R%5E%28N%29中一类带Hardy-Sobolev临界指数项的Kirchhoff型问题的正解.pdf

数学年刊A辑2023,44(3):323-334DOI:10.16205/ki.cama.2023.0023RN 中一类带 Hardy-Sobolev 临界指数项的Kirchhoff 型问题的正解段誉1孙歆1廖家锋提要研究如下一类带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型问题：u|2*(s)-2 ua+b(/Vulda)Au=(u E D1,2(RN),其中N3,a,入0,b,0，0 0 时，利用变分方法获得该问题正解的存在性.特别地，当m 0,uE D1,2(RN),其中 a,入0,b,m0,0s2,N3,函数 hE L-(R)为非零非负函数 2*(s)=D12(R)=ue L2(R):Je/Vul2da 0,u E D1,2(RN).本文2 0 2 1年2 月2 3日收到，2 0 2 3年5 月4日收到修改稿.1贵州工程应用技术学院理学院，贵州毕节5 5 17 0 0.E-mail：d u a n y u 36 12 16 3.c o m；s u n x i n w a n 16 3.c o m2通信作者.西华师范大学公共数学学院，四川南充6 37 0 0 2.E-mail:*本文受到国家自然科学基金（No.11661021）和毕节市科学技术项目（No.202328，No.2 0 2 3 5 2）的资助IVul2dc)|u=u|2*-2 u+入h(a),IR,ERN,(1.2)324当m=1时,文1 研究了问题(1.2).当入=0 时,利用分析技巧,获得了问题(1.2)正解的存在性与非存在性结果；当入 0 充分小时，利用变分方法，获得了两个正解的存在性.随后,文2 将文1 中入=0 的情况推广到一般的m0,并获得了无穷多个正解的存在性结果当m=2,N=3时文3 利用变分法获得了问题(1.2 两个正解的存在性.当m=1时，文4-5 分别在三维全空间和四维全空间中研究了带凹凸非线性项临界Kirchhoff 型问题；文6 中讨论了带超线性项和临界指数的Kirchhoff型问题.文7 将文1 推广至p-Kirchhoff 型问题.当m=1,N=3,0,入=0 时,文8 中给出了问题(1.1)解的存在性与非存在性结果，详见该文中的定理2.4.结合文1,9 ，本文将文8 中的定理2.4推广至更一般的问题(1.1).问题（1.1)对应的能量泛函I为：6I(u)2m+2h(a)udc,Vu E D1,2(RN)./RN显然,I E Ci(D1,2(RN),R)且对任意的 u,E D1,2(RN),有(I(u),u)=(a+bll/2m)众所周知，问题（1.1）的解与能量泛函I在空间D1,2(RN）上的临界点是一一对应的.记A。为最佳Sobolev常数，即As:=uED1,2(RN)(0)数学年刊A辑2m+22*(s)/RN(u+)2*(s)-1.(Vu,Vv)dc-/RNinf44卷u+(sdcvdc-h(c)udac.JRNJRNJr/Vul?deRNLul2*(s)d2(1.3)82主要结果及其证明当=1,b=0,入=0 时，问题（1.1)退化到如下经典的半线性椭圆方程：Ju/2(s)-2 u-u=由文 10-11 知,Ue(2)=9(N=0)(N-2)12+:-y/2-s是问题(2.1)的正解.特别地,取=1,y=0,由文11 有I U1,ll2=da=AJRN首先，给出本文的第一个结果，定理 2.1 假设0,b,m0,入=0.(1)当=0 时,若m=二%,对任意的n0,当且仅当b=A解 Ue,u,n=n老=%Uev;当 m =%时,问题(1.1)有正解 Ueu.n=6bA_%m(N-s)1 2-,m(-2 Ue,:N-2aERV2-2U?*(s)1,0(2.1)VeER+,VyERN(2.2)(2.3)时,问题(1.1)有正3期段誉孙歆廖家锋RN中一类带Hardy-Sobolev 临界指数项的Kirchhoff 型问题的正解(2)当0时,若m=，当且仅当 0 b一1AUe,y;N-2Ue,n=2325时，问题(1.1)有正解a(i)若 0 m=N-2正解 Ue,y,n=noUe,92(2-(i)若m且1.m(N-2)-2+s m(N-2)若 且1 m(N-2)-2+s m(N-2)2-Ue,9;N-2(i)若m且m(N-2)-2+sm(N-2)N-2-Ue,和 Ue,y,n=n20 n1 0,令Ue,u,n=mUe,y,其中 Ue为(2.2)式所定义.从而有-AUe,u.n=-n2-AUe.,2-sm(N-S)m(N=2)-2+sbm(N-2)A。2-82-8m(N=)-2+。,存在两个常数2-8使得问题(1.1)有即-nU e,u.n根据(2.3)式，可计算得m(N-s)/VUe.u.m/da)m(N-2)a+b=(+bnRN因此，当入=0 时，求问题（1.1)的解就转化为求如下关于n方程的正解：下面，根据参量，我们分两种情况来讨论.(1)当=0时，(2.4)式可以转化为如下方程：n=bA.2一若 9-2 =1 时,即m=%吕。容易计算得当且仅当 b=2-S(对一切 n0).因此,当且仅当 b=-1时,方程A.6(Vulda)u=u/2(s)-2 uu E D1,2(IRN),有正解 Ue,u,n=n2-%Ue,.N-2若 时,容易计算得 n=6A_m(N-)2-8-m(N-2)m(N-s)Ue,u,n=6A,22-。m(N-2 JU e,为方程(2.5)的正解.N-22-8m(N-2)I Ue,l/2m)=a+bAm2-8m(N-s)m(N-2)n=a+bA,2-8n2-8m(N-)m(N-2)2-8S2-S2-8时方程(2.4)有正解A.aERN,为方程(2.4)的正解因此,(2.4)(2.5)326(2)当 0时,记方程(2.4)等价于 h(n)=0.若 g=1时,即m=。容易计算得当且仅当 0 b一时,h(m)=0 有2-S正解,此时正解为 =u E D1,2(IRN),22Ue,yN-2有正解 Ue,9,n=aN1-bA.N若 (X=2 1 时,即 m%=通过计算得 h(m)=1-bA2-8从而为 h(m)=0 的唯一解.当 0 m,因此,存在 no 刃,使得 Ue,u,n=nn-Ue.u为方程(2.6)的正解。当时，而为函数h(m）的最大值点，极大值为2-82-8mg(m)=h(m)=m(N-2)-2 gm(N-2)-2+sm(N-2)n0故若 maxh(n)0 h(n)=0,则方程 h(n)=0 有唯一n0正解 n=而;若 maxn0 h(n)0,方程 h(n)=0 有两个正解 n1,n2 且 0 n1刃 n2.因此，当maxh(n)0Ue,9N-N-2而Ue,y;当 max h(n)0 时,存在两个常数 0 n1而0m2-Ue 为方程(2.6)的正解.N-2和 Ue,y,n=n2注2.1一方面，定理2.1补充完善了文8 中定理2.4的结果；另一方面，定理2.1推广了文1 中定理1.1和定理1.2 的结果.接下来，我们研究入 0 的情况，获得如下结果。定理2.2 假设 0,b,入 0,hL(R)为非零非负函数.(1)当m0时,则存在一个0,使得对任意的0 入*，问题(1.1)存在一个正的局部极小解*且I(u*）0.(2)当0 0(A),使得对任意的0 入0.注2.2 一方面,定理2.2 补充完善了文3 中的结果;另一方面,定理2.2 推广了文1中的定理1.3和定理1.4的结果数学年刊A辑m(N-)m(N-2)h(n)=n-bAs2-8S大因此,当且仅当0 b044卷-a,A时,方程Au/2(e)-2 uu=2-8m(N=2)-2+sm(N-s)aERNm(N-s)m(N-2)2-8m(N-2)-2+s2-s2-8a.(2.6)3期段誉孙歆廖家锋RN中一类带Hardy-Sobolev临界指数项的 Kirchhoff 型问题的正解在给出定理的证明之前，我们先给出一些重要的预备知识.命题 2.1（1)假设0,b.0，0，h L(R）为非零非负函数,则存在 R,P,A*0,使得对任意的0 入 0,hL(R)为非零非负函数,则存在一个 0,使得对任意的0 入*，问题（1.1)存在一个正解*且I(u*）0.证（1）根据Holder不等式以及（1.3)式，可以推得h(a)udau/2-/l l/Ag ll.JRN进一步,可推得6I(u)=2m+262m+62m+12m+对任意的 t 0,令 g(t)=2m+2t26t2m+1b(2m+1)t2m-2*(s)-12m+22*（St2(s)-2.令 g(t)=0,当 0 m%时,有2 m0,使得对任意的0 入*，有I(u)lueSRp,其中 SR=uED1,2(RN)：Il u l l=R 为中心在原点半径为R的球面.(2)由于 h L(R）为非零非负函数，我们可以断言：存在 uoEC(R),使得hz一-2 0 l20,使得当0 入 时,有2m=.inf,I(u)0,uEBR其中 BR=uED1,2(RN)：l l u l l R)为中心在原点半径为 R的球,SR为对应的球面.下面，将证明存在一个u*EBR，使得I(u*）=m，即，U*是问题（1.1)的非零解由(2.12)式，存在一个极小化序列【unCBR，使得显然，（un)在 D1,2(RN）中是有界的.由于 BR 是一个闭凸集，从而存在一个 uE BRCD1,2(RN）和（un)一个子列（仍记为（un),使得当 no 时,有在 Lioc(RN)(1q2*)中,(un(c)u*(c)，几乎处处在 RN中.根据控制收敛定理，可得limn-8JRN令 wn=un一u*，根据 Brzis-Lieb 引理(见12 ),有Il u/2=I/l/2+Il /2+(1),(ut)d.c/RNJRN若u=0,显然有wmEBR.假设*0，根据（2.15）式，对充分大的n有wnEBR由(2.11)式,可得(2.18)2m+2*数学年刊A辑h(auoda2RNI(tuo)limt0+6/ul/2m+22m+26u2m+2n 一 u*,un U*,(wt)2(s)da+JRN62m+244卷22*2h()uod.ct/RN12*(s)/RN2m+212*(s)/RNlim I(un)=m 0,VuEBR,(u+)2*(s)dcp,VuESR,，(2.16)(2.17)20.(2.10)(2.11)(2.12)(2.13)(2.14)(2.15)3期段誉孙歆廖家锋RN中一类带Hardy-Sobolev临界指数项的 Kirchhof 型问题的正解因此，由(2.14)-(2.18)式,可以推得6m=lim.n-802a I(u*)+0(1)m+o(1),这就意味着 I(u*)=0 在 RN中几乎处处成立.因此，对任意的0 入*，问题（1.1)存在一个正的局部极小解u*且I(u*)0.下面，证明当0 m0,令m(N-s)亚(r)=+bA,2-8m2mr2(c)-2.由文9 的引理2.1,容易得到如下结论.命题 2.2 假设a,b0,0 0,0 m，h L(R）为非零非负函数，则对任意的c,泛函I在D1,2(RN）上满足局部(PS)。条件,其中2(m+1)(2-s)2(N-s)r(N+2-2s)/hl,2m+12*D:2m+2ro 为命题 2.2 中所定义证设【un)C D1,2(RN）为能量泛函I的（PS)。序列,即当n 时,有3291(ut)2*(s)2m+2da-2m+2262m+22m+262m+2RN22(N-s)AI(un)c,I(un)0.h()unda2*SRN1(u+)2*(s)d2*RN(t)1m+2(u+)2*(s)-1JRNh(a)u=0,/RNb2-s-m(N-2)2(m+1)(N-s)2m+22*2m+1L62-s-m(N-2),/RNh()uxdaRN-d.a+o(1)RNpda-/RN(N-0)(m+1)As2-8N-sh()p=0.2m+2，12m+1(2.19)330由（1.3)式和Holder不等式，当n充分大时，可得1+c+lunll I(un)a2*2 2*(s)入2*CS数学年刊A辑1,un2*b2*(s)-2m-2.2*(s)(m+1)44卷m+22h(a)unda/RNb2*(s)-2m-22:2*(s)2 2*(s)(m+1)入2*(hl,lunll,2*(s),A这就意味着（un在 D1,2(IRN）中有界.故存在uE D1,2(RN),使得在【un子列的意义下使得命题2.1中(2.13)-(2.17)式都成立，这里只需将u*换成u即可.由(2.13)-(2.17)式和(2.19)式,可得(w)2*(s)nda/RN2(m+1)1(u+2*(s)dR2*a622(m+1)1(wt)2*(s)-da+o(1),2*(s/RNall l/2+b(ll l/2+Il w 112/l/2 根据(2.2 0)式和(2.2 2)式，可以推得all/2+(l/2+/l/1)/nll 不妨假设_limllwmll=l,则I0.若l=0,则命题得证.若1 0,结合（1.3)式,有n-2+2(u+)2*(s)dcJRNh(ac)uda=o(1),JRN61/RN/RNal?2+b12m+2 al?+b(lll2+12)m/?A,(2.20)+l/wm/2)m+1(w)2*(s)dc-S(wt)2*(s)da=o(1)./RN4,2(8),2*(s)h(ac)ud+o(1)JRNh(ac)udc=o(1).RN(2.21)(2.22)(2.23)即a+bA,2-1)2m A.根据命题 2.2 可知,A,1 ro,即m(N-s)N-A,22-12(s)-2 0.A.-ro.N(2.24)3期段誉孙歆廖家锋RN中一类带Hardy-Sobolev临界指数项的 Kirchhof 型问题的正解一方面，根据(2.2 2)式,可得6I(u)n+22 2*(入22*(s)b2*(s)-2m-222m+2-12:2*(s)(m+1)2*(s)A62*2(m+1)-D2m+1其中最后一个不等式是由Young不等式所得,2m+1(N+2-2s)/hil_2*2*D=-12(N-8)42m+2为正常数.另一方面，根据(2.2 1)，(2.2 3)-(2.2 4)式，可得I(u)=c-1a2S2:2*(s)6(+）a2*S2:2*(s)(2-s)2(N-s)62+12)l l u l 22*S2(m+1)0，0 m2*(s)hE L2(R)为非零非负函数,则对任意的 c,2(m+1),泛函I在D1,2(RN)上满足局部(PS)。条件,其中 =2(-)b2-%-m A-(等,N(m+1)(N-s)2(m+1)(N-s)义.命题 2.4 若,b,入 0,0 0,使得对任意的0 入*，有其中U1,o由(2.2)式所定义,和D由命题2.3所定义.证对任意的t0,定义，重分别为d(t)I(tU1,0)bt2m+2at2U1,2入t/RNat2U2根据(2.3)式,有N(t)a224S-3(t)=tA.-(a+bA。一St2m数学年刊A辑2(m+1)sup I(tU1,o)m+)t0U12m+2lh(c)U1,odac,bt2m+22m+26(N-s)(m+1)一S44卷2*(s),02m+22*（SIRN+2*(s)n+22*t2m+2A2m+2Sm(N-)dc:/s2*（s），0d.RNN-342S2*S由命题 2.2 可知,(ro)=0 且0 x()=(0)=2%)2二a(2-s)ASt0这里利用了(ro）=0 消掉了重中的临界项.选取入 0,使得D案2m+10.从而,存在tE(0,ro),使得对任意的入E(0,入*),都有2(m+1)max(t)max(t)0-D),m+0-D)2m+10tt0t D mt12(m+1)t/RN故对任意的 入(0,A*),都有 sup I(tU1,0)sup(t)-Jrh(a)U1,oda2(m+1)tttt因此,对任意的入E（0,),都有supI(tU1,o)0注2.4根据注2.3,若=0,将命题2.4中的换为2-s-m(N-2)-N-2)A2-8-m(N-2)2(m+1)(N-s)b2-s-m(N-2)2(m+1)(N-s)N-82(N-s)(m+1)2-8As2(m+1)2(m+1)(m+1)(N-s).2m+2=0,To结论仍然成立.最后，给出定理2.2 的证明.定理2.2 的证明根据命题2.1,只需证明：当0%二%时，问题（1.1)还存在一个正解.令=min*,*，*.由命题2.1,容易得知：对任意的0 入0,I(un)0,参考文献3期段誉孙歆廖家锋RN中一类带Hardy-Sobolev临界指数项的Kirchhoff型问题的正解333函I在D1,2(RN）上具有山路几何结构.由于2 m+20,使得 I(toU1,o)0.定义对任意的0 入 0 且I(u*）=0.即u*是问题（1.1)的非零解类似于命题2.1n-中所得的正解u*可证得，*是问题（1.1)的正解.致谢感谢审稿专家对本文提出的宝贵意见.1 Liu J,Liao J F,Tang C L.Positive solutions for Kirchhoff-type equations with criticalexponent in RN J.J Math Anal Appl,2015,429:1153-1172.2】丁凌，汪继秀，肖氏武.全空间上具有临界指数的Kirchhoff 类方程无穷多个正解的存在性J.南昌大学学报（自然科学版),2 0 17,41(5):414-417.3丁凌，汪继秀，张丹丹.全空间上具有临界指数的Kirchhoff类方程两个正解的存在性.四川大学学报（自然科学版),2 0 18,5 5(3):45 7-46 1.4 刘选状,吴行平.两类带有临界指数的 Kirchhoff 型方程的解的存在性和多重性D.重庆：西南大学,2 0 15.5朱同亮,吴行平.两类带有临界指数的Kirchhoff 型方程的解的存在性和多重性D.重庆：西南大学,2 0 16.6 Lei C Y,Suo H M,Chu C M,et al.On ground state solutions for a Kirchhoff typeequation with critical growth J.Comput Math Appl,2016,72(3):729-740.7 Ke X F,Liu J,Liao J F.Positive solutions for a critical p-Laplacian problem with aKirchhoff term J.Comput Math Appl,2019,77(9):729-740.8 Guo Z J,Zhang X G.Schrodinger-Kirchhoff equation involving double critical nonlin-earities J.J Math Anal Appl,2019,471(1-2):358-377.9 Zeng L,Tang C L.Existence of a positive ground state solution for a Kirchhoff typeproblem involving a critical exponent JJ.Ann Polon Math,2016,117(1):163-180.1o Ghoussoub N,Yuan C.Multiple solutions for quasilinear PDEs involving the criticalSobolev and Hardy exponents J.Trans Amer Math Soc,2000,352(12):5703-5743.11 Kang D S,Peng S J.Existence of solutions for elliptic problems with critical Sobolev-Hardy exponents J.Israel J Mathematics,2004,143:281-297.12 Brezis H,Lieb E.A relation between pointwise convergence of functions and convergenceof functionals J.Proc Amer Math Soc,1983,88:486-490.3341College of Science,Guizhou University of Engineering Science,Bijie 551700,Guizhou,China.E-mail:;2Corresponding author.College of Mathematics Education,China West NormalUniversity,Nanchong 637002,Sichuan,China.E-mail:Abstract In this article,the following class of Kirchhoff-type problems with Hardy-Sobolevcritical exponent is consideredwhere N 3,a,入 0,b,m 0,0 s 0,by using the variational method,the existence of positive solutions is obtained.Particularly,when 0 m 二,at least two positive solutions are otained.Keywords Hardy-Sobolev critical exponent,Kirchhoff-Type problem,Posi-2000 MR Subject Classification 35B09,35J15,35J20The English translation of this paper will be published inChinese Journal of Contemporary Mathematics,Vol.44 No.3,2023by ALLERTON PRESS,INC.,USA数学年刊A辑Positive Solutions to a Class of Kirchhoff-TypeProblems with Hardy-SobolevCritical Exponent in RNDUAN Yul SUN Xinl LIAO Jiafeng?/Vul2dau E D1,2(RN),tive solution,Variational method44卷u|2(s)-2 uu+入h(a),E RN,