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特殊点函数极值的判断与求法

安徽省五河一中 李明政

求函数在一点处的极值，是函数的导数的一个重要应用，根据函数极值的概念，函数在一般点的极值的判断与求法，对于学生来说并不难。但在一些特殊点上的极值的判断与求法，学生易于疏漏，也亦出现错误，下面针对不同的一些特殊点的极值的判断与求法，给出一定的说明。
一、导数为O的点并非都是极值点
对于导数为0的所有疑点，并非都是极值点，需要根据极值的定义或极值的判断方法进行判断，才能得出结论。
例1 求函数的极值
解：∵函数的定义域为：
且，由得
当变化时，与的变化情况如下：

-1

1

2

+
0
—
不存在
+
0
+

↗
极大值
↘
不存在
↗
非极值
↗
∴当时，有极大值
由上表知：由所得的即为非极值点，而是函数的极大值点。
二、定义域不存在点一定不是极值点
当某点不在函数的定义域中或使函数无意义点，到该点一定不是极值点，因为该点的函数值不存在，不满足极值的定义，如例1中，就不是极值点。
三、不可导点或导函数无意义点也可能是极值点
函数的不可导点或导函数无意义点有的是极值点，有的不是极值点，要列表进行判断，不能随意说其不是极值点，如例1中，时，导函数不存在，它不是极值点。
例2 判断是否存在极值点
解：∵时，
当时不存在，∴处不可导
又时，；时，
∴是函数的极大值点
例3 判断是否存在极值点
解：∵ ∴
显然函数在处不可导
又时，；时
∴处不是极值点，即函数不存在极值点
例4 判断的极值
解：∵ ∴
显然函数在处不可导
又时；时
∴函数在处取得最小值0
四、导函数（或）无极值
若函数在其定义中使导函数或成立，则函数在其定义域中不存在极值。
例5 判断函数的极值
解：∵ 由得
当时，； 时，
∴不是极值点，从而函数在定义域上无极值。
例6 判断的极值
解：∵
∴函数在上是单调递减的，即函数在上无极值。
五、不连续点可能是极值点
对于除个别点外均连续的函数，在不连续点处可能存在极值，也可能不存在极值，要根据极值的定义进行判断。
例7 求 的极值
解：由极值的定义知，在处函数有极小值-1
例8 判断函数 有无极值
解：由极值的定义知：
在处不存在极值
∴函数无极值
六、对于定义域中的离散的点函数不存在极值
若函数是定义域中的离散的点函数，那么函数不存在极值
例9
该函数是定义域中的离散的点函数，由极值的定义知，该函数无极值。
综上所述，判断和求函数在一些特殊点的极值，一定要根据极值的定义以及极值的判断方法相结合进行综合判断，才不致于出错，从而正确地判断，求出极值。

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