中职数学排列组合与二项式.pptx

第二十一章第二十一章 排列排列 组合组合 二项式定理二项式定理知识结构网络图：知识结构网络图：排列与组合排列与组合二项式定理二项式定理基本原理基本原理排列排列组合组合排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式组合数的两个性质组合数的两个性质二项式定理二项式定理二项式系数的性质二项式系数的性质一、分类计数原理（加法原理）：一、分类计数原理（加法原理）：完成一件事情，完成一件事情，有有n n类方式类方式,在第在第1 1类方式中有类方式中有m m1 1种不同的方法种不同的方法,在第在第2 2类方式中有类方式中有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n n类方式中有类方式中有m mn n种不同的方法。种不同的方法。那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn n种不同的方法种不同的方法.要点：要点：（1 1）分类；）分类；（2 2）相互独立；）相互独立；（3 3）N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn n（各类方法之和）（各类方法之和）复习复习第十一章概率与统计初步第十一章概率与统计初步分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步骤个步骤，做第做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，种不同的方法，做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有N N=m m1 1m m2 2m mn n种不同的种不同的方法方法.要点：要点：（1 1）分步；）分步；（2 2）每步缺一不可，依次完成；）每步缺一不可，依次完成；（3 3）N=m1m2mn（各步方法之积）（各步方法之积）总结出两个原理的联系、区别：总结出两个原理的联系、区别：分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理联系联系区别区别1 1区别区别2 2完成一件事，共有完成一件事，共有n n类类办法，关键词办法，关键词“分类分类”完成一件事，共分完成一件事，共分n n个个步骤，关键词步骤，关键词“分步分步”每类办法相互独立，每类办法相互独立，每类方法都能独立地每类方法都能独立地完成这件事情完成这件事情各步骤中的方法相互依各步骤中的方法相互依存，存，只有各个步骤都完只有各个步骤都完成才算完成这件事成才算完成这件事都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题二、排列的概念：二、排列的概念：从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(mn)个元素（这里的被个元素（这里的被取元素各不相同）取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列.说明：说明：（1）排列的定义包括两个方面：）排列的定义包括两个方面：取出元素，取出元素，按一定的顺序排列按一定的顺序排列；（2）两个）两个排列相同排列相同的条件：的条件：元素完全相同，元素完全相同，元素的排列顺序也相同；元素的排列顺序也相同；（3）当）当m=n时，称为时，称为n个元素的个元素的全排列全排列.排列数的定义：排列数的定义：从从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(mn)m(mn)个元素的个元素的所有排列的个数叫做从所有排列的个数叫做从n n个元素中取出个元素中取出m m元素元素的的排列数排列数.用符号表示用符号表示:区别排列和排列数的不同：区别排列和排列数的不同：“一个排列一个排列”是指：从是指：从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数排列数”是指从是指从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数，是一个数，）个元素的所有排列的个数，是一个数，所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列.排列数公式排列数公式 从从n个元素个元素a1,a2,a3,an中任取中任取m个元素填空，一个元素填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数由分步因此，所有不同的填法的种数就是排列数由分步计数原理完成上述填空共有计数原理完成上述填空共有 种填法种填法.说明：说明：（1）公式特征：第一个因数是）公式特征：第一个因数是n，后面每，后面每一个因数比它前面一个少一个因数比它前面一个少1，最后一个因数，最后一个因数是是n-m+1，共有，共有m个因数；个因数；（2）全排列：当）全排列：当m=n时时,即即n个不同元素个不同元素全部取出的一个排列全部取出的一个排列.全排列数：全排列数：排列数公式阶乘表示：排列数公式阶乘表示：一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn)个元素并成一组，叫做从个元素并成一组，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的个元素的一个组合一个组合.说明：说明：不同元素；不同元素；“只取不排只取不排”无序性；无序性；相同组合相同组合：元素相同：元素相同 三、组合的概念：三、组合的概念：组合数的概念：组合数的概念：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个个元素的所有组合的个数，叫做从元素的所有组合的个数，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数用符号表示用符号表示:组合数公式组合数公式:一般地，求从一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数 可以分如下两步：可以分如下两步：先求从先求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的组合数素的组合数 ；求每一个组合中求每一个组合中m个元素全排列数，个元素全排列数，根据分步计数原理得：根据分步计数原理得：组合数性质组合数性质1：组合数性质组合数性质2：排列和组合的区别和联系：排列和组合的区别和联系：名名 称称排排 列列组组 合合定义定义符号符号公式公式关系关系性质性质 ，从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组全排列全排列：n个不同元素全部取出的一个排列个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式全排列数公式：所：所有全排列的个数，即：有全排列的个数，即：（a+ba+b）n n=将将(a+b)n展开展开五、二项式定理：五、二项式定理：计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?早在我国南宋数学家早在我国南宋数学家杨辉杨辉12611261年所著的年所著的详解详解九章算法九章算法二项式系数表二项式系数表.在书中说明了在书中说明了表里表里“一一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个；指出这个方法出于方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家算书，且我国北宋数学家贾宪贾宪（约（约公元公元1111世纪）已经用过它世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不这表明我国发现这个表不晚于晚于1111世纪世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕帕斯卡（斯卡（1623-16621623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早早五百年左右五百年左右.九九章章算算术术杨杨辉辉详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表本积本积平方平方立方立方三乘三乘四乘四乘五乘五乘商实商实通项公式通项公式叫做二项式系数叫做二项式系数二项式定理：二项式定理：1.系数规律：系数规律：2.指数规律：指数规律：各项的次数均为各项的次数均为n；其中每一项中其中每一项中a的次数由的次数由n降到降到0,b次数由次数由0升到升到n.3.项数规律：项数规律：二项和的二项和的n次幂的展开式共有次幂的展开式共有n+1个项个项.二项式定理的特点二项式定理的特点4.注意区别注意区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念项的系数项的系数为：为：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积,即即 字母的系数字母的系数.二项式系数二项式系数为为特别地特别地:2、令、令a=1，b=x1、把、把b用用-b代替代替 (a-b)n=Cnan-Cnan-1b+(-1)mCnan-mbm +(-1)nCnbn01mn3、令、令a=1，b=1证明在证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：赋值法赋值法证明：证明：(奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和式系数和)：归纳提高归纳提高 求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值赋值法赋值法相关练习题相关练习题若(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 求 a0+a2+a4+a6的值 求 a1+a3+a5+a7的值 练习1、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7的值 练习2、若(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7 求 a0+a2+a4+a6的值 注：注：1）注意对二项式定理的灵活应用）注意对二项式定理的灵活应用2）注意区别）注意区别二项式系数二项式系数与与项的系数项的系数的概念的概念二项式系数二项式系数为为 ；项的系数项的系数为：为：二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积解解:解解:第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为 第六项的系数为第六项的系数为 解解:第四项系数为第四项系数为280解：设展开式中的第解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：项为常数项，则：由题意可知，由题意可知，故存在常数项且为第故存在常数项且为第7项，项，常数项常数项常数项即常数项即 项项.例例4(1)：试判断在：试判断在 的展开式中有的展开式中有无常数项？如果有，求出此常数项；如果无常数项？如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由没有，说明理由.解：解：的展开式的通项公式为：的展开式的通项公式为：点评：点评：求常数项、有理项等特殊项问题一般由求常数项、有理项等特殊项问题一般由通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思通项公式入手分析，综合性强，考点多且对思维的严密性要求也高维的严密性要求也高.有理项即有理项即整数次幂整数次幂项项 (2)：由：由 展开式所得的展开式所得的x的的多项式中，系数为有理数的共有多少项？多项式中，系数为有理数的共有多少项？练习：练习：1、求、求 的展开式常数项的展开式常数项 解解:2、求、求 的展开式的中间项的展开式的中间项 解解:展开式共有展开式共有10项项,中间两项是第中间两项是第5、6项项单三步单三步思考、1、化简：二项式定理的逆用2 2、若 则 p 被4除所得余数为()A A二项式系数的性质：二项式系数的性质：增减性与最大值增减性与最大值 1)先增后减先增后减.2)n2)n是偶数时，是偶数时，中间的一项（第中间的一项（第 项）的项）的二项式系数二项式系数 取得最大值；取得最大值；当当n n是奇数时，是奇数时，中间的两项（第中间的两项（第 项）项）的二项式系数的二项式系数 和和 相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值.问题:(1)今天是星期五，那么7天后 (4)如果是 天后的这一天呢？的这一天是星期几呢?(2)如果是15天后的这一天呢？（星期六）（星期五）(3)如果是24天后的这一天呢？（星期一）问题探究:余数是1，所以是星期六例1、今天是星期五，那么 天后的这一天是星期几？探 究：例2、若将 除以9，则得到的余数是多少？所以余数是1.思考：若将 除以9，则得到的余数还是1吗？拓展延伸1.如果 是11的倍数，则()A、n为任意整数 B、n为偶数C、n为奇数 D、n为11的倍数5、已知圆上有、已知圆上有12个不同的点，过每两个点作一条直线，个不同的点，过每两个点作一条直线，那么所有这些直线在已知圆内的交点个数为（那么所有这些直线在已知圆内的交点个数为（）B基础练习基础练习