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第二章 2.4 2.4.2
一、选择题
1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析] ∵f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2，－1)、(－1,0)、(1,2)内，故选C.
2．用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] B
[解析] ∵f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(1)·f(2)<0，故选B.
3．(2013～2014学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,1.75) D．(1.75,2)
[答案] B
[解析] 本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0, f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25,1.5)，故选B.
4．(2013～2014学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.2 B．1.3
C．1.4 D．1.5
[答案] C
[解析] ∵f(1.4065)<0, f(1.438)>0，
∴f(1.4065)·f(1.438)<0，
又1.4∈(1.4065,1.438)，故选C.
5．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
－7.82
11.45
－53.76
－128.88
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[答案] B
[解析] 由表可知，f(2)·f(3)<0, f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，由函数零点存在性定理得，函数y＝f(x)在区间(2,3)、(3,4)、(4,5)各应至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选B.
6．下列命题中正确的是( )
A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1
C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数
D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的
[答案] A
[解析] 设函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝－1, f(2)＝－1.又因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，所以抛物线与x轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点，从而方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2，故A正确；
由函数的定义知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为1或0，故B错误；
零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，但不能用来判断函数零点的个数，故C错误；
由于精确度的不同，所得方程的近似解是不一样的，但精确度确定后，所得方程的近似解是惟一的，故D错误．
二、填空题
7．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.
[答案] －2.25
[解析] 区间[1,4]的中点为2.5，f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
8．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.1
15.6
－3.9
10.9
－52.5
－232.1
则f(x)的零点至少有________个．
[答案] 3
[解析] 因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，
∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，
故f(x)的零点至少有3个．
三、解答题
9．求方程x5－x3－3x2＋3＝0的无理根．(精确到0.01)．
[分析] 若令f(x)＝x5－x3－3x2＋3，则f(x)＝(x2－1)(x3－3)，则方程的无理根就是x3－3＝0的根．
[解析] 令f(x)＝x5－x3－3x2＋3，则f(x)＝(x2－1)·(x3－3)．显然方程f(x)＝0有两个有理根，即x1＝1，x2＝－1，则无理根就是方程x3－3＝0的根．令g(x)＝x3－3，以下用二分法求函数g(x)的零点．
由于g(1)＝－2<0，g(2)＝5>0，故可以取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：
端点或中点
横坐标
计算端点或中点
的函数值
定区间
a0＝1，b0＝2
g(1)＝－2，g(2)＝5
[1,2]
x0＝1.5
g(x0)＝0.375
[1,1.5]
x1＝1.25
g(x1)≈－1.046 9
[1.25,1.5]
x2＝1.375
g(x2)≈－0.400 4
[1.375,1.5]
x3＝1.437 5
g(x3)≈－0.029 5
[1.437 5,1.5]
x4＝1.468 75
g(x4)≈0.168 4
[1.437 5,1.468 75]
x5＝1.453 125
g(x5)≈0.068 4
[1.437 5,1.453 125]
x6＝1.445 312 5
g(x6)≈0.019 2
[1.437 5,1.445 312 5]
x7＝1.441 406 25
g(x7)≈－0.005 3
[1.441 406 25,1.445 312 5]
由于区间[1.441 406 25,1.445 312 5]的长度1.445 312 5－1.441 406 25＝0.003 906 25<0.01，因此可取1.44为所求函数的一个零点的近似值，因此原方程的无理根是1.44.
一、选择题
1．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算， f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
[答案] C
[解析] 已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的惟一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是( )
A．(2,4) B．(2,3)
C．(3,4) D．无法确定
[答案] B
[解析] ∵f(2)·f(4)<0, f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
3．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a、b、c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
[答案] A
[解析] ∵f(－3)·f(－1)<0, f(2)·f(4)<0，
故选A.
4．(2013～2014学年度河南开封中学高一月考)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，则横线上应填的内容分别为( )
A．(0.5,1), f(0.75) B．(0,0.5), f(0.125)
C．(0,0.5), f(0.25) D．(0,1), f(0.25)
[答案] C
[解析] ∵f(0)<0，f(0.5)>0，
∴f(0)·f(0.5)<0，又函数f(x)的图象是不间断的，
∴f(x)在(0,0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算f()＝f(0.25)．
由f(0.25)＝－0.234 375<0，
可以判断x0∈(0.25，0.5)．
二、填空题
5．给出以下结论，其中正确结论的序号是________．
①函数图象通过零点时，函数值一定变号；
②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数f(x)在区间[a，b]上连续，若满足f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上一定有实根；
④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．
[答案] ②③
[解析] 零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．
6．设函数f(x)＝，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．
[答案] 3
[解析] 由已知得，
∴f(x)＝，作图象如图所示．
由图象可知f(x)＝x的解的个数为3.
三、解答题
7．求方程x3－x－1＝0在[1,1.5]的一个实根(精确到0.1)．
[解析] 设f(x)＝x3－x－1，
∵f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，
∴方程在[1,1.5]内有实根，用二分法逐次计算，列表如下：
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
左端点
1
1.25
1.25
1.312 5
1.312 5
右端点
1.5
1.5
1.375
1.375
1.343 75
∵1.312 5≈1.3,1.343 75≈1.3，∴方程在区间[1，1.5]的零点精确到0.1的近似值是1.3.
8．(2013～2014学年度湖北荆州中学高一期末测试)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
[解析] (1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0.
由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，
即或，
∴1<a<2，故实数a的取值范围为1<a<2.
(2)若a＝，则f(x)＝x3－x＋，
∴f(－1)＝>0, f(0)＝>0, f(1)＝－<0，
∴函数零点在(0,1)，又f()＝0，
∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.
9．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
[解析] ∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0，
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，
则－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.
在[0,1]内选取二等分点，
则f()＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴f(x)在区间(0，)和(，1)上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
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