数学建模常用综合评价方法介绍.pdf

第一节综合评价概述综合评价的基本概念 八综合评价的一般步骤:、综合评价的局限性综合评价的基本概念 评价(evaluation)：所谓评价，即价值的 确定，是通过对照某些标准来判断测量结 果，并赋予这种结果以一定的意义和价值 的过程。综合评价(syntheticalevaluation)：对 一个复杂系统用多个指标进行总体评价的 方法。综合评价的基本概念 综合评价方法：又称为多变量综合评价方 法、多指标综合评估技术。综合评价是对 一个复杂系统的多个指标信息，应用定量 方法（包括数理统计方法），对数据进行 加工和提炼，以求得其优劣等级的一种评 价方法。一、综合评价的基本概念综合评价一般表现为以下几类问题：a分类一一对所研究对象的全部个体进行分 类；b比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基础上对各小类按优劣排序）；c考察某一综合目标的整体实现程度（对某 一事物作出整体评价）。二、综合评价的一般步骤 1.确定综合评价的目的 2.确定评价指标和评价指标体系 3.确定各个评价指标的权重 4.求单个指标的评价值 5.求综合评价值1.指标的选取筛选评价指标主要依据专业知识，即根据 有关的专业理论和实践，来分析各评价指 标对结果的影响，挑选那些代表性、确定 性好，有一定区别能力又相互独立的指标 组成评价指标体系。系统分析法(System review)和文献资料 分析优选法是常用的评价指标筛选法。1.指标的选取 1.同向化处理将逆指标转换为正指标的方法通常有：转换为对应的正指标，如中间消耗率增加值率；倒数法：X1/X对于适度指标，通常根据实际值与适度值(K)的差距的倒数1/(1+|X-K|)o 2.无量纲化处理2.权数的确定方法按权数的表现形式分为：,绝对数权数；比重权数。通常采用比重权数按确定权数的方法分为：主观赋权法；客观赋权法。归一化权数。2.权数的确定方法主观赋权法-德尔菲法（专家法）实际上各个专家可 以根据自己的理解选择不同的方法-相邻指标比较法；（先按重要性将全部评价 指标排序，再将相邻指标的重要性进行比较-层次分析法（AHP）互反式两两比较 构权法。2.权数的确定方法权数的特性（指主观权数、人工权数）-重要性权数是一种重要性程度的量化值。指对合成值的影响程度大小。重要性本身是个综合的 概念，表现在多个方面，如可以是“价值判断取向上的重要性，也可以是合成时“分辨能力（信息含 量）高低”的重要性，或“可靠度大小”的重要性。-模糊性重要性本身就是个模糊的概念;习惯取点值。人工性没有绝对的正确错误标准；只能 尽可能选择相对科学合理的权数。-主观性受评权者主观意识的影响2.权数的确定方法客观赋权法从指标的统计性质来考 虑，它是由客观数据决定。客观定权法包括模糊定权法、秩和比法、嫡权法和相关系数法等3.合成方法合成方法由单项评价值计算综合评价值的方法。1、算术平均法（加法合成、加减法合成）2、几何平均法（乘法合成、乘除法合成）3.混合合成法3.合成方法1、加权算术平均法的主要特点(D对于数据的要求最宽松，用于合成的某一 指标数值可以为0、为负；(2)各指标可以相互补偿(等量补偿)，即此 升彼降，总的评价值不变；(3)突出了评价分数较大、权数较大者的作用,适用于主因素突出性的评价；(对较大数值的 变动更为敏感)。3.合成方法2、几何平均法的主要特点(1)对数据要求较高，指标数值不能为0、负数，(2)鼓励被评价对象在各方面全面发展，任一方也不能偏废。此合成方法督促“全 面发展”，而不是靠重点倾斜的方法取胜;(3)乘除法容易拉开评价档次，对较小数 值的变动更敏感。三、综合评价的局限性综合评价方法很多，各种方法得出的结果不可能完全相同,并且都带有一定的相对性和局限性。(1)将若干个指标数值综合成一个数值，损失了原有指 标带来的大量信息，结果较抽象，难释其经济意义；(2)主观性很强，选择什么指标、选择多少指标，权数 的分配都很主观；(3)评价的结果不具有惟一性。选择不同的方法，可能 有不同的结果，即使采用同样的方法，由于各指标的赋 值不同、权重不同等，也有可能使评价结果不同。第二节常用综合评价方法一、计分法二、综合指数法二、Topsis法三、秩和比(RSR)法 四、层次分析(AHP)法 五、模糊评价方法 六、多元统计分析方法 七、灰色系统评价方法计分法-1.综合计分法 根据评价目的及评价对象的特征选定必要的评价 卞旨标 逐个指标定出评价等级，每个等级的标准用分值 表示 以恰当的方式确定各评价指标的权数 选定累计总分的方案以及综合评价等级的总分值 范围，以此为准则，对评价对象进行分析和评价,以决定优劣取舍 特点：简便易行，过于粗糙。计分法2.排队计分法将评价单位的各项评价指标依优劣秩序排队,再将名次（位置）转化为单项评价值，最 后由单项评价值计算各单位的综合评价值（总分）。K-1 n-Kf(K)=100-xl00=-xlOOn n-1排队计分法的优缺点优点：-简便易行，-勿须另寻比较标准；-各单项评价值有统一的值域；-适用范围广泛（可用于定序以上层次的数据）缺点：-原始数据信息的损失较大。:、综合指数法一个或一组变量对某特定变量值大小的相 对数称指数，反映某一事物或现象动态变 化的指数称个体指数，综合反映多种事物 或现象动态平均变化程度的指数称总指数,综合指数编制总指数的基本计算形式，定 量地对某现象进行综合评价的方法称综合 指数法二、综合指数法个体指数的计算：高优指标的个体指数P，为实测值X与标准值M的商 p=X/M低优指标的个体指数=M/X综合指数I较为复杂，没有统一的表达形式，常见的 有加权求和，算术平均，乘积法等八综合指数法（举例：加权指数 法）Ki为单项评价指数:实际值对比标准值（常用平均值）综合评价指数公式为：K=kiWi xlOO%E%评价指数可以为正指标，也可以为逆指标。但必 须同向化。一般是把逆指标转化为正指标采用倒 数法，此时，综合评价指数才是越大越好。:、综合指数法指标名称单位全国 标准数权数报告期指标值甲地 区乙地 区丙地 区（甲）（乙）(1)(2)(3)(4)(5)社会总成本增加值元/百元4530464845社会总成本利税率元/百元2025252621社会劳动生产率万元/人2252.22.41.8商品流通费用率%155161814积累效果系数%5015353828八综合指数法甲地区综合经济效益指数=-=110.31%乙地区综合经济效益指数=116.67%丙地区指数兰=99.11%三、Topsis法TOPSIS(Technique for order preference by similarity to ideal solution)法，即逼近理想解排 序法，意为与理想方案相似性的顺序选优技术，是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常 用方法。它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方 案中最优方案和最劣方案(分别用最优向量和最 劣向量表示)，然后分别计算诸评价对象与最优 方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优 方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。Topsis法i.设有个评价对象、m个评价指标，原始数据可写 为矩阵X=(4)Xm2.对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换ZiJ=1/Xz7nZ(1/X i=l Topsis法3.归一化得到矩阵Z=(Z前亦初 其各列最大、最小 值构成的最优、最劣向量分别记为Z-(Zmaxl Zmax2 maxi)Z _(Zminl Zmin2 mimn)4.第i个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为I m 口=G(Zmaxj-ZQ2 D:=J(Zmin.-Z.)25.第i个评价对象与最优方案的接近3度C,.为G+。)Topsis法例4某儿童医院19941998年7项指标的实际值，用Topsis法比较该医院这5年的医疗质量年份出院 人数病床使 用率平均住 院日病死率抢救成 功率治愈好 转率院内感 染率19942158476.77.31.0178.397.52.019952437286.37.40.8091.198.02.019962204181.87.30.6291.197.33.219972111584.56.90.6090.297.72.919982463390.36.90.2595.597.93.6 Topsis法平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标，其余 为高优指标，同向化、归一化变换Z12:76.7/a/76.72+86.32+81.82+84.52+90.32:0.4081变换后，得到矩阵(0.4234 0.40810.43800.2024 0.3916 0.4464 0.5612、0.4781 0.4592 0.4321 0.2556 0.4556 0.4487 0.5612Z=0.4324 0.43530.4380 0.3298 0.4556 0.44550.35080.4142 0.4496 0.4634 0.34080.45110.4473 0.3871(04833 0.48050.4634 0.8178 0.4776 0.44820.3118J三、Topsis法计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为Z+=(0.4833 0.4805 0.4634 0.8178 0.4776 0.4487 0.5612)Z-=(0.4142 0.4081 0.4321 0.2024 0.3916 0.4455 0.3118)计算专年与最优、最劣向量的距离(以94年为例):7(0.4833-0.4234)2+(0.5612-0.5612)2:0.6289 Df=7(0-4142-0.4234)2+(0.3118-0.5612)2:0.2497 计算接近程度(以94年为例)q=0.2497/(0.6289+0.2497)=0.2842 Topsis法年份D-G排序19940.62890.24970.2842319950.56400.27540.3281219960.53690.15140.2200519970.51410.17620.2552419980.24940.63020.71641可以看出，1998年综合效益最好，其次为1995年,随后为1994年、1997年，1996年最差四、秩和比(RSR)法是利用秩和比RSR(Rank-sum ratio)进行 统计分析的一组方法。RSR是一个内涵较为丰富的综合性指标，具 有01连续变量的特征，它以非参数分析 方法为基础，通过指标数(列)、分组数(行)作秩的转换，再运用参数分析的概 念和方法研究RSR的分布，解决多指标综 合评价问题。四、秩和比(RSR)法设有m个指标，对n组数据进行评价，形成n行m 列的数据阵，则各行，RSR.=其中为分别按列编秩后各行的秩次。最小 RSR=1/n,最大RSR=1。四、秩和比(RSR)法 分别对要评价的各项指标进行编秩 计算各指标的秩和比(RSR)确定RSR的分布 求回归方程 排序分档四、秩和比(RSR)法采用秩和比法对某病区护士的4项考核指标进 行综合评价 业务考试成绩(X1)操作考核结果(X2)科内测评(X3)工作量考核(X4)四、秩和比(RSR)法第一步，分别对要评价的各项指标进行编秩却Emr甲E内丁4J,J 财珞xr 1考 息臼J 足H卜 直立QB3.KS am/EG 2M.S(T 片LHQgg m：TM由:n yi.yrtLS)iX*3,n;IS)2M.M4P it i.OCR遇相等评分时，取平均等级。四、秩和比(RSR)法第二步，计算各指标的秩和比(RSR)”中：m为指标个数，n为分组数，Rj为各指 标的秩次，RSR值即为多指标的平均秩次，其值越大越优四、秩和比(RSR)法11耕士 4睛整装神牍工/片 K 阻甲乙S丁戊己段 uiiililHZiiH:阳汕野M 2期蝌涧世-如 K7J良良 的.1更 好，1：7.5：见 3co由 J)253a5)阻侬 3U_KD L9：7)比6。KU：2J更 91 用：L5 2Ht f：4Ja3)91 用工5b KLO：1)G4 LSI 3 L7K1 CJOOC MM LKU KJSf L2E1四、秩和比（RSR）法第三步，确定RSR的分布 _ RSR-频数f-累积频数，一秩号范围R-平均秩次R-累积频萃：Y（概率单位）。Y为RSR的累积频率对应的概率单位值，Y=ua+5,uc（标准正态分布的上分位点（。二/n）R四、秩和比(RSR)法Q art理Mi股的/捌 I MW I|岳|工炳 T4.X91 II J II 氏 5 J.W?4.K16 I 1 2 K4 1.135”0 II 3 甘J 1阴d4J15 II 4 4 Sfl llaWH I J 5 SJ Uli61.TU9 II I G IM KW5fl.1Hi I T 7 片苫 MD3，总(1 I I 3 段 3l)网)夏孙仲.RSR值正态性检验：Z=0.4772,双侧检验P=0.9767,说明RSR值呈正态分布四、秩和比(RSR)法 第四步，求回归方程：RSR=A+BY 经相关和回归分析，应变量RSR与自变量 概率单位Y之间具有线性相关(r=0.9528)线性回归方程为：RSR=0.1877Y-0.4232 F=59.078,P=0.0002 说明所求线性回归方程有统计学意义四、秩和比(RSR)法 第五步，根据RSR值排序分档 最佳分类归档的涵义是各档方差一致，相差具有 显著性。最佳分档准则为每档至少2例，尽量多分 几组。最佳分档步骤，首先进行方差一致性检验,在方差一致的前提下，再作统计检验，方差分析 结果判断各类间是否具有统计学差异，然后利用 多重比较检验各类间差异是否显著。如果各类间 的方差不一致或各类间的差异未达显著，则需考 虑重新分档。四、秩和比(RSR)法消由士护理考核指标合理分档，分差、良、表3耨靖髓球脂轴稣9ft P Y 渊耕1 37,5 4 海 14 0.05,说 明各档方差一致 方差分析显示：F=22.9722,P=0.0030,说 明各档间有显著差异 两两比较，PV0.05,说明各档彼此之间均有 差异，达到了最佳分档。常用分档数及对应概率单位档数百分位数P概率单位Y档数百分位数P概率单位Y3P15.866 以下4.00以下P33.360457P15.366-4.00-P67.003-5.皿P84.134-6.00P89.973-6.28-4P6.681以下3.50以下P98.352-7.14-P6.681-3.508P 1.222以下2.78以下P505.00P1.2222.78-P93.319-6.50-P6.681-3.505P3.593以下3.20以下P22.663425P3.593-3.20P505.00P27.425-4.40-P77.337-5.75P72.5755.6。P93.319-6.50P96.4076.80-P98.6787.22-6P2.275以下3.00以下9P0.990以下2.67以下P2.275-3 goP0.990-287P15.366-4.00-P4.746-3.33-P505 goP15.866-400P84.1346.00P37Q70-4.67-P97.725-7.00P62.930-5.337Pl.168以下2.86以下P84.1346.00-Pl.168-2.86-P95.254-6.67-Pl 0.0273.721-P99.010-7.33-五、层次分析法层次分析法是一种以定性与定量相结合的、系统化、层次化分析问题的方法。它是将半定性、半定量问题 转化为定量问题的一种行之有效的方法，使人们的思 维过程层次化，通过逐层比较其间的相关因素并逐层 检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具 说服力的定量依据。五、层次分析法层次分析过程可分为四个基本步骤:(1)建立层次结构模型；(2)构造出各层次中的所有判断矩阵;(3)层次单排序及一致性检验；(4)层次总排序及一致性检验。五、层次分析法例某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择的方案有：给职工发奖金、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进新技术新设备。工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这 笔资金较为合理。五、层次分析法步1建立层次结构模型在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系 分解成若干个层次。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准 则层（中间层）和方案措施层（最低层）。与其他决策问题一样，研究 分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。对于本例，如果分 析者自行决定分配比例，厂领导必定会询问为什么要按此比例分配，符 合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真实了解。经过双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而 利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：（1）是否有利于调动企业 职工的积极性，（2）是否有利于提高企业的生产能力，（3）是否有利 于改善职工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但标准的 最终确定将由决策者决定。根据决策者的意图,目标层O五、层次分析法可以建立起本问题的层次结构模型如图8.7所示。准则层。措施层P图中的连线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应 由决策者决定。五、层次分析法对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次。例如，在选购电冰箱时，如以质量、外观、价格、品 牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优劣时又可分出 若干个不同的子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电 量大小等等。建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思 维过程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了 条件。五、层次分析法步2构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，例如图中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重（权值）并不一定 相同，在决策者的心目中，它们各占有一 定的比例。怎样来确定合理的权值？五、层次分析法Saat y等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成 对比较矩阵的办法。即每次取两个因子巧和外，以陶 表示巧和弓对Z的影响大小之比，全部比较结巢用矩 阵4=（与）义表示，称4为ZX之间的成对比较判断 矩阵（指称判断矩阵）。容易看出，若巧和对2的 影响之比为%贝氏和七对Z的影响之比应“0,V1(ii)a”=1,2,.5n)，aij则称之为正互反矩阵(易见%.=1=,)。显然判断矩阵是正互反矩阵。五、层次分析法关于如何确定物的值，Saaty等建议引用数字19及其倒数作 为标度。他们认为，人们在成对比较差别时，用5种判断级较 为合适。即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别 程度，勺相应地取135,7和9。在成对事物的差别介于两者之 间难以定夺时，与可分别取值2、4、6、8o 从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增 加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人 还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确 性，实验结果也表明，采用19标度最为合适。如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用19及其倒 数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法,先比较类，再比较每一类中的元素。五、层次分析法步3层次单排序及一致性检验上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减 少其他因素的干扰影响，较客观地反映出 一对因子影响力的差别。但综合全部比较 结果时，其中难免包含一定程度的非一致 性。如果比较结果是前后完全一致的，则 矩阵A的元素还应当满足：aijajk次,V i、j、k=T,2,.,n满足该关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。五、层次分析法定理 正互反矩阵A的最大特征根九max必为正实数，其对应特征向量的所有 分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于九max。（证明从略）定理若A为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵。（2）A的转置矩阵A，也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即Wj/巧）大于零，从而,欣（A）=1（同样，A的任意两列也成比例5。（4）A的最大特征根九max=，其中为矩阵A的阶。A的其余特 征根均为零。（5）若A的最大特征根九对应的特征向量为亚=（W0,W）I,则%=Wj/Wy,ViJ=12 解。定理阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根入max=，且当正互反矩阵A非一致时，必有入max。五、层次分析法根据定理，我们可以由九max是否等于来检验判断矩阵A是否为一致矩 阵。由于特征根连续地依赖于与，故入max比大得越多，A的非一致性 程度也就越为严重，入max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反 映出X=%D/户在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提 供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下办法：2 n（1）求出CI=ma x,称C7为A的一致性指标。n-l容易看出，当且仅当A为一致矩阵时，CZ=Oo a的值越大，A的非一 致性越严重。利用线性代数知识可以证明，A的个特征根之和等于其 对角线元素之和（即）故C/事实上是A的除入max以外其余1个特征 根的平均值的绝对值。若A是一致矩阵，其余一1个特征根均为零，故 CZ=O；否则，C/0,其值随A非一致性程度的加重而连续地增大。当 a略大于零时（对应地，从1ax稍大于），A具有较为满意的一致性；否则，A的一致性就较差。五、层次分析法(2)上面定义的C/值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明 该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度 量标准。为此，Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵用从19 及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得 最大特征根的平均佳Lx 并定义RI 二然ax .n-1称为平均随机一致性指标。对Saaty给出了K/的值，如表所示。N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51五、层次分析法(3)将C7与R/作比较，定义 CR=RI称CR随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在CRvO.lO时可以 认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步3中应先求出A的最大特征 根入max及九max对应的特征向量亚=(Wp.9Wn)进行标准化，n使得2吗=1。T 2-n再对A作一致性检验：计算67=,n-1查表得到对应于的口值，求CR4,KI若CRV0.L则一致性较为满意，以R作为因子阳.在上层因子Z中所具有 的权值。否则必需重新作比较，修正A中的元素。只有在一致性较为满 意时，W的分量才可用作层次单排序的权重。五、层次分析法现对本节例7.13(即合理利用利润问题的例子)进行层次单排序。为求出G、。2、在目标层A中所占的权值，构造0C层的成对比较矩 阵，设构造出的成对比较判断知阵A=1531 1513331于是经计算，A的最大特征根入max=3038,CZ=0.019,查表得K/=0.58,故CR=0.033。因CKvO.l,接受矩阵A,求出A对应于九max的标准化特 征向量W=(0.105,0.637,0.258)T,以W的分量作为G、。2、03在目 标O中所占的权重。五、层次分析法类似求措施层中的尸1、尸2在G中的权值，尸2、尸3在。2中的权值 及尸1、尸?在G中的权值：G片P2片13尸2131C2尸2尸3尸215尸351。3P212尸21 21清流瑞他瑞髭瑞。五、层次分析法经层次单排序，得至！J图7.8。目标层。准则层c措施层尸步4层次总排序及一致性检验最后，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因 素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。设上一层次（A层）包含4。4.共6个因素，它们的层次总排序权值 分别为由,又设其后的下一层次（笈层）包含个因素当，乃/它 们关于4的层次单排序权值分别为匕.（当纥与4.无关联系时，%=0）o现求B层中各因素关于总目标的权值，即求B层各因素的层次总排序权值如，计算按表zu所示方式进行，即二表711mA al人2。2 a m层总排序权值B%12 加 YbUaJ j=lB?21)22 B2nlm zx%J=1 纥%kun mm九町j=i五、层次分析法例如，对于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子，措施层层次单排 序权值的计算如表7.12所示。、层C 层G G。3层P的总排序权值0.1050.6370.258P10.7500.6670.2510.250.1670.3330.21800.83300.531对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到 低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检 验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察 时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重 的非一致性。五、层次分析法设夕层中与4.相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为67(/),0=1,盟)，相应的平均随机一致性指标 为K/(/)(CW)、KW)已在层次单排序时求得)，贝UB层总排序随机一致性比 率为 加CR=-m ERi(j)%j=l当 CRV0.10 时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。对于表7.11中的P层总排序，由于CP层间的三个判断矩阵的一致性指标(即CW),1,2,3)均为o,故p层总排序的随机一致性比率a?=o,接受层次分析结果，将留成利润的25.1%用于发奖金，21.8%用于扩建福 利事业，余下的53.1%用于引进新技术新设备。五、层次分析法二、最大特征根及对应特征向量的近似计算法众所周知，求矩阵A的特征根与特征向量在较大时是非常麻烦的，需要 求解高次代数方程及高阶线性方程组。由于判断矩阵中%的给出方法是 比较粗糙的，它只是决策者主观看法在一定精度内的定量化反映，也就 是说，建模本身存在着较大的模型误差。因而，在计算特征根和特征向 量时，没有必要化费太多的时间和精力去求A的特征根与特征向量的精 确值。事实上，在应用层次分析法决策时，这些量的计算通常采用较为 简便的近似方法。1、方根法在应用小型计算器求判断矩阵A的最大特征根与对应特征向量时可采用 方根法。其计算步骤如下：(1)求判断矩阵每行元素的乘积nM=n%,2=12田j=i(2)求的次方根W.=Mf_ n(3)对叱进行标准化，求特征向量各分量的近似值 叱=叱/忆。j=l(4)求A的最大特征根的近似值(AW)叱从(7.6)式中不难看出，当A为一致矩阵时，由A中各行乘积的次方根 组成的向量与A的特征向量成比例。因而当A的非一致性不太严重时，方 根法求得的叱(i=l,可近似用于层次单排序的权值。对前面例子中的oc判断阵，有153 5 31 31 13每行元素相乘-11515m31求叱=mJ9得0.40513 _=2.466，2吨=3.871一“忆暝_ 1 3I=-yma x 公 N/3 i=一2、塞法计算步骤：（步1）任取一标准化向量W,指定一精度要求0,k=0。（步2）迭代计算 W（%+D=AW出，k=0,l,-o（步3）将W（k+D标准化，即求nW（%+i）=W（%+D/阴+1）i=l其中阴I）为何（左+1）的第个分量。若叱”）一叱，/=1则取俯 卬（氏+1）为A的对应于入max的特征向量的近似,否则转步2。（步4）求入max的近似值(AW),叱对前面例子中的0C判断矩阵，（1 1 1Y若取卬（。）二,=0.001,利用幕法求近似特征向量如下：（3 3 3）（第一次迭代）_ 3 _W=（0.51134.444）,2叱0工 4.955,求得W（D=（0.103,0.605,291）7i=i（第二次迭代）3 _可(2)=(0.3214.993。802尸，Z 死3.116,求得W(2)=(0.103,063%0257尸 i=i(第三次迭代)3 _加)=(0.316J.925,0.779)T,2甲=3.02,求得W(=(0.105。637。258尸$(第四次迭代)3 _而明=(0.318J.936,0.785)t,3.04,求得W(%=(0.105,0.637,0.258尸i=l因叱-叱 W=0.50.25求得九max求9 CR=0o类似建立BC层之间的三个成对比较矩阵:注：权系数是根据后面的计算添加上去的Bgc2C31J_ 53。2518J_3j.81b2C4C5。6C4111C5111cQ111B3C7。8C9C71577J_ 512C9j_ 7j_ 21W=(0.186,0.737,0.077)7 W=(-)r7=3.047,67?=0.08jna xW=(0.738,0.168,0.094)rT=3.017,67?=0.08ma x经层次总排序，可求得。层中各因子c在总目标中的权重分别为：0.047,0.184,0.019,0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的 九项指标作19级评分。设其得分为X=(M，KJ1用公式y=0.047x1+0.184x2+0.01 9x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042xR+0.024xq o y计算总得分，以y作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。例7.15（挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某 毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图8.10所示。目标准则层8方案层。该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵:ABib24%空Bi11141j_ 2b211241j_ 2J1j_ 2153j_ 24j_ 4j_ 4j_ 51J_ 3 311 3311绛2223310.160.190.190.050.120.30由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。（方案层）g。2C3G1j_4j_2413c32_ 31s2GC2C3g1j_ 4j_ 5c241j_ 2C3521B3gC2C3G13_3C2311C3110.14W=0.620.240.10W=0.330.570.32W=0.220.46（层次总排序）如表7.13所示。表713准则研究课 题发展前 途待遇同事情 况地理位 置单位名 气总排序 权值准则层权值0.160.190.190.050.120.30力杲层工作10.140.100.320.280.470.770.40单排序工作20.620.330.220.650.470.170.34权值工作30.240.570.460.070.070.060.26根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1。（由于篇幅限 止，本例省略了一致性检验）1 一51 133 1例7.16作品评比。电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术 性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为1A=15由此可求得W=(0.158,0.187,0.656)73ax=3 028,Cl?=0.048(0.1)本例的层次结构模型如图7.U所示在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。根据作品的得分数*=（祈,*2，/）,，利用公式y=0.158X1+0.187x2+0.656x3计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序。读者不难看出，A矩阵的建立对评比结果的影响极大。事实上，整个 评比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者 的满意程度来排序的。这也说明，为了使评比结果较为理想，A矩阵 的建立应尽可能合理。例7.17教师工作情况考评。某高校为了做好教师工作的综合评估，使晋级、奖励等尽可能科学合理,构造了图7.12所示的层次结构模型。图 7.12在C层中共列出了十项指标，有些可用数量表示，有些只能定性表示（如 教学效果只能分为若干等级）。即使对于可以定量表示的指标，由于各 指标具有不同的量纲，例如一篇论文并不等同于一个获奖项目，互相之 间不能直接进行比较。为此，在层次单排序与总排序时应先统一化成无 量纲量。如可将每一指标分为若干等级并对每一等级规定一个合适的得 分数。然后再根据各因子的重要程度利用成对比较及层次排序来确定各 因子的权。在评估某教师时，只要根据该教师的各项指标，利用由层次分析得到的 评估公式计算其最终得分即可。上述诸例有一个共同的特征，模型涉及的因素间存在着较为明确的因果 关系，这些因果关系又可以分成若干个层次。同一层次中的各因素间相 互影响很小基本上可略去不计，上层因素对下层的某些因素存在着逐层 传递的支配关系，但不考虑相反的逆关系。更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响，也可以考 虑下层因素对上层因素的反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多 的数学知识，本处不准备再作进一步的介绍，有兴趣的读者可以查阅有 关的书籍和文献。六、模糊综合评判决策设。=1，%，)为种因素(或指标)，丫=匕，如#/为机种评判(或等级).由于各种因素所处地位不同，作用也不一样,可用权 重4=(av 2,，)来描述,它是因素集U的一个模糊子 集.对于每一个因素,单独作出的一个评判/(%.),可看 作是。到V的一个模糊映射/,由/可诱导出U到V的一 个模糊关系勺，由勺可诱导出。到V的一个模糊线性变换Tr(A)=A R=B,它是评判集丫的一个模糊子集,即为综合评判.(U,V,R)构成模糊综合评判决策模型，U,V,K是此 模型的三个要素.模糊综合评判决策的方法与步骤是：建立因素集U=i，2,与决断集丫=匕,2，“建立模糊综合评判矩阵.对于每一个因素”先建立单因素评判：即，（01）表示%.对因素所作的评判,这样就得到单 因素评判矩阵综合评判.根据各因素权重4=（1，2,，）综合评判：B=AR=（bvb2,，*）是V上的一个模糊子集,根据运算 的不同定义,可得到不同的模型.模型I：M(A,V)主因素决定型4=VA%),lin (j=l,2,.,/n).由于综合评判的结果的值仅由与=1,2,1）中的某一个确定（先取小,后取大名算），着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不 大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.模型n：m(-9V)主因素突出型 包=V(,0),lin (j=1,2,.,m).M(-,V)与模型M(A,V)较接近,区别在于 用g七代替了拉(A,V)中的qA%.1 V 1 V在模型拉(，V)中，对乘以小于1的权重生表 明g是在考虑多因素时的梭正值,与主要因素有 关，忽略了次要因素.模型ni：m（a,+）主因素突出型4=E（z A 唱（j=i2 加）.t/J模型in也突出了主要因素.在实际应用中,如果主因素在综合评判中 起主导作用,建议采纳I,iliii,当模型I失 效时可采用II,iii.模型IV：拉（，+）加权平均模型4=2（%力）（/=12m）.J J模型版（，十）对所有因素依权重大小均衡 兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.例1.服装评判因素集。=1（花色），（式样），3%（价格）；评判集v=匕（很欢迎），匕（较欢迎），迎），（不欢迎）.对各因素所作的评判如下：（耐穿程度）,匕（不太欢：(0.2,0.5,0.2,0.1)u.：(0.7,0.2,0.1,0)(0,0.4,0.5,0.1)u4：(0.2,0.3,0.5,0)，.2 0.5 0.2 0.P0.7 0.2 0.1 0R 二0 0.4 0.5 0.1(0.2 0.3 0.5 0 7对于给定各因素权重4=(0.1,0.2,0.3,0.4),分 别用各种模型所作的评判如下：M(A,V)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(-,V)：B=(0.14,0.12,0.2,0.03)M(A,+)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)拉(，+)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04)R=0,20.50.2O.P0.700.2 0.1 00.4 0.5 0.1(0.2 0.3 0.5 0)对于给定各因素权重4=(0.4,0.35,0.15,0.1),分别用各种模型所作的评判如下：M(A,V)：B=(0.35,0.4,