数学模型讲座_时间序列模型.pdf

时间序列模型武汉理工大学统计学系：唐湘晋内今一、时间序列的基本特征二、时间序列模型的基本概念 三、ARMA模型设定及其识别 四、ARMA模型估计与检验 五、ARMA模型建模步骤一、时间序列的基本特征同一现象在不同时间上的相继观察值排列而 成的数列形式上由现象所属的时间和现象在不同时间 上的观察值两部分组成排列的时间可以是年份、季度、月份或其他 任何时间形式一、时间序列的基本特征国内生产总值等时间序列年份国内生产总值（亿元）年末总人口（万人）人口自然增长率（%。）居民消费水平 阮）199018547.911433314.39803199121617.811582312.98896199226638.111717111.601070199334634.411851711.451331199446759.411985011.211781199558478.112112110.552311199667884.612238910.422726199774772.412362610.062944199879552.81248109.533094一、时间序列的基本特征 时间序列数据 时间序列数据有严格的时间先后顺序。在利用时间序列数据建立模型时需要认识到，我们获得的样本不再具有从总体中随机抽取的 性质。我们所面对的是一个实际实现的随机过程。一、时间序列的基本特征时间序列的分类平均数序列一、时间序列的基本特征时间序列的编制原则 时间长短要一致 总体范围要一致 指标内容要一致 计算方法和口径要一致Rema rk:这仅限于经典的时间序列，在高频数据中，时间 长短可以不一致，例如交易时间间隔可以不一致.一、时间序列的基本特征时间序列图形的绘制一销售额I先把时间序列描绘在坐标图上，坐标的横轴表示时间K 坐标的纵轴表示所分析的经济变量一、时间序列的基本特征某企业从1990年1月到2002年12月的销售数据（单位：百万元）Date一、时间序列的基本特征120100-80-2。Date从这个点图可以看出。总的趋势是增长的，但增长并不是单调上升的；有 涨有落。但这种升降不是杂乱无章的，和季节或月份的周期有关系。除了增长的趋势和季节影响之外，还有些无规律的随机因素的作用。一、时间序列的基本特征时间序列分析分析时间序列变化的影响因素-每一个经济变量的变化，在不同时期受不同因素 影响，经济变量的时间序列综合地反映了各种因 的影响影响时间序列变化的主要因素分类-长期趋势因素-季节变化因素-周期变化因素-不规则变化因素一、时间序列的基本特征时间序列的分解经济变量的时间序列通常可以分解成四部分，即：长期趋势，用T(Tren d)表示季节波动，用S(S ea son a l)表示循环波动，用C(Cyclica l)表示不规则波动，用I(Irregula r)表示这四种因素对时间序列变化的影响有二种基本假设 乘积形式：Y二TxS xc xi和的形式：Y=T+S+C+I一、时间序列的基本特征Y=TXS XC XI一、时间序列的基本特征时间序列的基本特征时间序列变化的基本特征是指各种时间序列表现出的具有 共性的变化规律，如趋势变化、周期性变化等根据时间序列变化的基本特征，它们可以分为：-呈水平形变化的时间序列-呈趋势变化的时间序列-呈周期变化的时间序列-具有冲动点的时间序列-具有转折变化的时间序列-呈阶梯形变化的时间序列一、时间序列的基本特征呈水平型变化的时间序列经济变量的发展变化比较平稳，没有明显的上升或下降趋势，也没 有较大幅度的上下波动如处于市场饱和状态的产品销售量，生产过程中出现的稳定的次品 率。一、时间序列的基本特征呈趋势变化的时间序列上升或下降的趋势变化，长期趋势变化一、时间序列的基本特征呈周期型变化的时间序列一、时间序列的基本特征具有冲动点(Impulse)变化的时间序列一、时间序列的基本特征具有阶梯型变化的时间序列一、时间序列的基本特征时间序列的转折性变化一、时间序列的基本特征时间序列数据的分解二、时间序列模型的基本概念目标：根据变量的历史研究变量为什么用这些时间序列模型？简单理论的缺乏预测二、时间序列模型的基本概念时间序列分析模型的适用性经典回归模型的建模思路：对一个时间序列Xt的变动进 行解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联立方程 回归模型进行的，由于它们以因果关系为基础，且具有 一定的模型结构，因此也常称为结构式模型(S tructura l Model)o经典模型的建模的困难：如果Xt波动的主要原因可能是 我们无法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等，则利用结构式模型来解释Xt的变动就比较困难或不可能,因为要取得相应的量化数据，并建立令人满意的回归模 型是很困难的。二、时间序列模型的基本概念时间序列分析模型的适用性经典模型预测性能差：即使能估计出一个较为满 意的因果关系回归方程，但由于对某些解释变量 未来值的预测本身就非常困难，甚至比预测被解 释变量的未来值更困难，这时因果关系的回归模 型及其预测技术就不适用了。在这些情况下，我们采用另一条预测途径：通过 时间序列的历史数据，得出关于其过去行为的有 关结论，进而对时间序列未来行为进行推断。二、时间序列模型的基本概念时间序列分析模型的适用性问题1:时间序列过去是否有明显的增长趋势？如果增长趋 势在过去的行为中占主导地位，能否认为它也会在未来的行 为里占主导地位呢？问题2:时间序列显示出循环周期性行为，我们能否利用过 去的这种行为来外推它的未来走向？解决方法：采用随机时间序列分析建模，就是要通过序列 过去的变化特征来预测未来的变化趋势。二、时间序列模型的基本概念时间序列分析发展的两个阶段平稳时间序列分析一Box-Jen kin s(1976)非平稳时间序列分析一En gle-Gra n ger(1987)时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是:-这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身 的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。-明确考虑时间序列的平稳性。如果时间序列非平稳，建 立模型之前应先通过差分或者协整把它变换成平稳的时 间序列，再考虑建模问题。二、时间序列模型的基本概念时间序列分析理论框架图短期因果多元非平稳时间序列的Granger因果协整检验Granger因果检验长期因果元二阶矩平稳时间序列(ARCH,GARCI1)单位根检验二、时间序列模型的基本概念随机过程的基本概念随机过程stocha stic process设T是某个集合，俗称足标集，对任意固定 t匕是随机变量，屈T的全体与；何T称 为T上的随机函数。记为匕 1/对每个固定的K匕是随机变量。1/通常T取为：1)T=-oo,oo,T=0,oo2)T=.-2,-1,0,1,2,.T=1,2,35.-二、时间序列模型的基本概念随机过程的基本概念随机过程的样本S a mple或实现Rea liza tion 对给定的样本点匕()%,Y2,Y3,-,Yn,俨1，俨力玲，.22记为%二、时间序列模型的基本概念随机过程的基本概念随机过程的参数 均 值函 数mea n fun ction-自 协方差 函数a utocova ria n ce fun ction-自相关函数 a utocorrela tion fun ctionRema rk:自协方差函数与自相关函数都是对线性关系的一种度 量方式，它与线性时间序列模型是等价的，包含了同等的信 息，但对于非线性关系无能为力二、时间序列模型的基本概念平稳过程严平稳一个随机过程如果是严平稳的，那么对所有的旌 所有的，所有的 Gi,丁盛全概率分布函数满足下式：P（x,X也 xJ=P（X,4再,x：p 偏相关系数近似服从正态分布N(0,1/T)在近似5%显著水平下，如果-2/T1/2V炉.2/T1/2,推断夕*左=0,左成立时间序列模型的基本概念白噪声的相关图样本容量=400,白噪 声序列当样本自相关系数落 在-0.1,0.1区间内时，可以判断自相关系数 为0Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob1 0.087 0.0873.05590.0802 0.041 0.0333.72380.1553 0.008 0.0023.75080.2904 0.014 0.0123.83060.4295 0.030 0.0274.18640.5236-0.015-0.0214.27400.6407 0.031 0.0324.67140.7008-0.053-0.0585.83050.6669-0.059-0.0537.24490.61210 0.015 0.0297.34210.69311 0.068 0.0709.22760.60112-0.021-0.0359.41030.66813-0.054-0.05010,6110.64314-0.008 0.00210,6370.71415 0.020 0.02510,8020.76716-0.010-0.01510,8420.81917 0.035 0.03311,3450.83818 0.014 0.00511,4270.87519-0.086-0.08314,5310.75220-0.019 0.001C 4 4-L G 04414,6850.794三、ARMA的模型设定与识别平稳线性ARMA模型几个重要的平稳随机过程-白噪声-MA-AR-ARMA-ARIMA建立ARMA模型-定阶，估计,检验,预测三、ARMA的模型设定与识别平稳时间序列几个重要的平稳过程和模型 白噪声过程 MA过程 AR过程 ARMA过程 平稳过程的参数自协方差和自相关函数 偏自相关函数模型平稳可逆条件三、ARMA的模型设定与识别I 滑动平均模型(MA)1阶滑动平均模型匕=+J+惫I(j)=0,E(e；)=b?,)=0/。$和夕为参数或系数。一 匕是1-阶滑动平均过程。用MA(1)表示例如匕=0.1+4+0.3弓一1三、ARMA的模型设定与识别MA(1)另一种表达方式工=+/%=6+本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在 自相关。三、ARMA的模型设定与识别伏阶滑动平均模型定义匕=+J+。卢I+,+qq其中4是白噪声过程三、ARMA的模型设定与识别自回归模型(AR)yC+91 41+02 Y/+(Pp 匕n+4 其中与是白噪声过程，6。表达式是-阶自回归模型 Yt 为2-阶自回归过程，表示为AR(p)C,(P,你是未知参数或系数。三、ARMA的模型设定与识别自回归滑动平均混合过程ARMAY=c+(px YtA+92丫、/+叫丫现+与+仇与/+Oqst_q 其中与是白噪声过程，%M,表达式是小阶自回归q-阶滑动平均混合模型 Yt 为-阶自回归q-阶滑动平均混合过程，表示为 ARMA,01，.，分,%，q是未知参数或系数。三、ARMA的模型设定与识别MA过程 例下面是一个MA(2)模型，计算它的自相关函数,并画图匕=+0.2%_ 1+0.1 耳 _)Il L-L L 乙 夕=(4+%/(1+42+夕)=(0.2+0.2*0.1)/(1+0.12+0.22)=0.2=(%)/(1+42+%2)=0.1/(1+0.12+0.22)=0.095三、ARMA的模型设定与识别MA过程ACF图基本结论MA(q)过程的自相关函数q步截尾三、ARMA的模型设定与识别AR(1)过程的参数O-2E(YJ=1 (ppj=u三、ARMA的模型设定与识别AR参数匕=0.1+0.5匕+笃 匕=0.1-0.5匕|+耳I I-1 L L 1 Ia=0.1/(1-0.5)=0.2=0.1/(1+0.5)年 05 pj=(-0.5三、ARMA的模型设定与识别ARMA过程的平稳性条件 模型平稳条件特征方程=1-91 Z-02 Z 2-%z=0特征方程的根在单位圆外。如果特征方程的根在单位圆内，则模型平稳。使得模型满足平稳条件的参数所在的范围为平稳 域.注：平稳性只与自回归系数份,，外有关，与滑动平均系数无关。三、ARMA的模型设定与识别自回归模型的平稳域例下面的AR(2)模型是否平稳?匕=0.6-厂0.08匕_2+与特征方程：l-0.6 z+0.08 z2=0根为5和2,都在单位圆外，所以平稳.三、ARMA的模型设定与识别根据自相关函数与偏自相关函数定阶 根据样本自相关函数和样本偏相关函数定阶 一般要求样本长度大于50,才能有一定的精确程度 自相关函数和样本偏相关函数定阶的准则MA(q)AR(p)ARMA(p,G自相关函数q步截尾 拖尾 拖尾偏相关函数拖尾 p步截尾 拖尾三、ARMA的模型设定与识别ARIMA 5&q）过程和模型随机过程不平稳：从图形看不重复穿越一条水平 线，样本自相关函数收敛速度慢。差分以后是一个ARM A过程 注意不要过度差分 d表示差分的次数三、ARMA的模型设定与识别MA(1)匕=j+0.5 4.1YMAARMA的模型设定与识别MA(1)的 ACF 和 PACFARMA的模型设定与识别AR(1)匕=0.6匕/+4ARMA的模型设定与识别AR(1)的 ACF 和 PACF0.70.60.50.40.30.20.11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ACF PACF三、ARMA的模型设定与识别ARMA匕=-0.7匕.1+弓-0.7小-6 r-r-r-r-r-r-r-I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I400 420 440 460 480 500 520 540Y三、ARMA的模型设定与识别ARMA过程 的ACF和PACF ACF PACFARMA的模型设定与识别随机游走 丫尸匕.i+弓三、ARMA的模型设定与识别随机游走动的自相关函数 ACF三、ARMA的模型设定与识别ARMA模型的其他识别方法采用ACF和PACF定阶AIC或者BIC准则选择，越小越好一般到特殊，最后显著法(La st sign ifica n t)Rema rk:在高频时间序列中(日内数据)，条件均值 模型可能是MA(1)模型三、ARMA的模型设定与识别ARMA模型的其他识别方法 ACF和PACF定阶-对纯粹的AR模型或者MA模型可以定阶-可以判别某个过程为ARMA过程，但不能定阶-由于估计误差的存在，很难判断拖尾和截尾，这种方法在实 际应用中存在缺陷 AIC或者BIC准则选择，越小越好-特别适用于ARMA模型，当然也适用于AR模型或者MA模型 一般到特殊，最后显著法(La st sign ifica n t)-选择一个高阶的AR模型，逐渐递减，直到最后一个变量显著,这与AR模型PACF定阶异曲同工.、ARMA的模型估计与检验ARMA模型的估计AR模型采用OLS法估计 AR模型可采用自相关函数的直接估计 MA模型采用最大似然法估计ARMA模型采用最大似然法估计、ARMA的模型估计与检验AR()模型的Yule Wa lker方程估计在AR。模型的识别中，曾得到Pk=910.1+020.2+5pPk.p利用p=P_k,得到如下方程组：A=9廿必 P+(PpPppi=(pm.(pppp_2Pp=(ppp.ipp.+%pp-k此方程组被称为Yule Wa lker方程组。该方程组建立了 AR。模型的模型参数01，2,多与自相关函数0的关系，四、ARMA的模型估计与检验第一步，利用实际时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的估计值I，,A第二步，然后利用Yule Wa lker方程组，求解模型参数的估计值 血,血，0p9i02Po人AA PP-i人 人Po Pp-2A人P2Pp-2 Po由于q=Xt_5x.-(ppX.p 于是 仇=Es；=h化化y-从而可得啜的估计值 反=%。j Yj-ii,j=l1、ARMA的模型估计与检验ARQ?）的最小二乘估计假设模型AR。的参数估计值已经得到，即有I Xt=0X.+2Xj+pX.p+O残差的平方和为：n nS（0）=Z（X仇 Xi-MX-2pXt_p）2（*）t=p+l t=p+l根据最小二乘原理，所要求的参数估计值是下列方程组的解:as=0即（x凡 x.02Xt_2pX.p）x.j=o j=12，P（*）t=p+l解该方程组，就可得到待估参数的估计值。四、ARMA的模型估计与检验最大似然函数法的基本思想什么样的总体容易产生观测的样本？-不同的总体容易产生不同的样本-任一受到研究的样本更有可能来自特定总体而不是其他总 体如何度量可能性？-每个观测值的可能性采用概率密度函数来度量-所有样本发生的可能性采用概率密度函数的乘积透过现象（样本）看本质（描述总体的参数）ARMA模型和MA模型需要采用最大似然法、ARMA的模型估计与检验检验模型是否充分(Box Pierce 1970)样本协方差函数外力=八 E 六 o,i,(7-1)川+1样本自相关系数/)=/(/)例。)j=0,l,-,(T-l)在X,服从订假设下，I-d-N(0,l)第(0)=丁加(/)=后(力?:/六0,1,(T-1)j=l J=1、ARMA的模型估计与检验检验模型是否充分（Ljun g Box 1978在小样本的情况下，BP统计量的检验效力有限,为此Ljun g和Box（1978）引入权函数对不同的滞后 阶给予不同的权重，提出了一个改进的统计量：P 1 d上3（p）=T（T+2），（T 力 加（/）一/原假设：夕二夕（2）=-二夕（川二。Rema rk:实际上检验残差是否为白噪声，在Eviews中对应Q检验五、ARMA模型的建模步骤五、ARMA模型的建模步骤建模步骤 平稳化，采用差分的方法得到平稳的序列 定阶，确定p,q的大小 估计，估计未知参数 检验，检验残差是否是白噪声过程预测，最后利用模型预测五、ARMA模型的建模步骤五、ARMA模型的建模步骤建立ARMA模型的步骤 第一步一般到特殊，最后显著法(La st sign ifica n t)-高阶AR模型是对ARMA过程、MA过程的近似-如果残差能够通过Q检验，则模型充分或者采用ACF和P ACF定阶 第二步-如果高阶的AR模型建模后残差仍然存在自相关贝U需要弓I入MA项-这时采用信息准则方法对ARMA模型定阶，首先考虑比较低阶 ARMA模型，看模型是否充分，不充分再增加ARMA的滞后阶 数，直至U残差通过Q检验为止Rema rk:1 模型应尽量简约2、模型充分的标准是残差通过Q检验谢 谢！仲。亦$