q-Ramanujan渐近公式及q-Ramanujan R-函数.pdf

Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1659-1666http:/q-Ramanujan 渐近公式及 q-Ramanujan R-函数1鲍琪2 王淼坤*2,3褚玉明（1华东师范大学数学科学学院上海2 0 110 0；2 湖州师范学院理学院洋3杭州师范大学数学学院杭州31112 1)摘要：该文将Gauss超几何函数2 Fi的Ramanujan渐近公式及其相关的RamanujanR-函数推广到了基本超几何级数2 1的情形.一方面，给出了2 1的q-Ramanujan渐近公式并定义了q-Ramanujan R-函数；另一方面，着重研究了q-Ramanujan R-函数，证明了包括级数展开式,完全单调性和参数q的单调性在内的一些分析性质作为应用，推导得到q-Ramanujan R-函数的几个渐近不等式。关键词：q-Ramanujan渐近公式；q-Ramanujan R-函数；q-模拟.MR(2020）主题分类：33D05;33D155中图分类号：0 17 4.6文章编号：10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-16 59-0 81背景介绍在本文中，规定0 q0,记I(a)=J t a-1e-t d t 为 Gamma 函数,其对数导数(a)=I(a)/r(a)为 Psi 函数.对任给a,b,cEC且c0,-1,-2,，G a u s s 超几何函数定义为1,a1,Cn=0(c,n)n!其中(a,n)为移位阶乘函数：当 0时,(a,0)=1;当 n N时,(a,n)=a(a+1)(a+2).(n 1)=T(n)/T(a)众所周知,Gauss 超几何级数在拟共形映照理论，解析函数论，模方程理论等数学分支及其物理学、工程学等其它学科都具有重要的应用，众多特殊函数和初等函数都是它的特殊情形和极限情况（参见文献2-5)特别地，当c=+b时，称2Fi(a,b;c;a）为零平衡超几何函数.Ramanujan 给出了零平衡超几何函数当1时的渐近公式,即 Ramanujan渐近公式.I(a)r(b)2F1T(a+6)fientia浙江湖州3130 0 0;文献标识码：Aa,b(a,n)(b,n)2F1a,6;6+log(1-)=R(a,b)+O(1-)log(1-),(1.1)其中R(c,y)=-2-b(a)-b(y),a,y E(0,o0)收稿日期：2 0 2 2-0 7-0 1；修订日期：2 0 2 3-0 3-17E-mail:基金项目：国家自然科学基金(117 0 117 6，1190 10 6 1)Supported by the NSFC(11701176,11901061)*通讯作者(1.2)1660为 Ramanujan R-函数或 Ramanujan 常数3,6,=_lim78 1/k log n)=0.5772156649.k=-1为 Euler-Mascheroni 常数.当 y=1-(0 0,Rey 0,(q;q)I,()(1-q)-=(1-q)-II(qm;q)0n=o-qn+8ba(c)=log(1-Q)+log q Zn=11-qm特别地，当q1时，。和分别退化为经典的和函数.此外，(）满足如下高阶导数公式11(1.6)k=1设 ai=1,bj=1为两个复数列，且对所有的j=1,2,，s 有 b;q-，则关于变量的基本超几何级数定义为10,12 a1,a2,*.ar;q,之b1,b2,.:,bs其中(a1,a2,.,a;)n=(a1;q)n(a2;Q).(a;q)nm引理 1.12 对-b0,21满足如下渐近公式(1og)L,(a)r,(b)(1-q)Ta(a+b)(-log g)un+1 X=L,(q,db)+2n=01-qn+1其中La(q,db)=2ba(1)-ba(a)-ba(b).证设 a,b,c,d,eE R,且满足abc=de,lcl0,当y=c-(00;0.(3.1)1-qqlog!qc-1og!%+2ba(1)-20ba(1-q?1-qc-28(1+)2(2n)!n=1证令fi(c)=(1)a(cc),f2(c)=a(1)a(a1),利用 的递推公式(参见文献14(1.10)式)化简得 fi(a)+f2(n)=Ra(z,-2)+2易知()(a)=T1(-1)n+1(2)，故(0)=(-1)n+1(e)且ji(a)具有如下麦克劳林级数n！n=1(1+)2C2n21-q(3.2)n！!n=1No.6同理 f)(0)=-n)(1),f2(a)有如下麦克劳林级数nn！n=1结合(3.2)和(3.3)式得Ra(c,c-a)+定理中的第一个等式得证。另一方面，(3.1)式表明Ra(c,c-a)-=22g(1)-=2ba(1)-a(a+1)-ba(1+c-)=fs(a).计算得 ()=-(+1)+(-1)n+1)(1+c-z),于是()=(-1)+1 1)4(/(1+)故 fs()在=c/2处有 Taylor 级数+2(n)()fs(ac)=f332n！n=1=2ba(1)-2g(1+22=2ba(1)-2a(2n)!2n=1定理中的第二个等式得证.在定理3.2 中令=1,便得Ra(）的级数展开式.定理3.3对任意E(0,1/2),Rg()有如下级数展开式qlog!Ra():1-qn=1gl-log4+20(1)-20aqlog!1-q1-q1-2根据定理3.3,便得推论3.1记g=2bg(1)=2ba(1/2)，下列结论成立(1)函数 rn(a)=R(a)+是(0,1/2)上的绝对单调函数.作为结论,r1(a)从(0,/2)上递增且向下凸.特别地，对任意的E(0,1/2)和qE(0,1)，成立不等式qlog%Ra(a)2(1-q鲍琪等：q-Ramanujan 渐近公式及q-Ramanujan R-函数f2(a)=-Z1-qlogqqlog1-qCn2(-1+1-1g)n！n=18(2n）(-1)+1bg(1),Xn！1-q16638(3.3)(-1)nbagn)(c)+ban!n=1qc-alog q1-qc-222Vqlogq)_qlog!q+1一1Vq-1-q(1)log q1-qc-2nC2(2n）X(2n)!n=12(3.4)2n(3.5)(3.6)16642)数 r()=R()+(0/2 到(a+4 4)上述减且向下凸.特别地，对任意的E(0,i/2)和qE(0,1),成立不等式数学物理学报qVol.43 A1-Vq,1-(3.9)1-VQ1-qVqlog!qlog!221aq+21-VQ1-q1-q1-q1-q1-:证(1)由(3.4)式得80=-2ri()n=1(2n)!(1.6)式表明对任意 n E N,有8(2n)(1)=(log g)2n+1)k=11-qk将上式代入（3.8)式，不难发现，r1(）是（0,1/2)上的绝对单调函数，故r1(c）在（0,1/2)上递增且向下凸，根据(3.8)式，易知r(0)=0:由Ra(）的定义得r1(1/2)=g+%：不等式(3.6)显然成立.(2)由(3.5)式得同理，(1.6)式表明：对任意nEN有32容易证明，对任意给定的nN，函数(-1/2)2n在(0,1/2)上递减且向下凸：将上式代入(3.9）式，可以看出，r2(a)）在(0,1/2)上递减且向下凸。因为r2(a)=1(a)+1%2，所以qlog!qlogql-a log!十(2n1）3(2mr2(ac)=2ba(1)-22a2,(2n)logQ)2n+1k=11-qk(3.7)2n(3.8)0.1-Vq2n(2n)!2n=180时，limqhlogq=0,结合（1.5)式，得_limRa(）=0.依文献15,定理1,q0+ba(a)=-log(1-)+log aZn=0-qn+1-将其代入(2.8)式得qn+1(1-q*-1)8Ra(a)=log q)(1-qn+1)(1-qnm)+log a)n=(0q0+88qn+1(1-qa-1)9+11ogqn=0(1-qn+1)(1-qn+a)8qn+1(1-q)1-qn+1)(1-qn+1a):n=01-q，No.6设 n E NU(O),E(0,1),令则 Ra(a)=gn(a,a)+gn(q,1-a).下面分 n=0 和 n EN 两种情形证明 gn(q,c)关于n=0Q是严格递增即可.hi(q,1)-hi(q,a),令 h2(a)=1-q+cq logq,h3(c)=q(1-q)2,则 ohi(q,)/0q=h2()/h3(c),h2(0+)=h3(0+)=0,不难验证，函数-在(0,1)上严格递增，根据引理1.1便知h2(a)/hs(a）也在（0,1)上严格递增，故对任意,QE(0,1),成立不等式这就证明了go(q,)关于的单调性。情形 2 当 n EN,对任意E(O,1),令g(n+1/2 10og gn+1Pi(q):qn+1-1则 gn(g,)=(2P(2。一方面,由于函数 q qlog/(-1)从(0,1)到(0.1)上严格递增。n+1于是对任意neN,Pi(a)在(0,1)上严格递增.另一方面，令h4(a)=q(n+1)/2+-1=q(n+1)/2,hs(a)=1-qn+,则 h4(1-)=hs(1-)=0,P2()=h4(g)/hs(a)且(3.10)hg(Q)2(n+a)对 hg 求导得,当 q E(0,1)时,h(a)=(m+1)/on+2a-1)因此h6(g）在（0,1）上严格递增，根据引理1.1，P2(g)在（0,1）上也严格递增.综合上述两个方面，当nEN,对任意(0,1),gn(q,a)关于严格递增.证毕.1推论 3.2 对任意(0,1),函数a(a)在(0,1)上严格递减.证利用定理3.4,g(）可改写成b,(a)=-g(1-)g 2n=01-qn+1n=0由gn(q,ac）关于q的单调性，并结合文献15,定理1 可知：函数a(ac)在(0,1)上严格递减.证毕。1鲍琪等：q-Ramanujan 渐近公式及q-Ramanujan R-函数gn(q,a):n=0hi(q,a)_ 1-q+aqlog qq(1-qa)2h2(a)1oghg(a)2q1-q0Ogo(q,a)_ hi(q,1)hi(q,a)0.(n+1)/2(qa-1,一1P2(q)1-qn+ah4(Q)(n+1)g-n/-a+1/2-(n+2a-1)g-n/2-1/24(n+a)1665gn+1(1-q*-1)log l(1-qn+1)(1-qn+a)一89n+1h(q).8Zgn(q,2),16661 Abramowitz M,Stegun I A.Handbook of Mathematical Functions With Formulas,Graphs and Mathemat-ical Tables.New York:Dover,19652 Anderson G D,Vamanamurthy M K,Vuorinen M.Conformal Invariants,Inequalities,and QuasiconformalMaps.New York:John Wiley&Sons,19973 Anderson G D,Qiu S L,Vamanamurthy M K,Vuorinen M.Generalized elliptic integrals 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R-function;on the other hand,we shall mainly study the q-Ramanujan R-function,andprove some analytical properties of the q-Ramanujan R-function including series expansions,completemonotonicity property and monotonicity property with respect to the parameter q.As applications,several sharp inequalities for the q-Ramanujan R-function will be derived.Key words:q-Ramanujan asymptotic formula;q-Ramanujan constant;q-analogy.MR(2020)Subject Classification:33D05;33D152,3Chu Yuming