数学竞赛之平面几何知识点及例题.pdf

第一部分【几个著名定理】1.梅涅劳斯(Mee/ss)定理设AA8C的边AB,BC,CA或其延长线分别交于点P,Q,H,且 有奇数个点在边的延长线上(如图)则P，Q，R三点共线的充要条12.塞瓦定理：设月、。、R分另U是AABC的5。、CA、AB边上的点，且有偶数个点在延长线上，贝必尸、B。、CR三线共点的充要条件是：=1PC QA RBBCQ23.托勒密定理：定理：四边形ABCD中，有：AB CD+AD BC AC BD并当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等号成立。34.西姆松定理：尸是AA3C的外接圆。上的 任意一点，PE_LA&PD上BC,PFLCA.垂 足为E、D、F,贝I E、D、尸三点共线.西姆松的逆定理：从一点P向AABC的三边（或延 长线）作垂线，若其垂足L M,N在同一直线上，则点尸在AA5c的外接圆上。4例1.以ABC的底边BC为直径作半圆，分别与AB、AC交于点D和E,分别过D、E作BC的垂线，垂足依次为F、G,线段 DG和EF交于点M,求证：AMBC（IMO-37国家队选拔题）ACB5证法一：设直线AM与BC交于H,连结BE,CD,则知/BC=/BQC=90,直线FME与AC相截，直线GMD与ABH相截，由梅氏定理得：AM HF CE 1 AM HG BD 1 =I,=1MH FC EA MH GB DA两式相除得FH _CF AE BD HG CE BG DA在 RtADBC 与 RtZXEBC 中，有3=BC-FC,B=BCBG喑等代入上式得黑管嘿器ad mXaabe-aacd,有把代入上式得AE BEFH CD BD S DF DM而一前&一法一砺Za/L)C,从而 MH/DF,MDF1BC,则 MHLBC,故 AM1BC6证法二：作高 AH,连 BE,CD,贝石C=N5Z)C=90于是 DF=BD sin/B=BC c os NB-sin NB,EG c os ZC sin ZC匚亡 2 DF DM sin ZB-c os ZB AC c os ZB所以_二_EG MG sin Z C-c os Z C AB c os Z C又 BH=AB-c os ZB.HG=AE c os ZC匚亡2 BH AB-c os ZB AC-c os ZBHG AE-c os Z C AD-c os Z C口口 BH AC DM AB DM ABHG AD MG AC MG AD田 BH GM DA i故-二1HG MD AB对5OG应用梅氏定理逆定理，知H,M,A三点共线 由 AH_LBC,故 AM_LBC7例2.如图，在锐角三角形ABC的5c边上有两点E、F,满足/氏4/=/。尸，作FNLAC（M、N是垂 足），延长AE交三角形A5c的外接圆于。.证明：四边形AMDN与三角形A5C的面积相等.D8证明：ZBAE=ZCAF=a,/EAF=(3则 S amdn=_ AM.AD sin cr+AD AN sin(c r+/7)/、/xiviuiy=；ADAF c os(c r+/?)sin a+AF c os a sin(c r+/?)1 AF=-ADAF sin(2o+尸)=诋 A。5C3AAg c=AFsin(a+/?)+!ACAFsin c rAF二(ABCD+ACBD)47?由托勒密定理可知：ABCD+ACBD=AD-BC成上。，故结论9例3.求证四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆 相交于一点，且由该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直 线上已知：四条直线AB,B C,CD,DA中，AB交CD于 点E,B C交AD于点F求证：AADE,AABF,ABCE,ACD尸的外接圆相交于一 点，且该点向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上。10证明：如图，设四条直线AB、BC、CD、中，AB交CD十点、E,3。交AD于点巴圆3CE与圆COb的另一个交点为GZBGF=ZBGC+ZCGF=ZBEC+A CD AZBGF+ZA=180,即圆43斤过点 G同理圆AED也过点G.圆3CE、圆CD/、&ABF,圆交于同一点G若点G向AB、BC、CD、D4所作垂线的垂足分别为E、L、M、N、P,由西姆松定理可知L、M.N在一条直线上，“、N、P在一条直线上，故、M.N、尸在同一条直线上11例4.若两个三角形的对应顶点的连线交于一点，则对应边 所在的直线交点必共线。（笛沙格定理）0M已知：若AiBiCi与AAzB2c2的对应顶点连线AiA2 BiB2C1C2相交于一点0,则对应边B1C1与B2c2的交点K、CiAi 与C2A2的交点L、AiBi与A2B2的交点M共线。12证明：观察三角形CiBiO,可以看出，K、B2 C2分别在CiBi、BQ、OCi或其延长线上，且B2、K、C2三点共线,根据梅涅劳斯定理可得：咨型,吆=iKB】B20 C2 G同理：观察三角形OBiAi，根据梅涅劳斯定理可得：AXL BB?0A2-=1LB】B20 A2A1观察三角形OA1C1，根据梅涅劳斯定理可得：0G 二 1MA,A20 C2G-以上三式相乘得：工匹里丝=iKB】LAX MCX可以看到，在三角形BiAiCi中，L、K、M分别在AiBi、BiCi、CiAi或其延长线上，根据梅氏定理的逆定理，可判 断L、K、M共线。第二部分【三角形五心研究】一些重要结论：一、外心：（1）O为三角形外心的充要条件：ZBOC=2ZA,ZBOA=2ZC,NA0C=2NB（钝角三角形中为：ZBOC=360-2ZA,角A为钝角，如下右图）;或 OA=OB=OC；（2）外心与顶点的连线与其中一边的夹角与该边所对的角互余（如上 左图），即NOBC+NA=9014二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心;重心将每条中线都分成定比2:1；中线长度公式AD=-Sac?+2AB?-BC?2重心的性质：G为的重心，则 ga2+gb?+gc2=；(AB2+BC2+CA2)15二、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心。由三角形的垂 心造成的四个等（外接）圆三角形，给我们解题提供了极大的便 利。4性质：（1）ZBHC=180-ZA=ZB+ZC（2）H为垂心，则H,A,B,C四 点中任一点是其余三点为顶点的三角形 的垂心（称为一垂心组，且一垂心组的 四个外接圆的圆心组成另一个垂心组，与原垂心组全等。）“D（3）设ABC的三条高线为AD,BE,CF,其中D,E,F分别为垂足，H为垂心，则对于A,B,C,H,D,E,F有六组四点共圆，有三组相似三角形，且AHHD=BH HE=CH HF16(4)0 是外心，H 是垂心，贝ljNBAO=NHAC,ZABO=ZHBC(5)H关于三边的对称点在AABC的外接圆上，关于三边中点的对称点在ABC的外接圆上(6)三角形任一顶点到垂心的距离 等于外心到对边的距离的2倍。(7)设A5C的垂心为H,外接圆 半径为R,nt l HA HB HC贝-=-=-=27?|c os A|c osB|c osC|17四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心(三角平分线的交 点)。性质：(1)张角公式NBIC=90+1NA；(2)设/为ABC的内心，射线A/交A5C外接圆于 4,则有A 换言之，点4必是A/C之外心(内心的等量关系之逆同样有用).18(3)设/为5c 的内心，BC=a,AC=8,AB=c,NA的平分线交BC于K,交A5C的外接圆于点D,则 AI AD _ DI _b+cKI DI DK aD(4)ADEF为切点三角形，贝lj AD=AF=p-Q,BD=BF=pd,CE=CF=p-c19五、旁心1 1(1)ZBIaC=90-ZA,ZBIbC=ZBIcC=ZA(2)设AIa的连线交ABC的外接圆于D,贝 UDIa=DB=DC20例1.过等腰ABC底边5C上一点尸引尸”C4 交于M；引产N氏4交AC于N.作点尸 关于MN的对称点P.试证：P点在ABC外 接圆上.21分析：由已知可得 NP=NP=NC,故点M是APBP的外心，点N 是PPC的外心。有NBPP=，zbmp=-zbac,2 21 1/PPC=ZPNC=-ZBACo 2 2/BPC=/BP，P+/PPC=/BAC.点与A,B,C共圆、即P在ABC外接圆上.由于PP平分NBPC 显然还有PRPC=B尸:尸C22例2.如图，设圆O是A5C的内切圆，BC,CA,AB上的切点各是D,E,F,射线DO交EF 于A同样可得B C试证：直线AA BB CC共点。23证明：连结A，B,AC,易知B、D、0、F及C、D、0、E分别四点共圆。得：ZA,0F=Z5,ZAf0E=ZC,AF ON 0A1 AE由_sin ZA1 OF sin ZOFA1 sin ZOEA1 sin ZAOE,A!F sin ZA1 OF sin B AC r H_AE sin ZAfOE sin C ABAWAB F=AC E,又NAFE=NAEF故 Saaba-sin ZAFE AB F2=-sin ZAEF ACE=SAAca52由此式可知直线AA必平分BC边，即AA必过ABC的重心同理BB CC必过ABC的重心，故结论成立。24例3,设ABC的三条高线为AD,BE,CF,自A,B,C 分别作 AKLEF 于 K,BLLDF 于 L,CNLED于N,证明：直线AK,BL,CN相 交于一点。25证明：设ABC的垂心为H,由AKLEF,CF1AB,知 ZFAK=ZEFH,注意到A,F,H,E四点共圆，知NFAK=NEAH,知A0与AK重合。同理B0 与BL重合，CO与CN重合，故AK,BL,CN 三线共点于AABC的外心O.ABDC26例 4.如图，在ABC 中，AB=4,AC=6,BC=5,ZA的平分线AD交ABC的外接圆于K,A8C的外心，内心分别是O,I,求证：OILAK。A27证明：连结KO并延长交圆0于E,连结AE,FK贝 lNKAE=90,=2OK因为I是ABC的内心，由内心性质可知AK AB+AC-=-=2IK BC于是 OI/AE,从而NOIK=NKAE=90,故 OILAK28例5.如图，设点M是ABC的边BC的中点，I是其内 心，AH是BC边上的高，E为直线IM与AH的 交点，求证：AE等于内切圆半径r。29证明：设点P为内切圆与边BC的切点，连IP,设BC=”,CA=b,AB=c,贝MC=-a,PC=叱，2 2a2+b2-c2HC=AC c osC=-2a由 ALMP s AEMH,后 EH HM MC-HC a-2HC b+c-二-二-二-二-IP PM MC-PC c-b a立 c c Z 1 x r tr r AH a+b+c又 AH a=2 5AA5c=r(a+Z?+c)BP-=-aFH h+c再由 J=,及AE=AH-EH,r a士 AE AH EH a+b+c b+c.有一=-=-=1raa故 AE=r30例6.设圆。是ABC的BC边外侧的旁切圆，D,E,F分别是圆。与BC,CA,AB所在直线的切点，若 0D与EF相交于K,求证：AK平分BC。31证明：过K作BC的平行线分别交AB,AC于N,M。连0E,OF,OM,ON由K,O,E,M四点共圆；O,K,F,N四点共圆，有NOME=ZOKE=ZONF,而 OE=OF,且NOEM=NOFN=90。故 RtAOEMZ RtAOFN,从而 OM=ON在等腰AOMN中，OK为底边MN上的高，从而NK=KM,即K为MN的中点，而BC/MN,故AK平分BCA例7.在AABC中，NA=60,ABAC,点0是外心，两条高BE,CF交于H点，点M,N分别在线段BH,HF上,且满足BM=CN,求MH+NH的值。0H33解：如图在 5石上取BK=CH,连结OB、0C、0K由外心的性质 ZBOC=2-ZA=120 由垂心的性质 ZBHC=180 -ZA=120.ZBOC=ZBHC：.B、C、H、。四点共圆。Z OBH=Z OCH又OB=OC,BK=CH NBOK=NCOH Z BOK=Z COH,OK=OH ZKOH=ZBOC=120,Z OKH观察OKH有:KH OH sin 120 -sin 30 贝IKH=孤OH又BM=CN,BK=CHKM=NH：.MH+NH=MH+KM=KH=G 0H故MH+NHOH34第三部分【圆的研究】【圆幕定理】已知：如图，圆。的两条弦A3、相交于一点尸.求证：PA PB=PC PD.L35故从一定点P引直线与定圆。交于两点A、B,（A B 可能重合为一个点），（记OP=d）则PA PB等于点P对于。的寨:屋一产 0,尸在圆外尸的累=0,尸在圆上0,尸在圆内所以上面的几个定理（相交弦定理、切割线定理、割线定理 及切线长定理）也统称圆塞定理.36【根轴的性质】定义：【根轴】对已知两圆有等事的点的轨迹，是一条垂直 于连心线的直线。这条直线称为两圆的根轴或等幕线。37性质1:两圆相交，其根轴就是两圆公共弦所在直线。已知：两圆O与O1相交于点4、与，求证：直线A6上的点到两圆的幕相等.证明 点A、6对于两个圆的幕都等于0,故点A、6对两个圆等幕.设尸为线段上任意一点.过尸取圆O的弦8及圆5的弦EF,由相 交弦定理，有PC PD=PA PB=PE PF,/、即点P对于圆O及圆Oi的幕相等.设P为6A（或A5）延长线上任一点，过 nH 叱口.oP作圆O的任一割线PMN,及圆Oi的割线PMNi，由切割线定理，有）1PM PN=PA P B=PMiPNi，故点P对于圆O及圆Oi的幕相等.所以，直线A6上的点到两圆的幕相等.注意：直线称为两圆的根轴.（根轴：到两圆等赛的点的轨迹）38性质2：两圆相切，其根轴就是两圆公切线所在直线。性质3：三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行。性质4：两圆相离，则两圆的四条公切线的中点在根轴上。39【相交两圆的性质】性质1:相交两圆的连心线垂直平分公共弦。性质2：相交两圆的公共弦所在直线平分外公切线线段。性质3：过相交两圆的两个交点分别作割线，交两圆于四点,同一圆上的两点的弦互相平行。性质4：相交两圆的内接三角形（以一交点为顶点，过另一 交点的割线为对边的三角形）相似。40例1.（坳汨定理）设三角形的 为心外心与内心的距离为d,省数学竞赛）卜接圆半径为几内切圆半径 贝1屋=尺2一2尺八（1992年江苏41分析改写此式，得：/-*=2笈，左边为圆塞定理的表达 式，故可改为过/的任一直线与圆交得两段的积，右边则为。的直径与内切圆半径的积，故应添 出此二者，并构造相似三角形来证 E 一明，证明：如图，0、/分别为/A5C/的外心与内心.连4/并延长交。0/于点。，由4平分/历LC,故。为 1 I弧5C的中点.连。并延长交。0 j；-c于E,则DE为与BC垂直的的，、L/直径.由圆幕定理知，D产-心=（尺+4）便-d尸7A/0.（作直线01 与。交于两点，即可以证明）但DB=DI（可连 出，证明ZDBI=ZDIB得），故只要证 2Rr=IA DB,即证2R：DB=IA:r即可.而这个比例式可由/AF/s/ebD证得.故得正屋=2尺八 即证.42例2.设点尸是。外一点，PAB,尸CD是两条割线，AD9交于点。，延长80,AC交于点R,求证：PQ2=P的恭+Q的塞；PR2=P的幕+R的赛RDB43证明：延长PQ至N,使得P0QN=30QC于是P,N,B,C四点共圆所以 ZPNC=ZPBC=ZPDA,于是Q,N,D,C四点共圆所以PQ PN=PCPD-得PQ2=PC PD-BQ QC=P的幕+0的幕 又在PR上找一点M,连结CM,满足/PAC=/CMR=/CDB,于是P,A,C,M四点共圆；M,C,D,R四点共圆,RMRP=RCRA；PM PR=PC PD两式相加得：刊?2=尸的事+R的幕.44【两个典型模型工。的内接四边形ABCD中，AB,DC 延长后交于点E,AD,BC延长后交于点F,AC,BD交 于点P(不与0重合)，证明：OPLEF,并讨论四边形 ABCD是圆外切四边形的情形。证明：设圆0的半径为R,则PE2-PF2=(E的累+P的幕)-(F的幕+P的哥尸E的哥-F的募=(OE2-R2)-(OF2-R2)=OE2-OF2,故 OPLEFA AE45例4.如图，已知两个半径不相等的。Oi与。2相交于V、N两点，且。0、。2分别与。内切于S、T两点。求证：的充分必要条件是S、N、T三点共线。（97年高中数学联赛试题）S46证明：连OS,OT,ST,作公切线SP,TP相交于P,则得PS=PT,由此即知自点P向。Oi与。O2所作切线长相等，故点P在这两圆。Oi与。2的根轴上，且有PS?=PM PN连OP交ST于点Q,贝lj OP1ST,KPQ PO=PS2=PN PM,故O,Q,N,M四点共圆。由此即有 OMLMNo OQQN/、ON在直线ST上/o S、N、T三点共线 M z1Z(1、丫47例5.四边形ABC。内接于圆，其边A5与OC延长交于点 P,AD,BC延长交于点。，由。作该圆的两条切线QE、QF,切点分别为E、F,求证：尸、E、F三点共线.（1997 年中国数学奥林匹克）48证明连尸。，作。QOC交尸。于点 贝叱Q-CD4=NC5P,于是、C、由 圆塞定理：P027=PCPD=PMPQ,QO2-r2=QCQB=QMQP,两式相减，得 PO2-QO2=PQ(PM-QM)=(PM+QM)(PM-QM)=PM2-QM2,：.OMLPQ.：.0、F、M、Q、七五点共圆.连形，若尸石交。于/i，交60FM 于点B，贝I对于。0,有PFtPE=PCPD,对于。尸m,pf2pe=pcpd.B、P四点共圆.APFvPE=PFrPE,即/i与B重合于二圆的公共点?即P、F、石三点共线.第四部分【从调和点列到完全四边形到Apollon ius圆到极线极点】调和点列：设两点C,D内分与外分同一线段AB成同一比例，即Ar AD=一,则称点c,D调和分割线段AB,或称A,B,C,DCB DB为调和点列。若从直线外一点P引射线PA,PB,PC,PD,则称该线束为调和 线束，且PA与PB共甄，或PC与PD共趣。定理2调和点列常见形式：(0为CD中点)2 1 1(1)-=-1-一八 AD AB AC(2)、OC2=OBOA(3)、AC*AD=AB*AO(4)、AB*OD=AC*BD证明：由基本关系式变形即得，从略。50定义3完全四边形：如图3,凸四边形ABCD各边延长交成的图形称 为完全四边形ABCDEF,AC、BD、EF称为其对角线（一般的四条直线 即交成完全四边形）。定理4完全四边形对角线互相调和分割。即AGCH、BGDK EHFI分另U 构成调和点列。HF51F 口目r h厂一工田EH FD AB 证明：由 Ceva je 理-x-x-=1,HF DA BE由 Men ela us 定理得至U x x=1,IF DA BEhf if故把=二，即EHFI为调和点列。HF IFAHF52定义4阿波罗尼斯（Apollon ius）圆：到两定点A、B距离之 比为定值k（左0且h1）的点的轨迹为圆，称为Apollon ius圆,为古希腊数学家Apollon ius最先提出并解决（注：当k=l时轨迹 为AB中垂线也可看成半径为无穷大的圆）。证明：如图4由AP=k PB,则在AB直线上有两点C、D满足AC _ ADAp如故PC、PD分别为NAPB的内外角平分线,则CPDP,即P点的轨迹为以CD为直径的圆0（0为CD中点放定理：Apollon ius圆与调和点列的互推，如下三个条件由其中 两个可推得第三个：1.PC（或PD）为NAPB内（外）角平分线2.CPXPD3.ABCD构成调和点列（证略）54定义5反演：设A为。O(r)平面上点，B在射线0A上，且 满足OAXOB=f,则称A、B以OO为基圆互为反演点。定理8图中，以Apollon ius圆为基圆，AB互为反演点。55定义6极线与极点：设A、B关于。0(r)互为反演点，过B 做0A的垂线1称为A点对圆0的极线；A点称为1的极点。特别地：在完全四边形ABCDEF中，若ABDE四点共圆于圆0,则过C,G,F三点中任意两点的直线，分别是另一点关于圆。的极线，且圆心0是三角形CGF的垂心。56定理：当A点在OO外时，A的极线为A的切点弦。定理若A的极线为/,过A的圆的割线ACD交/于B 点，则ABCD为调和点列。证明：如图，设A的切点弦为PQ,则BC _ QPC _ CP CQ _ AP AC BD QPD DP DQ AD AQ即ABCD为调和点列。57【推论工设点C是AAEF的内心，角平分线AC交边EF 于点B,射线AB交AAEF的外接圆。2于点0,则射线AB上的点D为AAEF的旁心的充要条件 是:AC _ DO CBB证明：由题设知：0C=0E=0F,即0是ACEF外接圆 的圆心，则点D为AAEF的旁心oD在。0上，口 AC AD且-=-CB DBAC 0A-0C AD 0A+0C=-=-=-=-CB 0C-OB DB OB+0CAC 20c _0C DOCB 20B OB 0B58定理 配极定理：如图，若A点的极线通过另一点D,则 D点的极线也通过A。一般的称A、D互为共趣点。证法一：几何法，作AFLOD于F,贝UDFGA共圆，得OFXOD=OGXOA=O/2,由定义知AF即为D的极线。证法二：解析法，设圆O为单位圆，A(,D(芍，为A的极线方 程为咐+y%=l,由D在其上，得 犬2片+y2yl=1，贝Ll A 在 xx2+,%-1 上，即A在D的极线上。59注：完全四边形ABCDPR中，ABCD内接于圆O,AC 交BD于R,AB交CD于P,AD交BC于Q,则过P,Q,R三点中任意两点的直线,分别是另一点关于圆0的极线。【小结】至此，点P在圆0外时，我们得到了 P点极线的四种常见的等价定义:1、过P反演点作的0P的垂线。2、过P任意作割线PAB,AB上与PAB构成 调和点列的点的轨迹所在的直线。3、P对圆0的切点弦。P4、过P任意做两条割线PAB、PCD,AD、BC交点与AC、BD交点的连线。（注：切线为割线特殊情形，故3、4 是统一的）60熟开/倜曙警匕P边积相等的圆内接四边形称为调和 黑鼠园上任息一点对此四点的线束为调和线束，取以此叩名）定理图中PDQC为调和四边形。D61例1如图，过圆0外一点P作其切线PA、PB,OP与圆 和AB分别交于I、M,DE为过M的任意弦。求证：I为PDE内心。（2001年中国西部数学奥林匹克）分析：其本质显然为Apollon ius圆。由定理知圆O为P、M的Apollon ius圆，则DI、EI分别 为4PDE的内角平分线，即I为4PDE内心。62例2如图，回中，ADBC,H为AD上任一点，则 ZADF=ZADE（1994年加拿大数学奥林匹克试题）证明：对完全四边形 人AFHEBC,可知FLEK为调和点歹人又ADLBC,/k 故得 NADF=NADE。/X63例3如图9,完全四边形ABCDEF中，GJLEF与J,则 NBJA=NDJC（2002年中国国家集训队选拔考试题）分析：NBJG=NDJG 且NAJG=NCJG,则 NBJA=NDJC。64例4已知：如图，AABC内角平分线BE、CF交于L过 I 做 IQLEF 交 BC 于 P,且 IP=2IQ。求证：ZBAC=60证明：做AX_LEF交BC于Y,可得AD7D为调和点列，IQ _ D7-2L-EL-AYA，又 IP=2IQ,贝ljAX=XY,即EF为AY中垂线，由正弦定理CF FY FA CF-=-=-=-,sinZFYC sinZX sinZ.2 sinZFAC 则AFYC共圆，同理AEYB共圆,故 Z B YF=N B AC=Z C YE=Z EYF,故 NBAC=60 o65例5如图n,P为圆0外一点，PA、PB为圆0的两条切 线。PCD为任意一条割线，CF平行PA且交AB于E。求 证：CE=EF（2006国家集训队培训题）66例6.过锐角AABC的顶点A,B,C的三条高分别交对边 于点D,E,F,过点D平行于EF的直线分别交AC,AB于点Q,R,宜线EF交BC于点P,求证：APQR 的外接圆过BC的中点。67证明：由题设知D,P调和分割BC,设M为BC的中点，则变DCBPPCBD PC=BP-DC=(BD+DC+CP)DCDP DC DC DP DCBD MD=-=-DP DC o BD DC=MD DP68又B,C,E,F四点共圆，及RQ/EF,有 ZRQC=/PEC=/RBC因此B,Q,C,R四点共圆，即DRDQ=BD DC=MD,DP 由相交弦定理的逆定理可知，APQR的外接圆过BC的中 点。Q69例7.在AABC中，经过点B,C的圆与边AC,AB的另一 个交点分别为E,F,BE与CF交于点P,AP与BC 交于点D,M是边BC的中点，D,M不重合，求证:D,M,E,F四点共圆。A70证明：易知EF与BC不平行，设它们的延长线交于点Q,贝U点Q,D调和分割BC,又M为BC中点，则2BQDC=BCDQ1”CD 2 BM-DQ BQ BQCD+DQ BM+BQ=-=-DQBQO 竺o QM QD=QC QB QD QB由害U线定理得：QC QB=QF QE,贝U QM.=Q厂.。石从而D,M,E,F四点共圆。71例8.凸四边形ABCD内接于。0,延长AB,DC交于点E,延长BC,AD交于点F,AC,BD交于点P,直线0P 交EF于点G,求证：ZAGB=ZCGDA分析：先证。尸，以再由调和点列性质 证明 A AGP=ZCGP 和 ZBGP=ZDGP72例9.以锐角APAB的边AB为直径作半圆交PA于点E,交PB于点D,直线AB与ED交于点Q,AD与BE交 于点C,直线PC交AB于H,连OE,OD,HE,HD,求证：ZOEH=ZODH=ZEQO73证明：由题设C为APAB的垂心，设PC交ED于点G,则在完全四边形PEACBD中，ED被G,Q调和分割，贝lj HE,HD,HG,HQ为调和线束，而HG1HQ,故 HG 平分BP ZEHC=ZCHD由 A,H,C,E 四点共圆，ZDHE=2ZEAD=ZEOD,从而O,H,D,E四点共圆，于是 ZAHE=ZEQ0+ZQEH=ZEQ0+ZD0H又 ZBHD=Z0DH+ZD0H,所以 Z0EH=Z0DH=ZEQ074例10.如图，。、/分别为A5C的外心和内心,ADBC 边上的高，/在线段。上。求证：的外接圆半径 等于边上的旁切圆半径。（98年全国高中联赛试题）75证明：设Ia为旁心，AIa交BC于点E,交。于点M,贝INI为BC 的中点，连 OM,贝IOMI BC,作IaF 1 BC于F,则由平行性质，得:AD _ 0M AI MIADAE由调和点列性质得:AIIEIaMME即在旦 IaMIEMEA/+IE _ 凡 I aM+ME I aE一 AD AE“户一日 AI与-=-比较得-I aF I aE I amAD 日口 A。IaF-,即-二一I aF AI I aMa a一注意到并比较女得OMf F AI MI A即ABC的外接圆半径0M等于6c边上的旁切圆平径乙方76第五部分【完全四边形】定义:我们把两两相交又无三线共点的四条直线及它们的六个交点 所构成的图形，叫做完全四边形。六个点可以分成三对相对 的顶点，它们的连线即三条对角线。六个点A、B、C、D、E、F,三条对角线AD、BE、CFo性质1：完全四边形中四个三角形AA,AABF,ABCD,AE/。的外接圆共点，此点称为密克点。性质2：完全四边形三条对角线的中点三点共线。性质3：完全四边形ABCDEF中，A、B、E、D 四点共圆，则过G、C、F中任意两点的 直线，分别是另一点关于圆O的极线。77性质4：完全四边形对角线互相调和分割。即 AGCH、BGDI、EHFI分别构成调和点列。78性质5：在完全四边形ABCDEF中，过B,E 作对角线AD平行的直线分别交对角线 CF于G,H,连接BH,GE相交于I,则 点I在直线ADO证明：设AD交CF于J,对三角形ACF及点D用塞瓦定理得：事因为 BG/ADEH,得出-=O-,CJ=BC GCEF=-FA代入上式得：AJGJ EH FA、GB JF EAFH FI又BG/EH,得与代入上式得:BG IGGJ FA EI 1JF AE IG对三角形GEF用梅氏逆定理得：A,79共线，即点I在立线AD上。例1.在四边形ABC。中两条对角线交于点0,两组对边的延长线分别交于点E,F,过O 作EF的平行线交BC,AD于L J,求证:0I=0JABNECG80证明：延长AC交EF于G,在完全四边形WD中，有啰啜T7 n,i 10 OC AO OJ F 曰 z又 IJ/EF,则一=,于是 01=0JGF GC AG GFABNCG81例2.在四边形ABCD中,对角线AC平分ZBAD。在C。上取一点石，与AC相交于尸，延 KDF 交 BC 于 G。求证：ZGAC=ZEAC.（99 年全国高中联赛试题）82证明：设直线EG与直线DB交于点P（或无穷 远点P）,分别与AC交于点Q,Ro则在完全四 边形CEDFBG中，知P,R调和分割DB,P,Q调和分割EG,由AC平分NBA。，知 AC LAP,由止匕即 NGAC=C83例3.设凸四边形的两组对边所在直线分别交于E,F两点，两对角线的交点为P,过点P 作尸0,石尸于0,求证：ZB0C=NA00（2002年国家队选拔赛题）84分析：只需证：ZPOC=ZPOA及 ZPOB=ZPOD证法一：ZPOC=ZPOA若AC“EF,设AC的延长线交EF于点Q,过点P作EF的平行线分别交直线OA、0C于LJ,则HQ0APAQpj pr,由性质“完全四QO QC边形的一条对角线被其它两条对角线调和分割”a p pr知：丝=土，所以P/=PJ,AQ QC所以/P0C=/PO4,若AC/EF,过点A作AK/EC交BD于K,则 空=型所以KC/AF,即ABCK是平 KB AE CF行四边形，故点P为AC中点，于是ZPOC=ZPOA同理 ZPOB=APOD所以=证法二：若AC“EF,设AC的延长线交EF于点Q,欲证/尸0。=/尸04,只需证：ZE0C=ZF0A,作 CG_LEF 于 G,作 AH_LEF 于 H,则只需证：Rt ACGO s Rt CG0,只需证：CG _ GOAH-OH由 CG/P0/AH 知:GO _ PC CG _ QC一,一OH PA AH QA从而只需证：上二变，由性质“完全四边形的PA QA一条对角线被其它两条对角线调和分割”知:上=耍成立，所以/尸0。=/尸。4,同理PA QAZP0B=/P0D 所以 4。=NA。86例4.如图，锐角三角形ABC的外心为。，K是 边上一点（不是边的中点），。是线 段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点 N,直线与A5交于点求证：若0K LMN,则A,B,D,。四点共圆.（2010年 全国高中数学联赛）87证法一：用反证法.若A,B,D,C不四点共圆，设三角形A5。的 外接圆与交于点区 连接5石并延长交直线AN于点Q,连接并延 长交直线AM于点P,连接 因为尸的哥+K的幕（关于。0）=（尸。2_/）+（K。2f2）,同理 腔=（02r2）+（k02户）,所以尸。2 尸长2=。2一QKz,故0K，PQ.由题设，0KLMN,所以PQMN,于是AQ APQN PM由梅内劳斯（Menelaus）定理，得也匹及=,K匹.也=1BD EA QN CD EA PM由，可得第MC CD（30 分）所以吧=曳2,故OMN s LDCB,BD DC于是/DMN=/DCB,所以5CMN,故。K，BC,即K为5c的中点,88矛盾！从而A/,。,。四点共圆.（40 分）证法二：（配极原理）如图，设AK与。交于点 Dp CDi，BDi分别与AB、AC交于点Mi，Nio由 于KNi为点Mi关于。的极线，贝iJOMiLKNi 同理ONiLKMi，因此。为KMiM的垂心 所以 OK XMiiVi又因为OK _LMN,所以MNUMiNi反证法：假设DiWD,设AK的延长线与MN,MiNi分别交于点E,Ei，由塞瓦定理得：ME NC AB 1 MXEX NXC AB 1-=1,-,-1 EN CA BM EN、CA BM.MNEKCNi又因为蟠=”且，所以生二外，于是BC/MNNC BMEN EM则由OKLBC,知K为BC中点，与已知矛盾，故 假设不真，原命题成立。89证法三：（完全四边形调和性质）设CB与NM交于 点G,由完全四边形性质：”任意一条对角线被另外两条对角线调和分割得：,又由0KGC KCMN,不妨设垂足为J,贝=由正弦定理：0J=OB=0C=0J sin/OBJ sin ZB JO-sin ZCJO-sin ZOCJ 从而 sin/OBJ=sin ZOCJ,5-又K不是边BC的中点，SfeZOBJ=180-ZOCJ所以O,B,J,C四点共圆则 NMJB=NNJC=L/BOC=NBAC,故 B,J,N,A；A,C,J,M分别四点共圆 于是/ABN=ZAJN=ZMCN 所以A,B,D,。四点共圆 例5,如图，尸，。分别是圆内接四边形C。的对 角线AC,5。的中点.若ZBPA=ZDPA,证明：ZAQB=ZCQB.（2011年全国高中数学联赛）BC91DQABCD证明延长线段。户与圆交地另一点E,贝lj NC%=NOP4=/8P4,又尸是线段NC的中点，故/前=&,从而/CDP=/BDA.10分又/ABD=/PCD,所以尸cq,于是丝=,即 BD CD4BCD=PCBD20分从而有AB.CD=二 AC.BD=4C.（工 BD）=AC.BQ,2 292即 AB=BQAC CD又 ABQ=ZACD,所以所以 NQ/5=ZD/C.30 分延长线段4。与圆交于另一点尸，贝lj NC46=/。/尸，故BC=DF.又因为。为8。的中点，所以/C08=/OQE.又 4AQB=4DQF,所以 ZJQ8=/CQ3.40 分93证法二：延长CA,OQ交于M,因为M,O分 别是ABPD中ZB尸。的内角、外角平分线 与对边BD中垂线的交点，故M,O是4 BPD外接圆的一直径的两个端点，所以ZOBM=90,于是MB是。的切线。由射影定理：MB?=MQ MO,一由切割线定理得“4=MAMC所以的A,C,O,Q四点DB共圆 所以 ZMQA=ZACO=ZCAO=ZCQO 所以/4。区=/。394证法三：过点B作。的切线与CA交于点M,过点M作。的另一切线，设切点为D-又点P是AC的中点，由垂径定理知：OPLAC 又BE是切线，故OB_LBE于是 O,P,B,M,O五点共圆故 尸4=/D 0M=ZBOM=ZBPA=NDPA从而点D，与D重合，所以M,Q,O三点共线 即CA,0Q交于M下证同证法二。BC95证法四：（调和点列一一极线性质）设四边形 ABCD外接圆的圆心为0,连结0P并延 长与直线BD交于点P连结0Q并延长 与直线AC交于点Q,因为P为AC中点，所以0PLAC,又AP 平分4PD,于是由调和点列的性质知：B,M,D,P，为调和点列。又由极线的定义知：AC为点P的极线，则 点Q在点P的极线上，于是点P在点Q 的极线上，故点A,M,C,Q，为调和点列又0QLBD,由调和点列性质知：QM平分ZAQC,即证。96证法五：（调和四边形）如图：在。0上取点E,使得AE BC=AB-EC（即ABCE为调 和四边形），连结AE,BE,CE,PE 由托勒密定理得：AEBC+ABEC=ACBEn AE BC=AB EC=二 AC BE=CP BE 2a p pn二，又=知BE CBAAEB s APCBn/EAB=ZCPB=/CPEn/APE=NAPB=ZAPDn P,D,E三点共线，即点D与E重合 故 A。BC=AB COAC&)=AC%,XZQBC=ZDACBQ AD贝(JAWCs ABQC同理A5Qs A A CD于是 ZAQB=ZADC=ZBQC97证法六：过点B作BE/AC与四边形ABCD的 外接圆交于点E则四边形ABEC是等腰梯形由题意知 AP=PC APAB APCE 故 ZAPB=ZAPD=ZCPE=ZAPD oD,P,E三点共线 oDE过AC的中点P=S MDE=S AC