《角与线段的友好链接》教学设计.doc

《角与线段的“友好链接”》教学设计
钟祥五中 刘四新
【课题】角与线段的“友好链接”
【课型】 数学概念复习课
【目标】
知识与技能：探究线段与角在分类讨论、规律探究、运算技巧等方面的联系，引导学生学会一些基本的数学思想、方法和技巧，提高他（她）们对数学概念的认识。
过程与方法：通过构建线段与角在数学思维层面的联系，让学生理解类比思想在数学中的作用和价值。
情感态度价值观：通过概念之间关系的勾连，提高学生学习数学的兴趣，提高学生数学归纳、类比的意识。

【教学重点】角与线段之间关系的勾连
【教学难点】学生思维习惯的培养和规范
【教学时间】1课时
【教学辅材】多媒体课件
【教学过程】
一、温故知新
导语：同学们，在学习上，你们愿意做主人还是仆人？我记得有这么一句广告词：我的地盘，我做主！课堂是同学们的地盘，希望大家做好主，当好家，行好权，做好事。我们刚刚学习了两个重要的数学概念：线段和角，请同学们对照大屏幕中的表格内容把这两个概念做个复习比较。并思考一个问题：
线段和角有什么相似之处？（同桌两人可采用一问一答式复习）
学习内容
线段
角
定义

表示方法

怎样比较

运算方式

相关概念（中点、平分线）

线段和角是两个不同的数学概念，在学习内容上有许多相似之处。
线段有长短，角有大小，因此线段的比较和角的比较可以类比学习.

方法
比较线段AB和CD的长短
比较∠ABC和∠DEF的大小

叠
合
法
画一条直线a，在a上先作出线段AB，再作出线段CD，并使点C与点A重合，点D与点B位于点A的同侧。据点D所处位置即可确定两线段的长短。
先让顶点B、E重合，再让边BA和ED重合，使另一边EF和BC落在AB的同侧。由边EF所处的位置可确定两角的大小。
度
量
法
用刻度尺分别量出线段AB和CD的长度，再进行比较。
用量角器分别量出∠ABC和
∠DEF的度数，再进行比较。

类比线段的中点，学习角的平分线。

线段的中点
B
O
A
C
角平分线

示
意
图
A
M
B

定
义
点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM,点M叫做线段AB的中点.
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.

符

号

AB=2AM=2BM
或
AM=BM=1/2 AB

∠AOB=2∠AOC=2∠BOC或∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB

其实，它们俩在数学思想方法、规律探究、运算技巧等方面关系也十分亲密。下面，就让我们一同探寻其中的联系！
今天我们上一节复习课。课题：《角与线段的“友好链接”》
希望通过这节课的学习，同学们对数学的类比思想有所了解。
二、拓展延伸
第一教学板块：线段与角分类讨论的“链接”
数学模块：已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，线段BC=3cm，求线段AC的长。
学习方式：自主学习模式。学生独立完成，代表展示，陈述理由。
分析与解答：
如图（1）若点C在线段AB上，则AC=AB—BC=8－3=5cm；
如图（2）若点C在线段AB的延长线上，则AC=AB＋BC=8＋3=11cm.

A
C
B
图（1）
A
B
C
图（2）

友好链接：这种分类讨论的思想在角的计算中经常遇到，二者在解决问题的方法上有“异曲同工”之妙！
已知∠AOC=45º，∠BOC=30º，求∠AOB的度数。
分析与解答：
因为问题中没有给出具体的图示，所以要分两种情况讨论：
如图（1），若OC在∠AOB的内部，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=45º+30º
=75º；
如图（2），若OC在∠AOB的外部，则∠AOB=∠AOC—∠BOC=45º—30º=15º.
O
B
C
A
图（1）
O
B
C
A
图(2)

经验小结：通过以上两个问题的对比学习，你总结了什么学习经验？（当问题中图形中的形状、位置不确定时，宜分类探究.）
第二教学板块：线段与角计数规律的“链接”
数学模块： 如图直线L上有点A、B、C、D四个点，则图中共有几条线段？若直线L上有n个点，则图中共有多少条线段？
学习方式：同桌两人合作探究。展示探究成果，陈述理由。
分析与解答：
从点A开始数起，只向一个方向数，则图中的线段个数的情况如下：
A
B
C
D
L
从点A数有3条：AB、AC、AD；
从点B数有2条：BC、BD；
从点A数有1条：CD.
则图中共有：3+2+1=6（条）线段。若直线L上有n个点，则图中线段的条数为：
1＋2＋3＋…＋（n－2）＋(n－1)=1/2 n(n－1).
友好“链接”：线段的计数方法经常在角的计数问题中复制：已知有若干条射线，计算角的个数。
如图射线OA、OB、OC、OD一共组成几个小于平角的角？若图中有n条射线，则一共O
B
C
A
D
可以组成多少个角？
分析与解答：
为了做到数角的个数不重不漏，可从射线OA开始数起，只向一个方向数。
从OA数有3个角：∠AOB、∠AOC、∠AOD；
从OB数有2个角：∠BOC、∠BOD；
从OC数有1个角：∠COD.
则图中共有：3+2+1=6（个）角。若有n条射线，组成的角的个数为：
1＋2＋3＋…＋（n－2）＋(n－1)=1/2 n(n－1).
经验小结：让我们再来总结一下学习经验！（遇到线段或角计数问题时要规定好秩序，向一个方向一个一个数，做到不重不漏！）
第三教学板块：线段与角计算技巧的“链接”
数学模块：如图，已知线段AB=8cm，BC=3cm，点M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长度；若线段BC为任意长度，其他条件不变，则线段MN的长度有无变化？请说明理由。
学习方式：小组交流合作。学生代表展示，陈述理由。
A
B
C
M
N
分析与解答：
由点M、N分别是线段AC、BC的中点，可得MC=1/2AC=1/2（8＋3）=5.5cm，NC=1/2BC=1.5cm;所以线段MN=MC－NC=5.5－1.5=4cm.
若线段BC为任意长度，其他条件不变，则线段MN的长度没有变化。
理由如下：MN=MC－NC=1/2AC－1/2BC=1/2（AC－BC）=1/2AB=4cm.
友好“链接”： 在线段长度的有关计算中，要善于在“变”中寻找“不变”；在角的有关计算问题中也经常这样思考。
N
M
B
C
A
O
如图，∠AOB=90º，∠AOC=30º，ON是∠AOC的角平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的度数；若∠AOC是任意一个锐角，其他条件都不变，则∠MON的度数是否变化？请说明理由。
分析与解答：
由ON是∠AOC的角平分线，OM是∠BOC的平分线，
可得∠NOC=1/2∠AOC=15º；∠MOC=1/2∠BOC
=1/2（∠AOB＋∠AOC）=1/2（90º+30º）=60º.
所以，∠MON=∠MOC－∠NOC=60º－15º=45º.
若∠AOC是任意一个锐角，其他条件都不变，则∠MON的度数不发生变化，理由如下：
∠MON=∠MOC－∠NOC=1/2∠BOC－1/2∠AOC
=1/2（∠BOC－∠AOC）
=1/2∠AOB=45º.
经验小结：让我们第三次总结学习经验！（学会在变中寻找不变关系！）
三、归纳入心
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？
教师寄语：类比是中学数学中一种重要的思想方法.由于线段和角有很多相似之处,所以我们在学习和解决角的问题时,若能充分运用类比思想,就如同找到了学习上的捷径,可使我们的学习轻松而高效.其实， 数学中的许多定理、公式和法则都是通过类比得到的，在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。
最后，让我们在经典语录的阅读中结束本节课的学习！
著名的数学家拉普拉斯说:“在数学里,发现真理的主要工具是归纳和类比。”
古希腊著名数学家波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人”。

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