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2014届高三调研测试试卷(五)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2014．1
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－)2，其中＝i.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．
1. 已知集合A＝{1，a－1}，B＝{2，3}，且A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
2. 已知复数z满足(1＋i)z＝－1＋5i，则z＝________．
3. 点A(1，2)关于点P(3，4)对称的点的坐标为________．
4. 我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日至30日，评委会把各校上传的文章数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)．已知从左至右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第二组的频数为180.那么本次活动收到的文章数是________．

(第4题图)

(第5题图)
5. 执行上面的流程图，输出的结果s＝________．
6. 在等差数列{an}中，已知a5＋a6＝，则数列{an}的前10项的和S10＝________．
7. 设函数f(x)＝log2x，则在区间(0，5)上随机取一个数x，f(x)<2的概率为________．
8. “a＝1”是“直线ax－y＋2a＝0与直线(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直”的________(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
9. 已知△ABC中，点D、E分别为边AC、AB上的点，且DA＝2CD，EB＝2AE，若＝a，＝b，则a、b为基底表示＝________．
10. 若x∈，且sin2x＝，则f(x)＝sin的值为________．
11. 已知定义在实数集R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x＋2；则不等式f(x)－x2≥0的解集为________．
12. 如果双曲线－＝1的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率为________．
13. 设函数f(x)＝则方程xf(x)－1＝0根的个数为________．
14. 已知x>0，y>0，若不等式x3＋y3≥kxy(x＋y)恒成立，则实数k的最大值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知△ABC的面积为S，且||2＝·＋2S.
(1) 求B的大小；
(2) 若S＝，且|－|＝1，试求△ABC最长边的长度．

(本小题满分14分)
已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5.
(1) 若不等式f(x)>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 若a>1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值．

(本小题满分14分)
过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．
(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？
(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x≥9)元，并投入(x－9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
18. (本小题满分16分)
椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，直线l过F2交椭圆于B、C两点．
(1) 如果直线l的方程为y＝x－1，且△F1BC为直角三角形，求椭圆方程；
(2) 证明：以A为圆心，半径为b的圆上任意一点到F1、F2的距离之比为定值．
19. (本小题满分16分)
已知实数k∈R，且k≠0，e为自然对数的底数，函数f(x)＝，g(x)＝f(x)－x.
(1) 如果函数g(x)在R上为减函数，求k的取值范围；
(2) 如果k∈(0，4]，求证：方程g(x)＝0有且只有一个根x＝x0；且当x>x0时，有x>f(f(x))成立；
(3) 定义：① 对于闭区间[s，t]称差值t－s为区间[s，t]的长度；② 对于函数g(x)，如果对任意x1、x2∈[s，t]D(D为函数g(x)的定义域)，记h＝|g(x2)－g(x1)|，h的最大值称为函数g(x)在区间[s，t]上的“身高”．问：如果k∈(0，4]，函数g(x)在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}的首项a1＝1，且存在常数p、r、t(其中r≠0)，使得an＋an＋1＝r·2n－1与an＋1＝pan－pt对任意正整数n都成立；数列{bn}为等差数列．
(1) 求常数p、r、t，并写出数列{an}的通项公式；
(2) 如果{bn}满足条件：① b1为正整数；② 公差为1；③ 项数为m(m为常数)；④ 2…＝log2am，试求所有满足条件的m值；
(3) 如果数列{an}与数列{bn}没有公共项，数列{an}与{bn}的所有项按从小到大的顺序排列成：1，c2，c3，c4，…，且1，c2，c3，c4成等比数列，试求满足条件的所有数列{bn}的通项公式.

2014届高三调研测试试卷(五)
数学附加题
(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，已知AB是圆O的直径，圆O交BC于点D，过点D作圆O的切线DE交AC于点E，且DE⊥AC.求证：AC＝2OD.

B. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

C. (选修44：坐标系与参数方程)
求经过极坐标为(0，0)，，三点的圆的直角坐标方程．
D. (选修45：不等式选讲)
已知正数a、b、c满足abc＝1，求(a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 已知曲线C：y2＝2x－4.
(1) 求曲线C在点A(3，)处的切线方程；
(2) 过原点O作直线l与曲线C交于A、B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

已知数列{an}满足a1＝，an＋1·(1＋an)＝1.
(1) 试计算a2，a3，a4，a5的值；
(2) 猜想|an＋1－an|与（）(其中n∈N*)的大小关系，并证明你的猜想．

2014届高三调研测试试卷(五)(镇江)
数学参考答案及评分标准
1. 4　2. 2＋3i　3. (5，6)　4. 1 200　5. －20　6. 　7. 　8. 充分不必要
9. －a＋b　10. －　11. [－1，1]　12. 　13. 6　14. 1
15. 解：(1) ∵ ||2＝·＋2S，∴ a2＝ba·cosC＋ab·sinC，(2分)
∴ a＝b·cosC＋b·sinC.由正弦定理得：sinA＝sinBcosC＋sinBsinC，(4分)
在△ABC中，sinA＝sin(B＋C)，sinC≠0，B∈(0，π)，(6分)
(1个或2个不交代扣1分，3个不交代扣2分)
∴ sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinBsinC，
∴ cosBsinC＝sinBsinC，∴ cosB＝sinB，tanB＝1，(8分)
∴ B＝.(9分)
(2) ∵ b＝1，B＝45°，S＝，
∴ ＝ac×sinB.(10分)
由余弦定理得1＝a2＋c2－2ac·，(11分)
解得a＝1，c＝或a＝，c＝1.(13分)
∴ 最长边为.(14分)
16. 解：(1) ∵ x2－2ax＋5>0时x∈(0，＋∞)恒成立，
∴ 2a<x＋对x>0恒成立．(3分)
∵ x>0时，x＋≥2，(5分)
当且仅当x＝，即x＝时，(6分)
＝2.
∴ 2a<2，即a<.(7分)
(2) ∵ f(x)＝x2－2ax＋5图象的对称轴为x＝a(a>1)，
∴ f(x)在[1，a]上为减函数，(8分)
∴ f(x)的值域为[f(a)，f(1)]，(10分)
而已知值域为[1，a]，∴ (12分)
解得∴ a＝2.(14分)
17. 解：(1) 设每只售价为x元，则月销售量为万只，
由已知得(x－6)≥(8－6)×5，(3分)
∴ x2－x＋≤0，即2x2－53x＋296≤0，(4分)
解得8≤x≤，(5分)
即每只售价最多为18.5元．(6分)
(2) 下月的月总利润y＝·(x－6)－(x－9)(9分)
＝－x＋＝－x＋
＝－＋，(10分)
∵ x≥9，∴ ＋≥2＝，(12分)
当且仅当＝，即x＝10，ymin＝14，(13分)
答：当x＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．(14分)
18. 解：(1) ∵ l：y＝x－1　①，过右焦点F2，∴ F2(1，0)，故椭圆左焦点为F1(－1，0)．
即c＝1，(1分)
设椭圆方程为＋＝1　②，
当B或C为直角顶点时，由对称性，不妨设B为直角顶点，
∴ F1B斜率为－1.又过点F1(－1，0)，∴ F1B方程为y＝－x－1　③，
联立①和③，解得点B(0，－1)．(2分)
∵ 点B在椭圆＋＝1上，代入得b＝1，又c＝1，∴ a2＝b2＋c2＝2，
故此时椭圆方程为＋＝1；(4分)
当F1为直角顶点时，
(解法1)设F1B：y＝k(x＋1)，
F1C方程为y＝－(x＋1)，联立y＝－x－1，解得B，(5分)
同理，C坐标为.(6分)
∵ 点B、C在椭圆＋＝1上，∴ (8分)
解得b2＝＋1，此时椭圆方程为＋＝1.(9分)
(解法2)联立①和②，得(2b2＋1)x2－2(b2＋1)x＋1－b4＝0　④，(5分)
设B(x1，x1－1)，C(x2，x2－1)，则x1、x2为方程④的两个根，
∴ x1x2＝　⑤.(6分)
∵ F1B⊥F1C·＝－1，即x1x2＝－1　⑥，(7分)
由⑤⑥得＝－1，b4－2b2－2＝0，b2＝＋1，(8分)
此时椭圆方程为＋＝1.(9分)
综上，所求椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1.(10分)
(2) 证明：∵ 右顶点A(a，0)，∴ A为圆心，半径为b的圆为(x－a)2＋y2＝b2，(11分)
该圆上的任一点可设为P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.
∴ ＝＝(12分)
＝＝(14分)
＝为定值，(15分)
∴ 为定值．(16分)
19. 解：(1) ∵ g(x)＝f(x)－x＝－x在R上为减函数，
∴ g′(x)＝－1＝－1≤0恒成立，(1分)
即k≤恒成立．(2分)
∵ ＝ex＋＋2≥2＋2＝4，(3分)
当且仅当ex＝，即x＝0时，的最小值为4，∴ k≤4.(4分)
(2) 由(1)知：k∈(0，4]时，g(x)在R上为减函数，
又g(0)＝－0＝>0，(5分)
g(4)＝－4＝＝，
∵ k≤4，∴ (k－4)e4－4<0，∴ g(4)<0，(6分)
∴ g(x)＝0在(0，4)上有一个根x＝x0.又g(x)为减函数，
∴ g(x)＝0有且只有一个根x＝x0.(7分)
∵ g(x)为减函数，∴ x>x0时，有g(x)<g(x0)＝0，
即f(x)－x<0，∴ x>f(x)　①.(8分)
∵ f(x)＝＝为增函数，由x>f(x)，∴ f(x)>f(f(x))　②.(9分)
由①②得x>f(f(x))成立．(10分)
(3) 设x1，x2∈[t－2，t]，不妨x1<x2，由(1)知：k∈(0，4]时g(x)在R上为减函数，
h＝|g(x2)－g(x1)|＝g(x1)－g(x2)≤g(t－2)－g(t)(12分)
＝[f(t－2)－(t－2)]－[f(t)－t]＝f(t－2)－f(t)＋2＝－＋2(13分)
＝k·＋2＝k·et·＋2
＝2－≥2－＝2－k·，(14分)
其中k·(e2－1)>0，当且仅当et＝，即t＝1时，hmin＝2－k·.(15分)
∴ 函数g(x)在长度为2的闭区间[－1，1]上“身高”最“矮”．(16分)
20. 解：(1) ∵ an＋1＝pan－pt对任意正整数n都成立，∴ an＋2＝pan＋1－pt，
两式相加得an＋1＋an＋2＝p(an＋an＋1)－2pt，(2分)
∴ an＋an＋1＝r·2n－1对任意正整数n都成立，∴ r·2n＝pr·2n－1－2pt，
即r·2n－1(p－2)－2pt＝0对任意正整数n都成立，(3分)
令n＝1，2得：r·(p－2)－2pt＝0，r·2(p－2)－2pt＝0，解得：p＝2，t＝0.(4分)
(注意：如果直接写“又r≠0，故p－2＝0，pt＝0”不扣分)
∴ an＋1＝2an对任意正整数n都成立，
故数列{an}为首项a1＝1，公比为2的等比数列，通项公式为an＝2n－1.(5分)
又an＋an＋1＝r·2n－1，所以2n－1＋2n＝r·2n－1，故r＝3.(6分)
(2) 由已知得2····…·＝log22m－1，
由题意得：bn＝bn－1＋1，上式即为2·＝m－1，(7分)
又bm＝b1＋(m－1)，代入得mb1－3b1－2m＝0，即m＝＝3＋，(9分)
由于b1与m都为正整数，∴ b1>2，且b1－2为6的正约数；(10分)
∴ 或或或故满足条件的m的值有4，5，6，9.(11分)
(3) 由已知，a1＝1，a2＝2，a3＝4，故数列{an}共3项在1，c2，c3，c4，4，…的前5项中，
∴ b1b2在前5项中，而b3不在，即b3>4.(12分)
① 若1，2之间无{bn}的项，则c2＝2，前4项1，2，c3，c4成等比数列，则公比为2，
∴ c3＝4为其第三项，与已知矛盾；(13分)
② 若1，2之间有且只有{bn}一项b1，则1，b1，2成等比数列，公比为，
∴ 前5项为1，，2，2，4，满足条件，此时bn＝n(n∈N*)；(14分)
③ 若1，2之间有且只有{bn}中的两项b1，b2，前4项为1，b1，b2，2，
∴ {bn}公差d＝b2－b1<1，则b3＝b2＋d<2＋1＝3与b3>4矛盾．(15分)
∴ 当bn＝n(n∈N*)时满足条件．(16分)
2014届高三调研测试试卷(五)(镇江)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 证明：∵ DE是圆O的切线，∴ OD⊥DE，又DE⊥AC，∴ OD∥AC.(4分)
∵ O是AB的中点，∴ OD是△ABC的中位线，(7分)
∴ OD＝AC，即AC＝2OD.(10分)
B. 解：矩阵的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－6，(2分)
因为λ1＝4是方程f(λ)＝0的一个根，所以x＝2.(4分)
由(λ－1)(λ－2)－6＝0得λ2＝－1.(6分)
设λ2＝－1对应的一个特征向量α＝，则得x＝－y，(8分)
令x＝1，则y＝－1，(9分)
则矩阵的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.(10分)
C. 解：将点的极坐标化为直角坐标，
点O、A、B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)；(3分)
∴ △OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，(5分)
∴ 经过O、A、B三点的圆的圆心为(3，3)，半径为3，(7分)
∴ 圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18，
即为x2＋y2－6x－6y＝0.(10分)
D. 解：∵ (a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)(3分)
≥3··3··3·(6分)
＝27·＝27，(7分)
当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．(9分)
∴ (a＋2)(b＋2)(c＋2)的最小值为27.(10分)
22. 解：(1) ∵ 当y>0时y＝f(x)＝，∴ y′＝＝，(3分)
∴ k＝f′(3)＝，(4分)
∴ 切线为y－＝(x－3)，即为x－y－1＝0.(5分)
(2) 设l：y＝kx，线段AB的中点M(x，y)；
由得y2＝x(x>2)，即k2x2－2x＋4＝0，(6分)
∴ Δ＝4－16k2>0，∴ 16k2<4即k2<2k2<>2.(7分)
设直线l与曲线C的交点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝－＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＝，
由中点坐标公式得(9分)
消去k，得y2＝x，即所求轨迹方程为y2＝x(x>2)．(10分)
23. 解：(1) 由已知计算得a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.(2分)
(2) 由(1)得|a2－a1|＝，|a3－a2|＝，|a4－a3|＝，|a5－a4|＝，
而n分别取1，2，3，4时，分别为，，，，
故猜想|an＋1－an|≤.(4分)
下面用数学归纳法证明以上猜想：
① 当n＝1时，已证；(5分)
② 当n＝k≥1时，假设|ak＋1－ak|≤，n∈N*.
由a1＝，an＋1＝，得an>0，∴ 0<an＋1＝<1，且0<a1＝<1，
∴ 0<an<1，∴ <an＋1＝<1，且<a1＝<1，∴ <an<1.(6分)
则当n＝k＋1时，
∵ (1＋ak＋1)(1＋ak)＝(1＋ak)＝2＋ak>2＋＝，(7分)
∴ |ak＋2－ak＋1|＝＝≤
≤
＝.(9分)
∴ 当n＝k≥1时，结论成立．
由①和②知，以上猜想成立．(10分)