课题1二阶与三阶行列式,全排列及其逆序数,n阶行列式的定义,对换.doc

课题1 二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数；阶行列式的定义；对换.
1、二阶行列式
把二元线性方程组 （1）
的四个系数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列的数表
（2）
其运算表达式称为数表（2）的二阶行列式，记为
（3）
理解：（1）数称为行列式（3）的元素或元，即行列式（3）的元素可表为，其中为行标，为列标。元素位于该行列式（3）的第行第列或称为行列式（3）的第元.
（2）把到的联线称为主对角线，到的联线称为副对角线，二阶行列式等于各元素主对角线之积减去副对角线各元素之积.
（3）行列式表示按某种法则运算的结果.
利用行列式的概念，二元线性方程组（1）的求解过程可写为
，，.
所以 ，.
自学P2例1.
2、三阶行列式
定义：设有9个数排成3行3列的数表
（4）
记为

. （5）
（5）式称为数表（4）所确定的行列式.
例1 计算三阶行列式
.
解 原式=
=. □
自学P3例2。
例2 求解方程
.
解 方程左端的三阶行列式可化为
，
由 ，解得 或. □
3、全排列及其逆序数
逆序数：对于个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（通常规定由小到大为标准次序），然后由这个元素所组成的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，得到一个逆序，所有这些逆序的总数称为这个排列的逆序数，用字母表示.
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例3 求排列32514的逆序数.
解 规定标准次序为123450.于是在排列32514中，首位元素3的逆序数是0，第2位元素2的逆序数是1，第3位元素5的逆序数是0，第4位元素1的逆序数是3，末位元素4的逆序数是1. 所以它的逆序数为
=0+1+0+3+1=5. □
例4 按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数.

解 在这个排列中有个元素，其中前个元素组成的排列的逆序数是0.第位元素2与它前面除元素1外的其它个元素都构成逆序对，故它的逆序数是.同理，第位元素4的逆序数是，…，
末位元素的逆序数是0. 所以它的逆序数为
=. □
根据逆序数，三阶行列还可以改写为
（6）
其中，、、在1～3中任取三个不同的数，为排列的逆序数，∑表示对取代数和.
4、阶行列式的定义
我们把（6）式推广到一般情形，得到阶行列式的定义
定义：设有个数，排成行列的数表

记
.
称为阶行列式，简记为，其中数为行列式的元.
例5 证明阶主对角行列式
.
证明 为行列式的元，于是记为
，所以

，
其中为排列12的逆序数，显然0. □
练习1 证明阶副对角行列式
.
例6 证明行列式
.
证明 由于当时，，所以在中不为0的元素，其下标必有，即，，…，.从而，，…，.
所以 =12…，此时，.
所以 . □
注：主对角线以下（上）的元素都为0的行列式称为上（下）三角形行列式，它的值等于主对角线所有元素的积.
练习2 证明上三角形行列式
.
5、对换
（1）定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.
（2）关于对换的几个重要结论
结论1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
结论2 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
结论3 行列式依副对角线翻转、旋转180°所得到行列式的值不变.
6、作业 P25-27 1、2（2）（4）（6）、5（1）.

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