1199.02 9在5%的显著性水平下，通过Q统计量容易验证该序列本 身就接近于一白噪声，因此可考虑采用零阶MA(O)模型：CPCD2t=3由于 k=2 时，|r2|=|-o.2 9|1/V14 因此,也可考虑采用下面的MA模型：CPCDZi%*当然，还可观察到自相关函数在滞后4、5、8时有大于 0.2的函数值，因此，可考虑在模型中增加MA(4)、MA(5)、MA(8)o不同模型的回归结果列于表9.2.5。可以看出:在纯MA模型中，模型4具有较好的性质，但由 于MA(5)的t检验偏小，因此可选取模型3。表9.2.5中国居民人均消费水平的ARMA模型模型aMA(2)MA(4)MA(5)MA(8)AR(1)R2SSRAI C12 4.57093137.48.94232.4-0.890.4253699.98.54(3.62)(-7.43)314.07-0.72-1.710.72 812 8.88.03(8.75)(-3.07)(-5.08)411.73-1.09-1.99-1.30.8217480.87.7(17.81)(-3.38)(-4.61)(-1.58)511.79-1.07-1.91-1.2 5-0.340.8117402.77.84(14.93)(-3.10)(-2.56)(-1.42)(-0.15)614.95-0.66-1.2 7-1.990.752 2 92 4.27.97(5.16)(-2.14)(-1.77)(-1.2 9)72 14.2 5-2.53-2.45-6.521.390.998943.77.06(63.83)(-2.2 5)(-2.53)(-2.2 3)(98.2 6)最后，给出通过模型3的外推预测。模型3的展开式为：A2 CPCZ=ACPC-A CPCt,=(CPC-CPCt.)-(CPCt,-CPCt 2)=CPCt2CPCt、+CPCt 2=14.07+j 0.72 j 2 一 1714 4i ri rz I rz r今I P CPCt=2CPCt y-CPCt 2+14.07+j 0.72 j 4I i iL rz i rz r4由于%表示预测期的随机扰动项，它未知，可假设为0,于是t期的预测式为：CPCt=2cpet、一CPCt 2+14.07-0.72 2-1.71 4I 1L rz rz 1一，我一2。一4为模型3中滞后2期与滞后4期的相应残差项 的估计值。表9.2.6列出了采用模型3对中国居民人均居 民消费水平的2期外推预测。为了对照，表中也同时列出了采用2.10的 模型的预测结果。表9.2.6 中国居民人均消费水平2期外推预测比较（单位：元）实际值ARMA模型因果关系模型预测值相对误差（）预测值相对误差（）1997283430487.62822-0.419982972340714.629770.2