理论数量字符.docx

理论数量字符
许多理论,也称为狄利克雷字符(因为狄利克雷首次在他著名的证明每一个等差数列与互质最初的术语和公差包含无穷多个素数),模是一个复变函数为积极的整数这样

(1)

(2)

(3)
对所有,

(4)
如果 .只能假设值吗统一的根源,在那里是totient函数.
字符数理论的实现Wolfram语言作为DirichletCharactern],[k,j模量和是指数。
参
通用的字符
的一种形式,通用字符的被定义为的值在哪里和代表 : , , ...,(科恩1980年,p . 1980)。特点适用于类的适当的等效形式表示相同的数字。
参见:
形式属
考虑到形式的通用的字符等于一些预先指定的数组的迹象吗或 ,

受。有可能的数组,是不同的数量字段判别的主要因数,对应于每个数组的形式被称为属的形式。所有的形式被称为的主要属形式,每个属也是一组合适的吗等价类(科恩1980年,页223 - 224)。
Hasse-Davenport关系
让是一个有限域与元素,让是一个场包含这样。让是一个重要的乘法的性格的和一个角色的。然后

在哪里是一个高斯求和.
参
高斯求和

高斯和总和的形式

(1)
在哪里和是互质整数。符号有时被用来代替吗。尽管限制互质整数常常是有用的,它是没有必要的,高斯求和可以写,适用所有整数吗(Borwein和Borwein 1987,页83 - 86)。
如果,然后

(2)
(Nagell 1951,p . 1951)。高斯显示

(3)
为奇怪的。书面明确

(4)
(Nagell 1951,p . 1951)。
为和相反的奇偶校验(即。,一个是甚至,另一个是奇怪的),沙尔的身份州

(5)
这种理论的总结是很重要的二次残留.
参见:

互质

两个整数相对'如果他们没有共同积极因素(因子)除了1。使用的符号来表示的最大公约数,两个整数和相对来说'如果。互质整数有时也被称为陌生人或coprime表示。上面的图块和沿着两个轴和颜色正方形黑如果和白色否则(图左)和简单的彩色显示(对图)。
两个数字可以被测试,看看他们是互质Wolfram语言使用CoprimeQ[m,n]。
两个不同的质数和总是相对',,任何正整数的截然不同的素数和 , .
相对根本不是传递。例如,和,但 .
两个的概率整数和随机挑选相对'

(1)
(OEISA059956采查罗和西尔维斯特1883;黄土西尔维斯特Nymann 1972;1909;1900;1986井,p。28;Borwein和贝利2003年p。139;2003年Havil页40 - 65;Moree 2005),是黎曼ζ函数。这个结果是与这一事实有关最大公约数的和 ,,可以理解为的数量晶格点在飞机躺在直行连接向量和(不含本身)。事实上,的分数是晶格点可见从起源(卡斯特罗1988年,页155 - 156)。
鉴于三整数随机抽取的,没有共同因素会把他们所有的概率是多少

(2)
(OEISA08845329页);井1986,是摹仿的常数(井1986年,p . 29)。一般来说,的概率缺乏一个随机数th权力公约数是(1959年科恩,1959年Salamin Nymann 1959年,Schoenfeld 1976年Porubsky 1981年Chidambaraswamy 1987年Sitaramachandra Rao,Hafner et al . 1993年)。
有趣的是,两个的概率高斯整数和相对'是

(3)
(OEISA088454),是加泰罗尼亚的常数(·佩吉,柯林斯和约翰逊1989;芬奇2003,p . 601)。
类似地,两个随机的概率艾森斯坦整数相对'是

(4)
(OEISA088467),

(5)
(芬奇2003,p . 2003),可以书面分析

(6)

(7)
(OEISA086724),是trigamma函数
令人惊讶的是,概率随机双整数和高斯整数是互质的渐近密度相同squarefree这些类型的整数。
参见:

沙尔的身份
的概括高斯求和。为和相反的奇偶校验(即。,一个是甚至,另一个是奇怪的),沙尔的身份

沙尔的身份也可以写有效 ,与甚至.

奇偶校验

一个整数的奇偶性是其属性甚至或奇怪的。因此,可以说,6 - 14(因为都是相同的奇偶校验甚至),而7和12以来相对平价(7奇怪的和12是甚至).
不同类型的整数的奇偶校验被定义为和位的二进制表示,即,数字计算,计算模2。例如,这个号码有两个1 s的二进制表示,因此平价2(mod 2),或0。最初几个整数的平价(从0开始)因此0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,…(OEISA010060),如总结在下表中。

二进制
奇偶校验

二进制
奇偶校验
1
1
1
11
1011年
1
2
10
1
12
1100年
0
3
11
0
13
1101年
1
4
100年
1
14
1110年
1
5
101年
0
15
1111年
0
6
110年
0
16
10000年
1
7
111年
1
17
10001年
0
8
1000年
1
18
10010年
0
9
1001年
0
19
10011年
1
10
1010年
0
20
10100年
0
一个生成函数给出了奇偶校验

(1)
解释所产生的恒定的奇偶校验位的二进制序列分数被称为Thue-Morse常数.
奇偶函数服从和身份

(2)
对于任何。例如,对于和 ,

(3)
参见:

哈斯的分辨率模数定理
的雅可比的象征作为一个理论数量字符可以扩展到吗克罗内克符号这每当。当是互质来,然后,对于非零值敌我识别。此外,是后者同余性质的最小值在扩展符号吗 .
参
克罗内克符号

克罗内克符号的延伸雅可比的象征对所有整数。它是各种写成或韦斯(科恩1980;1980年,p . 236)(迪克森2005)。克罗内克符号可以计算使用的正常规则雅可比的象征

(1)

(2)

(3)
加上额外的规则 ,

(4)
和。的定义是各种写成

(5)
或

(6)
(科恩1980)。科恩的状态“未赋值”为单偶数和,可能是因为不需要任何其他值的应用程序涉及的象征二元二次型判别的二次域,在那里和总是满足 .
克罗内克符号实现的Wolfram语言作为KroneckerSymbol(n,m)。
克罗内克符号是一个真正的理论数量字符模本质上,事实上,唯一的类型真正的原始字符(Ayoub 1963)。

上面的插图和下表总结为,2,…和小 .

斯隆
期

A109017
24
1,0,0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,,0,0,0,0,0…

0
1,1 1 0,11 0,1 ,0 1 , ,0…

4
1 00 1 0,0 1 0,0 1 0,0 1 0,0…

3
1,0 10 10 10 10 10 1 , ...

8
1,0,1,0,0,0 1 0 1 0,0,0 1 0 1 0,…

A034947

1,1,,1,1, ,,1,1,1, ,,1 ,,1,1,……
0

1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,…
1

1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,…
2
A091337
8
1 00,0 1 0 1 0,0,0 1…
3
A091338

1,0 10, ,,0,1,1,0,1,1,0,……
4
A000035
2
1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,…
5
A080891
5
1, ,1,0,1, ,1,0,1, ,1 0…
6

24
1,0,0,0,1,0,,0,0,0,0,,0,0,0,0 1 0…
的值对应于原始狄利克雷系列的时期=。为 ,,……的时期是0 8 3 4 0,24岁,7,8,0,40岁,11日6日……(OEISA117888)和,2,…他们1 8 0、2、5,24岁,0,8日,3,40岁,0,12,……(OEISA117889)。在这里,0表示序列不是周期性的。
参见:
Kronecker Symbol

The Kronecker symbol is an extension of the Jacobi symbol  to all integers. It is variously written as  or  (Cohn 1980; Weiss 1998, p. 236) or  (Dickson 2005). The Kronecker symbol can be computed using the normal rules for the Jacobi symbol

(1)

(2)

(3)
plus additional rules for ,

(4)
and . The definition for  is variously written as

(5)
or

(6)
(Cohn 1980). Cohn's form "undefines"  for singly even numbers  and , probably because no other values are needed in applications of the symbol involving the binary quadratic form discriminants  of quadratic fields, where  and  always satisfies .
The Kronecker symbol is implemented in the Wolfram Language as KroneckerSymbol[n, m].
The Kronecker symbol  is a real number theoretic character modulo , and is, in fact, essentially the only type of real primitive character (Ayoub 1963).

The illustration above and table below summarize  for , 2, ... and small .

Sloane
period

A109017
24
1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, , 0, 0, 0, , 0, , 0, ...

0
1, , 1, 1, 0, , 1, , 1, 0, , 1, , , 0, 1, , , , 0, ...

4
1, 0, , 0, 1, 0, , 0, 1, 0, , 0, 1, 0, , 0, 1, 0, , 0, ...

3
1, , 0, 1, , 0, 1, , 0, 1, , 0, 1, , 0, 1, , 0, 1, , ...

8
1, 0, 1, 0, , 0, , 0, 1, 0, 1, 0, , 0, , 0, 1, 0, 1, 0, ...

A034947

1, 1, , 1, 1, , , 1, 1, 1, , , 1, , , 1, 1, ...
0

1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
1

1
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
2
A091337
8
1, 0, , 0, , 0, 1, 0, 1, 0, , 0, , 0, 1, ...
3
A091338

1, , 0, 1, , 0, , , 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ...
4
A000035
2
1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...
5
A080891
5
1, , , 1, 0, 1, , , 1, 0, 1, , , 1, 0, ...
6

24
1, 0, 0, 0, 1, 0, , 0, 0, 0, , 0, , 0, 0, 0, , 0, 1, 0, ...
For values of  corresponding to primitive Dirichlet -series , the period of  equals . For , , ..., the periods of  are 0, 8, 3, 4, 0, 24, 7, 8, 0, 40, 11, 6, ... (OEIS A117888) and for , 2, ... they are 1, 8, 0, 2, 5, 24, 0, 8, 3, 40, 0, 12, ... (OEISA117889). Here, 0 indicates that the sequence is not periodic.
SEE A
雅可比的象征
雅可比符号,写或被定义为积极的奇怪的作为

(1)
在哪里

(2)
是质因数分解的和是勒让德的象征。(勒让德符号=这取决于是一个二次剩余模)。因此,当是一个',雅可比减少的象征勒让德的象征。类似地,勒让德的象征,通常广义雅可比象征价值

(3)
给

(4)
作为一个特例。注意,雅可比符号是没有定义的或甚至。雅可比符号实现的Wolfram语言作为JacobiSymbol(n,m)。
利用雅可比符号提供的推广二次互易定理

(5)
为和互质奇怪的整数与(Nagell 1951,页147 - 148)。另一种方式写的,

(6)
或

(7)
雅可比符号满足相同的规则勒让德的象征

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)
巴赫和Shallit(1996)展示了如何计算雅可比的象征简单连分数的有理数 .

二次互易定理

如果和是不同的奇怪的质数,那么二次互易定理指出刻画

(1)
都是可以解决的或者两者都无法解决,除非两个吗和离开其余3除以4时(在这种情况下,其中的一个刻画是可以解决的,另一个是不)。象征性地写,

(2)
在哪里

(3)
被称为勒让德的象征.
高斯称这个结果为“aureum theorema”(黄金定理)。
欧拉定理在1783年没有证据。勒让德是第一个发布的证据,但这是谬误的。1796年,高斯成为第一个发布正确的证明(Nagell 1951,p . 1951)。二次互易定理是高斯最喜欢的定理数论,他发明了不少于八个不同的证明了他的一生。
的属定理州,丢番图方程

(4)
可以解决的一个'敌我识别或 .
勒让德的象征

勒让德符号是一个数字理论的功能这是定义等于什么这取决于是一个二次剩余模。有时是广义的定义值0 ,

(1)
如果是一个奇怪的',那么雅可比的象征减少了勒让德的象征。勒让德符号实现的Wolfram语言通过雅可比的象征,JacobiSymbol[p]。
勒让德遵循的身份象征

(2)
特定标识包括

(3)

(4)

(5)

(6)
(Nagell 1951,p . 1951),以及一般

(7)
当和都是奇怪的质数.
一般来说,

(8)
如果是一个奇怪的'.
参

Polya-Vinogradov不平等

让是一个nonprincipal理论数量字符在。然后对任何整数 ,

分辨率模数
最少的正整数的财产每当和 .

狄利克雷除数问题
让除数函数的数量是因数的(包括本身)。对于一个' ,。一般来说,

在哪里是Euler-Mascheroni常数。狄利克雷最初给(哈代和赖特1979,p . 264;哈代1999年,页67 - 68),与哈代和朗道在1916年(哈代1999,p . 81)。下面的表总结了循序渐进的上限(更新哈代1999年,p . 1999)。

约。
引用
1/2
0.50000
狄利克雷
1/3
0.33333
泰森多边形法(1903),Sierpiński(1906),van der Corput(1923)
37/112
0.33036
Littlewood和Walfisz(1925)
33/100
0.33000
van der Corput(1922)
27/82
0.32927
van der Corput(1928)
15/46
0.32609

12/37
0.32432
陈(1963),Kolesnik(1969)
35/108
0.32407
Kolesnik(1982)
139/429
0.32401
Kolesnik
17/53
0.32075
Vinogradov(1935)
7/22
0.31818
路和Mozzochi(1988)
23/73
0.31507
赫胥黎(1993)
131/416
0.31490
赫胥黎(2003)
参见:
Dirichlet Divisor Problem
Let the divisor function  be the number of divisors of  (including  itself). For a prime , . In general,

where  is the Euler-Mascheroni constant. Dirichlet originally gave  (Hardy and Wright 1979, p. 264; Hardy 1999, pp. 67-68), and Hardy and Landau showed in 1916 that  (Hardy 1999, p. 81). The following table summarizes incremental progress on the upper limit (updating Hardy 1999, p. 81).

approx.
citation
1/2
0.50000
Dirichlet
1/3
0.33333
Voronoi (1903), Sierpiński (1906), van der Corput (1923)
37/112
0.33036
Littlewood and Walfisz (1925)
33/100
0.33000
van der Corput (1922)
27/82
0.32927
van der Corput (1928)
15/46
0.32609

12/37
0.32432
Chen (1963), Kolesnik (1969)
35/108
0.32407
Kolesnik (1982)
139/429
0.32401
Kolesnik
17/53
0.32075
Vinogradov (1935)
7/22
0.31818
Iwaniec and Mozzochi (1988)
23/73
0.31507
Huxley (1993)
131/416
0.31490
Huxley (2003)
SEE ALSO:

Summatory函数
一个离散的函数,summatory函数被定义为

在哪里是域的函数。

除数函数

除数函数为定义一个整数之和th权力(正整数)因数的 ,

(1)
它的实现Wolfram语言作为DivisorSigma(k,n)。
的符号(哈代和赖特1979,p . 239),(矿石1988,p . 86)(伯顿1989,p . 128)有时用于,提供的因数。而令人惊讶的是,许多因素的多项式也给出了。的值可以找到逆默比乌斯变换1,1,1,…(斯隆和普劳夫1995,p . 22)。Heath-Brown(1984)证明经常无限。数字因数叫做的增量最大数量高度综合的数字。这个函数满足身份

(2)

(3)
在哪里不同的素数,是质因数分解的数量 .
除数函数是奇怪的敌我识别是一个平方数.
这个函数出的因子的总和通常是没有下标写的,也就是说, .
作为一个说明性的例子的计算,考虑到140号因数、2、4、5、7、10、14、20、28岁,35岁,70年到140年,总共因数。因此,

(4)

(5)

(6)

(7)
下面的表总结了前几的值对小和2 ....

斯隆
为,2,…
0
A000005
1、2、2、3、2、4、2、4、3、4、2、6…
1
A000203
1、3、4、7、6、12、8、15日,13日,18日……
2
A001157
1、5、10,21岁,26岁,50岁,50岁,85年,91年,130年……
3
A001158
1,9日,28日,73,126,252,344,585,757,1134,……
的总和因数的不包括本身(即。,适当的因子的)称为限制因子函数并表示。最初几个值是0,1,1,3,1、6、1、7、4、8、1,16日……(OEISA001065).
因子的总和可以找到如下。让与和。对于任何因子的 ,,在那里的因子和的因子。的因数1, ,,……,。的因数1, , , ...,。总结的因数

(8)

(9)
对于一个给定的 ,

(10)
对所有求和 ,

(11)
所以。分裂和为主要因素,

(12)
对于一个'权力因数是1, , , ...,,所以

(13)
为因此,

(14)
(Berndt 1985)。
的特殊情况一个', (14)简化

(15)
同样的,对一个权力2、(14)简化

(16)
身份(◇)和(◇)可以推广到

(17)

(18)
金额涉及的除数函数

(19)
为 ,

(20)
为更一般的,

(21)
为和(哈代和赖特1979,p . 250)。
一个生成函数为给出的兰伯特系列

(22)

(23)

(24)

(25)
在哪里是一个q-polygamma函数.
的函数的级数展开

(26)
哈迪(1999)。Ramanujan给美丽的公式

(27)
在哪里是ζ函数和(威尔逊1923),这是使用英的证据素数定理(哈代1999,pp . 59-60)。这就给了特例

(28)
(哈代1999年,p . 59)。
除数函数也满足不平等

(29)
在哪里是Euler-Mascheroni常数(1984年罗宾,Erdős 1984)。
Gronwall定理州

(30)
在哪里是Euler-Mascheroni常数(哈代和赖特1979,p . 266)。是2的幂吗敌我识别或是不同的产品吗梅森素数(Sierpiński 1958/59,1989年Sivaramakrishnan Kaplansky 1999)。最初几个这样的是1、3、7、21日31日,93,127,217,381,651,889,2667,……(OEISA046528的权力),这些对应于2 0,2,3,5,5,7,7,8,9,10,10,12日,12日,13日,14日,…(OEISA048947).
好奇的身份得到使用模块化的形式理论是由

(31)

(32)
(很有1997,p . 1997),一起

(33)

(34)

(35)
(m . Trott per。通讯)。
除数函数(事实上,为)是奇怪的敌我识别是一个平方数或两次平方数。除数函数满足同余

(36)
对所有质数也没有合数除了4、6和22(苏巴拉奥1974)。
因子的数量是'每当本身是'(Honsberger 1991)。分解的为'由Sorli给出。

1838年,狄利克雷显示的平均数量因数所有的数字从1到是渐近

(37)
哈迪(康威和盖1996;1999年,p . 55;Havil 2003年,页112 - 113),正如上文所述,薄固体曲线地块实际值和厚短划线情节渐近函数。这是相关的狄利克雷除数问题,旨在找到“最好”的系数在

(38)
(哈代和赖特1979,p . 264)。
的summatory功能为与是

(39)
为 ,

(40)
(哈代和赖特1979,p . 266)。
除数函数也可以推广到高斯整数。定义需要一些护理从原则上,有歧义的,四个同事每个因子的选择。斯派拉(1961)定义了复数的因子的总和通过分解在权力截然不同的高斯质数的乘积,

(41)
在哪里是一个单位,每个位于第一象限的复平面,然后写作

(42)
这使得一个乘法函数,也给了。这个扩展的实现Wolfram语言作为DivisorSigma(1 z GaussianIntegers - >真实)。下面的表给出对于小型非负的值和 .

0
1
2
3
4
5
6
1
1

2

3
4

4

5

6

参见:

限制因子函数

的总和能整除的因数的,由

在哪里是除数函数。最初几个值是0,1,1,3,1、6、1、7、4、8、1,16日……(OEISA001065).
整除除数
“整除除数”一词通常用于指的是两个不同但相关的东西。
第一个定义是一个数字分另一个正好。例如,1,2,3,6 6整除因数。从这个意义上讲,“整除除数”是一样的除数。这个数字不是一个除数是一个(整除)除不尽的因子.
“整除”一词也经常用于特别的意思适当的因子,即,一个除数许多数字本身。例如,整除因子在这个意义上的6是1,2,3。
参见:

除不尽的因子
不分另一个正好。例如,4和5是除不尽的因数的6。号码不是一个不能整除的因子(即。,一个是分另一个)是一个整除除数.

适当的因子
积极适当的因子是积极的除数的数量(不包括本身。例如,1、2、6和3是正合适的因子,但6本身并不是。适当的因子的数量因此,由

在哪里是除数函数。为2……因此由0,1,1,2,1,3,1、3、2、3、……(OEISA032741)。最大的适当的因子,3,…1、1、2、1,3,4,3,5,1,…(OEISA032742).
“适当的因子”一词有时被用于包括负整数因子的一个数字(不含)。使用这个定义, , ,1、2和3的适当的因子是6,和6不当的因数.
让事情更加混乱,适当的因子通常是这样定义的和1也排除在外。用这个替代定义,6将适当的因子 ,、2和3,不当的因数将 ,1和6。

不适当的因子
一个除数这不是一个适当的因子.
参见:
Gronwall定理

让是除数函数。然后

在哪里是Euler-Mascheroni常数。Ramanujan独立地发现了一个更精确的版本的这个定理(Berndt 1985)。
参见

罗宾的定理

考虑到不平等

为整数,在那里是除数函数和是Euler-Mascheroni常数。这适用于7、11、13、14、15日,17日,19日,…(OEISA091901),是假的,2,3,4,5,6,8,9,10,12日,16日,18日20日,24日,30日,36岁,48岁,60岁,72,84,120,180,240,360,720,840,2520,2520(OEISA067698).
罗宾定理指出,不平等的真理等于黎曼假设(罗宾1984;Havil 2003,p . 207)。
Paige勒定理
让是矩阵的1如果th条目分和0否则,让是对角矩阵,在那里是totient函数,让是矩阵的th条目的最大公约数。然后勒Paige定理指出

在哪里表示转置约翰逊(Le Paige 1878,2003)。
作为一个推论,

(史密斯1876年,约翰逊1876)。为,2,…最初几个值是1,1,2,4,16日,32岁,192年,768年,…(OEISA001088).
奇除数函数

奇怪的除数函数

(1)
的总和th的权力奇怪的因数的数量。这是模拟的除数函数仅供奇怪的因数。
的情况下 ,

(2)

(3)

(4)
在哪里被定义为0,如果是奇怪的。的生成函数是由

(5)

(6)

(7)
在哪里是一个雅可比椭圆函数.
而令人惊讶的是,给出了多项式的一些因素 .
下表给出了前几 .

斯隆

0
A001227
1、1、2、1、2、2、2、1、3、2,…
1
A000593
1、1、4、1、6、4、8、1,13日6日……
2
A050999
1 1 1 10日,26日,10日,50岁,91年,26岁,…
3
A051000
1,1,1,28日,126年,28岁,344年,1,757,126,……
4
A051001
1,82,82,82,2402,,6643,626,……
5
A051002
1,244,244,244,16808,,59293,3126,……
这个函数在Ramanujan的出现艾森斯坦级数在一个递归关系为配分函数P.
The following table gives the first few .

Sloane

0
A001227
1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, ...
1
A000593
1, 1, 4, 1, 6, 4, 8, 1, 13, 6, ...
2
A050999
1, 1, 10, 1, 26, 10, 50, 1, 91, 26, ...
3
A051000
1, 1, 28, 1, 126, 28, 344, 1, 757, 126, ...
4
A051001
1, 1, 82, 1, 626, 82, 2402, 1, 6643, 626, ...
5
A051002
1, 1, 244, 1, 3126, 244, 16808, 1, 59293, 3126, ...
This function arises in Ramanujan's Eisenstein series  and in a recurrence relation for the partition function P.
SEE ALSO:

艾森斯坦级数

艾森斯坦级数,半周期比和索引被定义为

(1)
的总和不包括 ,,是一个整数(很有1997,p。12)。
艾森斯坦级数满足卓越的财产

(2)
如果矩阵是在特殊线性群(Serre 1973,pp。79年和83年)。因此,是一个模块化的形式的重量(Serre 1973,p . 1973)。
此外,每个艾森斯坦级数表述的多项式椭圆不变量和的维尔斯特拉斯椭圆函数用积极理性的系数(很有1997)。
艾森斯坦级数满足

(3)
在哪里是黎曼ζ函数和是除数函数(很有1997,pp。24和69年)。写省作为

(4)
在哪里是一个第一类完全椭圆积分, ,是椭圆模量,定义

(5)
我们有

(6)

(7)
在哪里

(8)

(9)

(10)
在哪里是一个伯努利数。为,2,…的头几个值是,240,、480、-264、,……(OEISA006863和A001067).
的头几个值因此

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)
(很有1997年,p . 1997)。Ramanujan使用符号 ,,,这些函数满足的微分方程组

(18)

(19)

(20)
(Nesterenko 1999)是微分算子.
也可以完整的表达方式第一类椭圆积分作为

(21)

(22)
(Ramanujan 1913 - 1914)是椭圆模量。Ramanujan使用的符号和指和,分别。
漂亮的公式给出了

(23)

(24)
在哪里是一个雅可比θ的函数.
下表给出了前几艾森斯坦级数甚至 .

斯隆
晶格

2
A006352

4
A004009

6
A013973

8
A008410

10
A013974

的符号有时是指密切相关的函数

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)
(OEISA103640),是一个雅可比椭圆函数和

(30)
是奇除数函数(Ramanujan 2000,32页)。
参见:

副总和
给定一个友好的对,数量

(1)

(2)

(3)
被称为副总和,在哪里是除数函数和是限制因子函数.
友好的对

一对友好包括两个整数的总和适当的因子(因数不包括一个数字的数量本身)=。友好的对偶尔被称为友好的对(霍夫曼1998年,p . 45),尽管这个术语是气馁因为俗称的数字友好的对是由一个不同的,尽管相关标准。象征性地,友好对满足

(1)

(2)
在哪里

(3)
是限制因子函数。同样,一个和睦的一对满足

(4)
在哪里是除数函数。最小的友好对(220、284)分解

(5)

(6)
给限制因子的功能

(7)

(8)

(9)

(10)
的数量

(11)
在这种情况下,,被称为副总和。最初几个友好的对(220、284),(1184、1210),(2620、2924)(5020、5564),(6232、6368),(10744、10856),(12285、14595),(17296、18416),(63020、76084),…(OEISA002025和A002046)。一个详尽的列表是由d . Moews维护。
1636年,费马发现两人(17296、18416)和163