第03讲-等比数列及其前n项和-(高频精讲)(原卷版).docx

第03讲 等比数列及其前项和
目录
第一部分：知识点必背 1
第二部分：高考真题回归 2
第三部分：高频考点一遍过 2
高频考点一：等比数列定义 2
高频考点二：等比中项 3
高频考点三：等比数列通项公式 4
角度1：等比数列基本量计算 4
角度2：定义法证明或判断 5
高频考点四：等比数列的性质 5
高频考点五：等比数列的函数特征 6
角度1：等比数列的单调性 6
角度2：求等比数列的最大（小）项 7
高频考点六：等比数列的前项和基本量计算 7
高频考点七：等比数列的前项和性质 8
角度1：等比数列片段和性质 8
角度2：等比数列奇偶项和 9
第四部分：数学文化题 9
第五部分：高考新题型（开放性试题） 11

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第一部分：知识点必背
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项⇔，，成等比数列⇔.
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
3.等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）
A．14 B．12 C．6 D．3
2．（2021·全国（甲卷文）·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）
A．7 B．8 C．9 D．10

3．（2022·全国（甲卷文理）·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．

第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：等比数列定义
典型例题
例题1．（2023·北京·高三专题练习）已知数列中，，，为其前项和，则（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知数列的首项，且数列是以为公差的等差数列，则________．

练透核心考点
1．（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________.

高频考点二：等比中项
典型例题
例题1．（2023·重庆·校联考三模）已知是等差数列，是等比数列，若，，则（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（    ）
A． B． C． D．
例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）在各项为正数的数列中，，，则________．
练透核心考点
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列，，是方程的两根，则的值是（    ）
A．或 B．2或 C． D．
2．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）在等比数列中，，，则的值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）等比数列中，若，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．9

高频考点三：等比数列通项公式
角度1：等比数列基本量计算
例题1．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，公比为，且，则（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）等比数列中，，，则（    ）
A． B． C． D．
例题3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考期中）已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______．
角度2：定义法证明或判断
典型例题
例题1．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·四川凉山·三模）数列的前n项和为，若，，则______．

练透核心考点三
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等比数列满足，，则的公比（    ）
A． B．或 C．或 D．或
2．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知等比数列的前三项和为，则（    ）
A．81 B．243 C．27 D．729
3．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（    ）
A．64 B．81 C．128 D．192
4．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区前锋学校校考期中）数列中，，，则等于（    ）
A．18 B．27 C．36 D．54
5．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）若正项数列满足，则（    ）
A． B．1 C．6 D．12
高频考点四：等比数列的性质
典型例题
例题1．（2023·河南驻马店·统考二模）设等比数列的前项之积为，若，，则=（    ）
A．2 B．4 C．8 D．16
例题3．（多选）（2023春·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）在正项等比数列中，，则__________.

练透核心考点
1．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）等比数列的各项均为正数，且，则（   ）
A． B． C． D．
2．（2023春·高二课时练习）在等比数列中，若已知，求的值.

3．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程 的两个根，则_________ .
高频考点五：等比数列的函数特征
角度1：等比数列的单调性
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比为．若为递增数列且，则（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项之积为，且，则取最小值时，的值是___________．
例题3．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）设等比数列的前项和为，且满足①，②是递增数列，③.写出一个满足上述三个条件的的公比：__________.

角度2：求等比数列的最大（小）项
典型例题
例题1．（多选）（2023·高二课时练习）已知等比数列各项均为正数，满足，，记等比数列的前项的积为，则当取得最大值时，（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
例题2．（2023春·高二课时练习）设正项等比数列的前项和为，，若，则数列中最大的项为_____.

练透核心考点五
1．（多选）（2023秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．与均为的最大值
2．（多选）（2023春·高二课时练习）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（    ）
A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的
3．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）设等比数列的前项和为，且满足①，②是递增数列，③，写出一个满足上述三个条件的一个数列通项=________.

高频考点六：等比数列的前项和基本量计算
典型例题
例题1．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）已知等比数列满足，，若的前项和，则（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例题2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，则（    ）
A． B．5 C． D．
例题3．（2023春·高二课时练习）在等比数列中．
(1)若，，，求和；
(2)已知，，求.

练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则（    ）
A．127 B．254 C．510 D．255
2．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）在等比数列 中， 为数列的前n项和，，，则＝_______
3．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）在等比数列中，，，则其前5项的和的值为________.
高频考点七：等比数列的前项和性质
角度1：等比数列片段和性质
典型例题
例题1．（2023春·山东德州·高二统考期中）已知为等比数列的前项和，，，则的值为（    ）
A．85 B．64 C．84 D．21
例题2．（2023春·广西梧州·高二苍梧中学校考阶段练习）等比数列的前项和是,且,若,则(    )
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（    ）
A． B． C． D．
角度2：等比数列奇偶项和
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ）
A．15 B．30
C．45 D．60
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列中，，，，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知等比数列的公比，且，则___________.

练透核心考点七
1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（    ）
A． B．43 C． D．41
2．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知等比数列的前项和为，且，若，，则（    ）
A．27 B．45 C．65 D．73
3．（2023春·江西上饶·高二校考阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　）
A．90 B．50
C．40 D．30
4． （2023·高二课时练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
5．
第四部分：数学文化题
1．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，，数列的前项和为.则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第日布施了子安贝（其中，），数列的前项和为.若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）
A．15 B．20 C．24 D．27
3．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.作为当今世界十分风靡和活跃的新理论､新学科，它的出现使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还具有深刻的科学方法论意义，由此可见分形的重要性.美国物理学大师JohnWheeler曾说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人.koch雪花曲线是一种典型的分形曲线，它的制作步骤如下：
第一步：任意画一个正三角形，记为，并把的每一条边三等分；
第二步：以三等分后的每一条边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，记所得图形为；
第三步：把的每一条边三等分，重复第二步的制作，记所得图形为；
同样的制作步骤重复下去，可以得到，直到无穷，所画出的曲线叫做koch雪花曲线.
若下图中的边长为1，则图形的周长为（    ）

A．6 B． C． D．
4．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64…是一阶等比数列，则该数列的第8项是（    ）．
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高二专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（    ）．

A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2023·全国·高三专题练习）如图是一种科赫曲线，其形态似雪花，又称雪花曲线．其做法是：从一个正三角形（记为）开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间线段为底边，分别向外作正三角形，再把此中间线段去掉，得到图形；把的每条边三等份，以各边的中间线段为底边，向外作正三角形后，再把此中间线段去掉，得到图形；依此下去，得到图形序列，，，，，，设的边长为1，图形的周长为，若，则n的值为________．（参考数据：，）

第五部分：高考新题型（开放性试题）
1．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知等比数列满足，则数列的通项公式可能是_________.（写出满足条件的一个通项公式即可）
2．（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列满足，且其前n项和，则数列的通项公式可以是___________.（写出一个符合条件的即可）
3．（2022春·北京房山·高二北京市房山区房山中学校考期中）无穷数列满足①，②，写出一个同时满足这两个条件的通项公式______________.