数学发展简史 大学数学文化教学课件.pdf

第一章概述第二节数学发展简史1第二节数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。一、数学起源时期二、初等数学时期 三、近代数学时期如k现代数学时期2一、数学起源时期（远古 公元前5世纪）这一时期：建立自然数的概念；认识简单 的几何图形；算术与几何尚未分开。3数学起源于四个“河谷文明”地域 非洲的尼罗河;西亚的底格里斯河与幼发拉底河;中南亚的印度河与恒河;东亚的黄河与长江4当对数的认识（计数）变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一 属性，于是导致了记数。人类现在主要采用十进制，与“人的手指 共有十个”有关。而记数也是伴随着计数的发展而发展的。记数 刻痕记数是人类最早的数学活动，考古发现有3万年前的狼 骨上的刻痕。古埃及的象形数字出现在约公元前3400年；巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400年；中国的甲骨文数字出现在约公元前1600年。古埃及的纸草书和羊皮书及巴比伦的泥板文书记载了早期数 学的内容，年代可以追溯到公元前2000年，其中甚至有“整勾股数”及二次方程求解的记录。捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）76文明之光图说数学史早期记数系统古埃及象形数字（公元前3400年左右）1 II III Illi,I,I,!l M Illi HI n12 3 4 5 6 7 8 9 10in iin nn田?2弘11 12 20 40 100 200 1000 10000 1000000巴比伦楔形数字（公元前2400年左右）v vy VW TT TTT T7 7 T rm III/Y YY YYT TT TT TTT m 77TT 部 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10r rr。4t t t tt tt横式一=三言 至 _L 上金 占1 2 3 4 5 6 7 8 9印度婆罗门数字（公元前300年左右）-=Y p Cp Q c,2ccotXJT1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 0 3 0 4 0 5 0 60玛雅数字（公元3世纪）._.1 2 3 4 5 6 7 8 9 .10 2 0 4 0 60 8 0 100 12 0玛雅象形数字（主要用于记录时间）窗豳蠹雪卷矗露蜜凄舞1 2 3 4 5 6 7 8 9 108莱茵德纸草书(1650 B.C.)莫斯科纸草书古巴比伦的“记事泥板”中关于“整勾股数”的记载“2 Z 9 2 4工1。8 N-3 H（约公元前1000年）T -*NG:PICTOGRAPHIC SCRIPT SUMERIAN TABLET（马其顿,1988年）20世纪在两河流域有约50万块泥版文 书出土，其中300多块与数学有关（文达,1982年）11古埃及陶罐 3500B.C.12西安半坡遗址中国西安半坡遗址反映的是约公元前6000年的人类 活动，那里出土的彩陶上有多种几何图形，包括平行线、三角形、长方形、菱形等。13半坡遗址陶器残片半坡遗址房屋基础5埃及金字塔建于约公元前2900年的埃及法老胡夫 的金字塔，塔基每边长约230米，塔基的正方程度与水平程度的平均误差不超过万分之一。（公元前200年成书）中国的周髀算经f 口雨表相次二rM采之得十六U 蜉眈外陵会.腌叱俄若求邪至H诸以日 开为旬H1向篇股句股各自乘并方除之 算 T重穿髀算条 士一 微波榭 得邪至日优髀所旁十葛里谩越”柄 之常日以表南至日.T六西里算句力H高八周髀算经 中关于 勾股定理 的记载宋刻本周髀算经（西周，前1100年）（上海图书馆藏）弦t二主朱及黄数学起源时期（远古公元前5世纪）建立自然数的概念；认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。18二、初等数学时期（前6世纪公元16世纪）也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等 数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要 内容。这一时期又分为三个阶段：古希腊；东方；欧洲文艺复兴。1.古希腊（前6世纪一 毕达哥拉斯 欧几里得 阿基米德 阿波罗尼奥斯 托勒密 丢番图公元6世纪）“万物皆数”-几何原本面积、体积圆锥曲线论三角学不定方程20毕达哥拉斯（公元前580年公元前500年）21f柏拉图与 亚里士多德倡导逻辑 演绎的结构23雅典学派欧几里得（Euclid,公元前330年前275年）25阿基米德（Archimedes,约公元前287212）26阿基米施之死：第二次布俄战争，L F三七二选二“二古.苗公矢陵发明了许多军城,加 投石炮、火镜等,使敌军闻风丧胆后金我拉吉近，；.一就二用人的罗马士兵冲进阿基米拴的住 所时,这位75岁的老人正在出神地思考：一 号二令七兵丸小沙盘上的几何图形结果却被 恼怒的士兵料死 后人遵题阿米米代的：史尼二萋二上下一4内切于圆柱的球以纪念他最 引以自豪的善作论球和因“27，阿波罗尼奥斯（约公元前262前190）282.东方（公元2世纪15世纪）1）中目西汉（前2世纪）周髀算经、九章算术魏晋南北朝（公元3世纪5世纪）刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算7129T口雨天杷卜八二千整乘之得寸六的耳费以 能)r 若求邪至H者以H T为句日而知股旬股并而即力除忑 行代 K周恭军_工侬汲榭 行邪不优梆所旁至口町傅地附桂仙群 二街日口交宙至口 T六普取均可以口，而入 二 r I r A 30割圆术“中国古代数学第一人”刘徽（约公元3世纪）32第24届“国际数学家大会”（ICM）International Congress of Mathematicians33国际数学家大会是规模最大、水平最高的全球性数学科学学术会议。自1897年在瑞士苏黎世举行了第一次国际数学家大会以来，已举办了：24届。2002年，第24届国际数学家大会于8月20日至28日在北京举行并取得圆满成功。这是10。多年来中国第一次主办国际数学家大会，也、是发展中国家第一次主办这一大会。：社会的进步依赖于科学的创新，而数学对于科学的发展则具有根本的意义。在今天，数学已成为高科技的基础，并且可以说是现代文明的标 志。21世纪数学的发展是很难预测的，它一定会超越20世纪，开辟出一片崭新的天地，希望中国未来的数学家能够成为开辟这片新天地的先锋。；34为2002北京“国际数学家大会”发行的 纪念邮资明信片JP108中国邮政明信片Po st c ardThe Peo ples Republic o f China2002年国际数学家大会Int ernat io nal Co ngress o f Mat hemat ic ians 2002ICM 2002*60分中/敲邮政编码I BureauJP108(1 I)20035该会标的涵义?llM复OU复BeyingAugust 2c匕包 28236第24届“际数学家大会”会标宋刻本周髀算经，（上海图书馆藏）Beyiiig37周髀算经中的“勾股定理（约公元前700年）周髀算经卷上记载西周开国时 期周公与大夫商高讨论勾股测量 的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”，这 是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈 子（约公元前6、7世纪）的对话 中，则包含了勾股定理的一般形 式：”以日下为勾，日高为 股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”才以雨表相八二f里秉之得十六可匆以 I之一避段隈叱切他着求邪至H者以日 不为旬旭篇股句股憎昧并,聘方除之 算叠个闾髀第鎏卷上 士一敛汲榭 得邪至日优髀所旁至日所十离里行同 叫除 之W日以表南至日T六西里笏句H靠人38中国数学史上最先完成勾股定理证明:公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注周髀算经，作“勾股圆方图”，其中的 弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法，证明了勾股定理。如图3940祖冲之（公元429-500年）F汨国I人民卦政分相冲Z（公元429-5叩凰学家串碓 二工做圄周鞘3.58265.75 3X*4-ra:（126）185541宋元时期（公元1。世纪14世纪）宋元四大家李冶（11921279）、秦九韶（约1202约1261）、杨辉（13世纪下半叶）、朱世杰（13世纪末14世纪初）天元术、正负开方术 高次方程数值求解;大衍总数术 一次同余式组求解42杨辉43秦九韶程序明垢呢.q 4仙为 二 廉 廉 实方上 廉 下隅r；“c+d=Ji（二包）&c+ag=3 口C+d产心1 e r；c+断代+好 r：wc+a,=r 硼-2c+4i=-i（=M 上2c+r=e i i夕“,r2c+r3=广 3A，夕广 iC+=r2%c+八二-i3.耻+f F，（啕a，：，我（痢44“贾宪三角”，也称“杨辉三角”秦九韶的数书九章 卷一“大衍总数术”1 一，.1.1 和伸，ill行扑氏微冏易日大行之M五十其用四十看九又日分而知二以 课而梆一以氽三理之以四以复四的一夏而成交十TJ 八发而成卦欲知所行之所及其政各襄何 若日行U一十二衍法三:一元指数二十四 L 一一元桁以八 四沅衍教大 i ，口！四，e何也J.九 一 v 一号评.“二二蟀川姓二叫1 I qm7LrL XB=d-朱世杰的四元玉鉴四元高次方程组，（天、地、人、物-X、y、z、w）（“天元基金”）462）印度现代记数法（公元8世纪）一一印度数码，有0,负数；十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）数学与天文学交织在一起阿耶波多一一阿耶波多历数书（公元499年）开创 弧度制度量婆罗摩笈多一一婆罗摩修正体系、肯特卡迪亚格 代数成就可贵婆什迦罗一一莉拉沃蒂、算法本源（12世纪）算术、代数、组合学473）阿拉伯国宾（公元8世纪-15世纪）花拉子米代数学（阿拉伯文还原与对消计算概要）曾长期作为欧洲的数学课本，“代数”一词，即起源于此；阿 拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。阿布尔.维法奥马尔.海亚姆阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学 成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文 艺复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。48花拉子米当时阿拉伯天文学家和数学家工作的情景,Q493.欧洲文艺复兴时期（公元16世纪17世纪初）1）方程与符号意大利一塔塔利亚、卡尔丹、费拉里 三次方程的求根公式法国一韦达引入符号系统，代数成为独立的学科50韦达“算法家”与“算盘家”的比赛512）透视与射影几何画家一布努雷契、柯尔比、迪勒、达.芬奇数学家一阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔3）对数简化天文、航海方面烦杂计算，把乘除转化为加减。英国数学家一纳皮尔52中世纪油画53文艺复兴时代的油画54英国画家柯尔比 泰勒博 士透视方法浅说(1754)卷首插图(违反透视原理)初等数学时期（前6世纪公元16世纪）也称常量数学时期，这期间逐渐形成了初等 数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成现在中学数学的主要 内容。这一时期又分为三个阶段：古希腊；东方；欧洲文艺复兴。56三、近代数学时期（公元17世纪19世纪初）家庭手工业、作坊-工场手工业-机器大工业 贸易及殖民地-航海业空前发展对运动和变化的研究成了自然科学的中心一一变量、函数1.笛卡尔的坐标系（1637年的几何学）恩格斯：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变 数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有 了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”57笛卡尔(R.Descartes,1596-1650)58V几何学(1637)A pr6 ce!a prenant vn point a difcretion daos hcourbe,comme C,furlequelic(uppofe qae fioft rument qui fert a la ddcrire eft appliqu,ie tire de ce point C laligne C B parallele aGA,&pourceque CB&BA font deax qaandts iodetermines&iocoonues,ie Ies oomme Fvncjr&Tautre x.miisaffin de trouuer le rapport de 1*vne Vaatre-ie confidere aufly les quantitds connuci qui determinant h defcription de cere ligne courbe,commeG Aque ienomme 町 KLque ie nommc5,&N LparallekaG A qaeienotnme r.pots icdis,comrae N Left iL K,-ou rib,ainfi C B,ou,eft AB K,qui eft parconfequent;j：y-b,&A L eftx4-de plus comme C B efH L B,ou j i%也 ainfi.oaGA.dlLA,oux 4-J.de fa;on que muf-tipliint59解析几何是代数与几何相结合的产物 在几何学里，笛卡尔给出了解析几何原理，这就是利用坐标方法把 具有两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。解析几何给出 了回答如下问题的途径：(1)通过计算来解决曲线作图的几何问题；(2)求给定某种几何性质的曲线的方程；(3)利用代数方法证明新的几何定理；(4)反过来，从几何的观点来看代数方程。因此，解析几何是代数与几何相结合的产物，在采用坐标方法的同时，用代数方法研究几何对象。在笛卡尔之前，从古希腊起在数学中占优势地位的是几何学；解析几何 则使代数获得更广的意义和更高的地位。602.牛顿和莱布尼兹的微积分（17世纪后半期）微积分的起源，主要来自对解决两个方面问题的 需要：一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度，及 已知速度对时间的关系求路程；二是几何学的一些老问题，作曲线在某点的切线问题，及求面积和体积的问题。61牛顿：Isaac Newton1661入剑桥大学1667.10三一学院成 员1669卢卡斯教授1696伦敦造币局1672皇家学会会员1703皇家学会会长1705封爵62莱布尼茨(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716)633.微分方程、变分法、微分几何、复变函数、概率论 微分方程论研究的是这样一种方程，方程中的未知项不是数，而是函数。变分法研究的是这样一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数。微分几何是关于曲线和曲面的一般理论。与微分几何相联系的解析几何在18世纪也有长足的发展，被推广到三维情 形，并突破了笛卡尔当年解析几何仅仅作为求解几何问题的代数技巧的界 限。微积分及其中变量、函数和极限等概念，运动、变化等思想，使辩证 法渗入了全部数学；并使数学成为精确地表述自然科学和技术的规律及有 效地解决问题的得力工具。644.代数基本定理（1799年）这一时期代数学的主题仍然是代数方程。18世纪的最后一年，高斯的博士论文给出了具有重 要意义的“代数基本定理”的第一个证明。该定理断言，在复数范围里，n次多项式方程有n个 根。65AD38 06003S7高斯(C.F.Gauss,1777-1855)anUJHusln3a NHluZ66“分析”、“代数”、“几何”三大分支在18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析”，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科，并且在这个世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。第三时期（近代数学时期）的基本结果，如解析 几何、微积分、微分方程，高等代数、概率论等，已成为高等学校数学教育的主要内容。671、现代数学时期(19世纪20年代-)进一步划分为三个阶段:现代数学酝酿阶段 现代数学形成阶段现代数学繁荣阶段(18201870年)；(18701950年)；(1950现在)。这一时期虽然还不到二百年的时间，内容却非常丰富,远远超过了过去所有数学的总和。鉴于本课程的性质，对于这一时期的数学内容，我们只作简 略的介绍。68现代数学时期（19世纪20年代-）1.康托的“集合论”2.柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析”3.希尔伯特的“公理化体系”4.高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何”5.伽罗瓦创立的“抽象代数”6.黎曼开创的“现代微分几何”7.庞加莱创立的“拓扑学”8.其它：数论、随机过程、数理逻辑、组合数学、计算数学、分形与混沌 等等。现代数学时期的结果，也成为高校数学、力学、物 理学等学科数学教学的内容，并被科技工作者所使用。6970魏尔斯特拉斯(1815-1897)柯西(1789-1857)71希尔伯特，D.(Hilbert,David,18621943)72伽罗瓦(18111832)阿贝尔(1802-1829)73波约罗巴切夫斯基74_抓三堆：有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可 抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问:甲应该如何抓？为什么?解：问题一般化记号：将三堆谷粒的状况记为（a,b,c）,例如（100,200,300）o这样，谁抓为（0,0,0）,谁赢。76分析：问题特殊化1）只有一堆时，即状况为（a,0,0）,此时先 抓者必胜。772)只有两堆时，即状况为(a,b,O)(1)若b=a,即状况为(a,a,0),此时后抓者必胜。因为对方先抓后，结果或剩一堆，成为(a,0,0)的状况，一把可抓完；或剩两堆，你抓后，又成为新的(d,d,0)的状 况，且dv a,继续由对方抓。(2)若b R a,不妨设ba,即状况为(a,b,0),此时先抓者必 胜。因为先抓者可以把第二堆抓掉b-a个，使状况转化为(a,a,0),成为新的“状况(1)”。783)三堆都有，且其中两堆相等，即状况为(a,a,c),此时先抓者必胜。因为先抓者可以把第 三堆全抓完，使状况转化为(a,a,0),成为新的“状况 2)(1)”。4)三堆都有，且其中任意两堆都不相等，即状况为(a,b,c)，且不妨设avb Vc,此时情况 比较复杂。79为了下面表述得清楚，我们把前面的一 个结论用“反面说法”，总结为“把两堆相等的状况留给对方，自己可以取胜。然后再讨论a、b、c的不同情况。以其中 最小的a为“主要线索”分情况讨论。80(1)a=1时，即状况为(l,b,c)o 下面再对b分情况讨论。(2)a=2时，即状况为(2,b,c)o 下面再对b分情况讨论。(3)a=3时，即状况为(3,b,c)。下面再对b分情况讨论。(4)a=4时，即状况为(4,b,c)o 下面再对b分情况讨论。等等，等等。81注意学习和利用前述数学文化:问题一般化;问题特殊化;归纳抽象，找出规律;证明规律，得到结论。82(1)a=1时，即状况为(l,b,c)o下面再对b分情况。由于aVbVc,即a、b、c 前小后大”,因此b最 小为2,于是起始情况是(1,2,3)。经用“穷举法”分 析，该情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，“把(1,2,3)的状况留给对方，自己可以取胜”。83下一个情况是（l,2,c）,c 3。此时必先抓者 胜。因为先抓者只要把第三堆抓剩3个，就转化成（1,2,3）的状况，从而必胜。下一个情况是（l,3,c）,c 3。此时必先抓者胜。因为先抓者只要把第三堆抓剩2个，就转化成（1,3,2）的状况，也即（1,2,3）的状况，从而必胜。84下一个情况是(1,4,c),c 4o起始情 况是(1,4,5)o经用“穷举法”分析，该 情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，“把(1,4,5)的状况留给对方，自己可以 取胜”。85这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论：把(1,2,3)的状况留给对方，自己可以取胜。把(1,4,5)的状况留给对方，自己可以取胜。把(1,6,7)的状况留给对方，自己可以取胜。把(1,8,9)的状况留给对方，自己可以取胜。86于是归纳、抽象、猜测：把(1,2m,2m+l)的状况留给对方，自己 可以取胜。然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。这样，就把a=1时的情况，全搞清楚了。87（2）a=2时，即状况为（2,b,c）o下面再对b分情况。由于aVbVc,即a、b c 前小后大”,因此b 最小为3,于是起始情况是（2,3,c）o c 3o 此时必先抓者胜。因为先抓者只要把第三堆抓剩1个,就转化成（2,3,1）的状况，也即（1,2,3）的状 况，从而必胜。88下一个情况是（2,4,c）,c 4。起始情况是（2,4,5）o此时必先抓者胜。因为先抓者只要 把第一堆抓剩1个，就转化成（1,4,5）的状况，从而必胜。下一个情况是（2,4,6）o经用“穷举法”分析，该情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，“把（2,4,6）的状 况留给对方，自己可以取胜”o89这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论:把(2,4,6)的状况留给对方，自己可以取胜。把(2,5,7)的状况留给对方，自己可以取胜。把(2,8,10)的状况留给对方，自己可以取胜。把(2,9,11)的状况留给对方，自己可以取胜。90课堂讨论归纳、猜测：把（2,?可以取胜。,?）的状况留给对方,自己91课堂讨论提示一对于刚才得到的结论，类似地分析下去，逐渐 可以得到更多的结论，再归纳总结，寻找规律：把(2,4,6)的状况留给对方，自己可以取胜。把(2,5,7)的状况留给对方，自己可以取胜。把(2,8,10)的状况留给对方，自己可以取胜。把(2,9,11)的状况留给对方，自己可以取胜。92课堂讨论提示二归纳、猜测:把(2,?,?)或(2,?,?)的状况留给对方，自己可以取胜。93于是归纳、猜测:把(2,4m,4m+2)或(2,4m+l,4m+3)的状况留给对方，自己可以取胜。然后用数学归纳法可以证明，这一结论是 正确的。这样，就把a=2时的情况，全搞清楚了。94(3)a=3时，即状况为(3,b,c)。下面再对b分情况。类似地分析下去，逐渐可以得到结论：把(3,4,7)的状况留给对方，自己可以取胜。把(3,5,6)的状况留给对方，自己可以取胜。把(3,8,11)的状况留给对方，自己可以取胜。把(3,9,10)的状况留给对方，自己可以取胜。95于是归纳、猜测:把(3,4m,4m+3)或(3,4m+l,4m+2)的状况留给对方，自己可以取胜。然后用数学归纳法可以证明，这一结论是 正确的。这样，就把a=3时的情况，全搞清楚了。96上面的方法，本质上是“数列通项公式”的方法。知道上面这些结论以后，对一般没有研究的人，你的 赢律应该是很大的了。只要先把最少的那堆抓剩3个，对方迟早会进入你的圈套的。但是，这并无必胜的把握。为了赢律更大，还 需研究a=4时的情况，a=5时的情况，等等。97例如a=4时的情况，经过研究可以得到结论：把(4,8,12)的状况留给对方，自己可以取胜。把(4,9,13)的状况留给对方，自己可以取胜。把(4,10,14)的状况留给对方，自己可以取胜。把(4,11,15)的状况留给对方，自己可以取胜。98把(4,16,20)把(4,17,21)把(4,18,22)把(4,19,23)的状况留给对方,的状况留给对方,的状况留给对方,的状况留给对方,自己可以取胜。自己可以取胜。自己可以取胜。自己可以取胜。99于是归纳、猜测：把(4,8m,8 m+4)或(4,8m+l,8 m+5)或(4,8m+2,8 m+6)或(4,8m+3,8 m+7)的状况留给对方,自己可以取胜。然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。这样，用“数列通项公式”的方法，继续研究下去，也能得出取胜的策略，但表达起来会很繁琐。100归纳总结，找出规律因为已经看到，在(a,b,c),aVbc的规定下，a=1时，有一种表达式(1,2m,2m+1)的状 况留给对方，自己可以取胜。a=2时，有二种表达式(2,4m,4m+2)或(2,4m+l,4m+3)的状况留给对方，自己可以 取胜。101a=3时，有二种表达式(3,4m4m+3)或(3,4m+l,4m+2)的状况留给对方，自己可以 取胜。a=4时，有四种表达式(4,8m,8m+4)或(4,8m+l,8 m+5)或(4,8m+2,8 m+6)或(4,8m+3,8 m+7)的状况留给对方，自己可以 取胜。102可以猜测，a=4、5、6、7这四种情况时，都分别有四种通项表 达式的状况留给对方，自己可以取胜。a=8、9、10、11、12、13、14、15这八种情况时，都 分别有八种通项表达式的状况留给对方，自己可以取胜。a=2k,2k+l,2k+2,，2k+1-l,这2k种情况时，都分别有2k种通项表达式的状况留给对方，自己可以取 胜。103证明规律，得到结论如果把以上情况全用数学归纳法证明了，特别是把上行中2k种通项表达式全写出并证 明了，那么，起始情况有利时，就可以稳操 胜算了。或者说，若甲、乙双方都懂得上述 策略时，则“起始的状态”就决定了谁胜谁 负。104这种解决问题方法的复杂性，迫使我们考虑,能否找到一种新手段、新方法，来解决这一问题。关于找到一种新手段、新方法，来解决问题，历史上有过多次类似的情形：笛卡尔引进坐标系，描述了过去难以描述的曲线；牛顿引进微分法和积 分法，解决了变变速下的速度、路程问题；伽罗瓦 引进“群”的概念，解决了5次方程根式解的问题,等等。105