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平方差公式
一．教材的分析
1.教材的地位及作用
《平方差公式》是人教版版义务教育教科书《数学》八年级（上）第十四章《整式的乘法与因式分解》第二节的内容。平方差公式是特殊形式的多项式相乘，是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础。同时是第一次运用推理的形式进行恒等变形的第一次训练。本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。
2．教学重难点、关键：
1、重点：平方差公式的探索和应用。
2、难点：理解平方差公式的结构特征，准确运用公式。
3、关键：准确找到a，b。
二．学情分析
学生刚过多项式的乘法，学生在解题时由于思维定势，往往还是用多项式乘法的方法来作这节课的题目，因此在教学中要让学生体验应用平方差公式计算多项式乘法的简便性
三．教法学法建议
通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，
其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2这样得出平方差公式，并且把这类乘法的实质讲清楚
四．教学目标分析
(1)知识与技能目标：
知道什么事平方差公式，了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。
(2)过程与方法目标：
经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式，进而感受数形结合思想。
(3)情感态度目标：
让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能力。

五．教学过程

教学过程
设计意图

回
顾
旧

知

引
出
课
题

自
主
探
究

验
证
猜
想

公
式
分
析

理
解
公
式

例

题

分

析

加

深

理

解

课

堂

小

结
（一） 引入课题
前两节课我们学习了多项式的乘法，现在我们来看看这几道题目，老师和大家同时做，看看谁做的又快又准
计算下列各题：
x+2x-2 (1+3)(1-3)

x+5yx-5y (2y+z-p)(2y+z-p)

师：我与你们的结果一样，但方法一样吗？为什么我会做的这么快呢？
生：
师：老师用的是平方差公式，那么什么是平方差公式呢？大家从这4个题目中去找一找，看看存在什么规律，当你们找到规律时，平方差公式就找到了。
（教师板书课题：平方差公式）
（二）探索新知
师：在寻找规律的时候同学们可以带着这样的问题来探索：
（1）等式左边的两个多项式有什么特点？
（2）等式右边的多项式有什么规律？

（学生个别学习，约3分钟）

师：大家肯定已经有了自己的想法，请把你的想法说给你的小组成员听，一个说一个听，然后调换角色，注意说的一方首先要整理思维，就是要把你要阐述的问题说清楚，最好列出几条，听得一方要仔细听对方阐述，在哪儿阐述的清楚哪儿不清楚，应该如何调整，下面的时间进行交流（2分钟）

师：下面请各组中心发言人把本组的认识与想法与全班同学交流，同时回答老师刚才提出的两个问题。组内同学做补充，其他同学要认真倾听同学的发言，特别要注意人家想到你没想到的地方，然后做出评价。

生：首先等式的左边两个乘积式子中两个式子含有的式子完全一样，只不过中间一个是加号一个是减号。
右边的式子是左边两个数的平方
师：你能用字母来表示吗？
生：a+ba-b=a2-b2
师：回答的真棒，这样我们就把具体的问题抽象成数学问题了，那谁能用语言来叙述一下呢？
生：两个数的和与两个数的差的积等于这两个数的平方差
师：看，平方差公式就这样被你们发现了
（教师板书：a+ba-b=a2-b2
两个数的和与两个数的差的积等于这两个数的平方差）
（大约5分钟）
（三）：公式证明
师：公式我们是发现了，同学们想想我们可以用什么方式证明这个公式呢？
师：我们知道这个公式是两个多项式相乘，那我们就回到多项式乘法来解决，大家用多项式相乘的方法将这个公式打开。（1-2名学生进行演板）

a+ba-b=a2-ab+ab-b2
=a2-b2

师：事实上平方差公式就是多项式乘法a+bp+q中p=a,q=-b的特殊情形。
（大约2分钟）
师：那刚才我们大家运用多项式乘法证明了平方差公式，那么我们能否用图形来证明平方差公式呢？这可是我们从来没有做过的，我们可以大胆的试一试，看看从中你们能发现什么？
生：好
师：我们看到课本107面的思考题。
方法一：用大正方形面积减去小正方形面积，即
a2-b2
方法二：割补法。可以把剩下的部份分割成两个矩形，然后拼成一个矩形来计算。得到新矩形的面积为
a+ba-b
利用面积相等推得平方差公式：
a+ba-b=a2-b2
这也说明了平方差公式是正确的，并且我们还发现了代数问题也可以用几何方法来证明，同学们这一发现太重要了，这就是数形结合思想，你们今天的表现太棒了。
（4分钟）

（四）公式分析
师：同学们刚才说了这么多，现在由我来总结一下。
首先在公式的结构特征上要
左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方
牢牢抓住两数之和与两数之差的积等于两数的平方差
其次通过刚才的例题发现公式中的a，b可以是一个数，是字母，也可以是一个式子，包括多项式和单项式。，只要符合公式的结构特征，就可用此公式来计算。
（大约2分钟）
（五）理解公式
师：现在我们已经知道什么样的运算可以用平方差公式来做了，那么要正确套用平方差公式就必须要知道谁是a，谁是b。
我们先来寻找a,b.

（a+b)(a-b)
a
b
a2-b2
最后结果
（2+y)(2-y)

(2m+3n)(2m-3n)

(-x+1)(x+1)

(1+5b)(1-5b)

生：思考，口答，填充表格，总结规律。
师生反思总结：如何寻找a，b？
两个多项式中a前的符号相同，b前的符号相反。找a，b的关键是找符号相同的项和符号相反的项。谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为准。
（4分钟）

编一编：
师：下面的时间大家采取合作学习的形式，利用平方差公式自编题目，看看哪一组编的又快又多又好
（教师各组巡视，倾听学生发言，将有特点的题用投影展示出来）
（4分钟）
（六）例题讲解
想一想：
判断正误
-a-ba-b=-a2+b2
-a+ba-b =-a2-b2
2x+33-2x=2x2-9
y3+z3y3-z3=y9-z9
x2+y(x-y2)=x3-y3

（3分钟）

练一练：
运用平方差公式计算
5+6x(5-6x) ab+8(ab-8)

-14x-y(-14x+y) m+nm-n+3n2

(独立练习，并有学生演板)
（8分钟）

（七）：巩固练习
想一想：
思维拓展
-3a+2b( )括号中填入什么样的式子才能使用平方差公式计算。
2.用平方差公式计算
103*97 118*122

（8分钟）
八：比一比
大家对平方差公式都有了一定的了解，我们知道公式的可以简化我们的运算，那我们就来比一比谁利用平方差公式算的最快最准。
（一系列的例题）

（八）课堂小结
议一议，说一说
师：我们这节课学习了平方差公式，同学们先自己想想本节课你有什么收获，然后与同桌交流，再把你的想法说出来，让全班同学来分享。
师：1. 什么是平方差公式？
2. 我们是从什么地方发现的平方差公式？
3.我们用了什么方法证明平方差公式？
4.运用公式要注意什么？
(1)要符合公式特征才能运用平方差公式；
 (2)有些式子表面不能应用公式，但实质能应用公式，
要注意变形．
5.公式能帮助我们又好又快的进行运算
（5分钟）
（九）课后作业
提供一组与推导平方差公式有关的计算题，教师利用新办法快速得出结果，引起学生的好奇心，
让学生做一做，猜一猜使学生自己发现平方差公式的规律。初步感知平方差公式的结构特征及其运算结果规律。
分步的好处在于分散难点，循序渐进，更易于学生记忆。

教师的提示，使得学生明确合作学习的任务，有利于教学效果的实施

小组成员用语言将自己理解的平方差公式讲出来，到达外部言语阶段，有助于加深自己对平方差公式的看法与理解。

通过合作学习，同学之间积极配合，有效沟通，期间中心发言人不是小组长，而是代表整组，教师的评价也是针对整个小组的评价

通过各组讨论总结以及教师的完善，师生共同 得到平方差公式，突破教学重点

让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，
用所学知识解决问题，有意识的培养学生的推理能力和语言表达能力，从而真
正理解公式的来源。）

让学生用面积相等来验证平方差公式的准确性，更好地理解
和掌握公式，培养学生多角度思考问题的习惯，教会学生一种计算面积的方法
——割补法，并且使学生既证明平方差公式又渗透数形结合思想。

理解并掌握公式的结构特征，是这节课的重点，也为下一个
环节：平方差公式的准确应用打下基础。因此，应让学生充分思考，体会，发
表自己的看法，达到真正理解的目的。

以填表的形式让学生初步尝试运用公式，分清结构，找准a、b，学会公式的应用，有效地进行难点突破。

自己动手编题，熟悉平方差公式

通过一组例题，逐渐加深题目难度，让学生能够熟练利用公
式计算，从而完善学生认知结构。同时，让学生初步感知换元、整体代换的思
想方法，通过思考解法的多样性，培养学生的创新精神。

通过练习，帮助学生总结解决问题过程中的经验教训，理顺
思路。从而进一步明确平方差公式的结构特征，完善学生的认知结构。

通过拓展练习，提高学生认知水平，进一步深化对平方差公
式的理解，培养学生逆向思维和发散思维能力。

小结是构建和完善学生认知结构的重要环节，先让学生总结
本节课收获，再让学生自己及互相之间进行评价，体现新课标提出的多元化评
价，利于学生养成良好的课堂学习习惯，最后教师对公式的掌握和运用作最后
强调。