Kuramoto-Sivashinsky方程的高精度差分格式.pdf

第36卷第3期2023年9月Vol.36 No.3Sep.2023闽南师范大学学报（自然科学版）Journal of Minnan Normal University（Natural Science）Kuramoto-Sivashinsky方程的高精度差分格式付瑶,王晓峰,刘佳垚,付天浩（闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000）摘要：对周期边界Kuramoto-Sivashinsky方程建立了一个四阶精度差分格式.该格式在时间上是三层的,并且是线性的,同时该格式是质量守恒和能量耗散的.通过离散能量法证明了该格式解的唯一性,有界性和收敛性.数值实验验证了理论分析的正确性,在时间和空间上分别达到二阶精度和四阶精度.关键词：Kuramoto-Sivashinsky方程；差分格式；守恒性；收敛性.中图分类号：O241.82 文献标志码：A 文章编号：2095-7122（2023）03-0083-07High-order difference scheme for the Kuramoto-Sivashinsky equationFU Yao,WANG Xiaofeng*,LIU Jiayao,FU Tianhao(School of mathematics and statistics,Minnan Normal University,Zhangzhou,Fujian 363000,China)Abstract:A fourth-order precision difference scheme is established for the Kuramoto-Sivashinsky equation with periodic boundary.The scheme is three-layer and linear in time.Meanwhile,the scheme is mass conservative and energy dissipative.The uniqueness,boundedness and convergence of the solution of the scheme are proved by the discrete energy method.The numerical experiments verify the correctness of the theoretical analysis,and reach the second and fourth order accuracy in time and space respectively.Key words:Kuramoto-Sivashinsky equation;difference scheme;conservation;convergenceKuramoto-Sivashinsky方程是Kuramoto1在研究化学反应系统中的湍流问题和Sivashinsky2研究可燃化合物火焰面的时候一起提出的,之后许多学者对于此方程的解有着不同的研究.Sirajul3运用无网格线法来近似求解方程的数值解,此类方法只需要一组分散的节点.Manickam4运用二阶分裂结合正交三次样条配点法,对方程应用二阶分裂方法,然后采用正交三次样条配置方法对近似结果系统进行分析,得到了方程较好的近似解.还有Porshokouhi4 运用变分迭代方法,构造了一个收敛的函数序列让它近似于问题的精确解.然而,对于Kuramoto-Sivashinsky方程的数值方法的研究比较少,主要有Singh6的紧凑有限差分格式,还有李娟7的二层线性隐式格式,该格式的精度为O(2+h2).考虑如下Kuramoto-Sivashinsky方程的周期初边值问题,即ut+uux+uxx+uxxxx=0 t0Tx0L（1）u(x0)=u0(x)x0L（2）u(x+Lt)=u(xt)x0Lt0T.（3）其中：0且u0(x)是以L为周期的函数.可以验证式(1)(3)具有以下质量守恒性和能量耗散性,即收稿日期：2023-01-06基金项目：福建省自然科学基金(2020J01796)作者简介：付瑶(2000),女,江西省抚州市人,硕士生.*通信作者.E-mail:.2023年闽南师范大学学报（自然科学版）Q(t)=0Lu(xt)dx=0Lu0(x0)dx=Q(0)E(t)=|u|2L2|u0|2L2=E(0).对于Kuramoto-Sivashinky方程的周期初边值问题,首先利用高阶组合算子建立式(1)(3)的三层线性差分格式,其次证明该格式的质量守恒性,能量耗散性和存在唯一性；之后利用离散能量法证明了该差分格式的收敛性,并在时间和空间上精度达到O(2+h4).最后通过数值算例实验,分析所得的结果证明了这个格式的有效性.1 高精度格式的构造将求解区域0T0L等距网格剖分,任意取JN两个正整数,并且分别将空间步长记h=L/J 时间步长记=T/N.记xj=jh (0jJ)tn=n (0nN)设unju(xjtn)为数值解,记为RJper=u=u(uj)|uj+J=uj=0 1jJ.记unvnRJper,定义的符号、内积和范数为(unj)t=un+1j-un-1j2(unj)x=unj+1-unjh(unj)x=unj-unj-1h(unj)x=unj+1-unj-12h(unj)x=unj+2-unj-24hu nj=un+1j+un-1j2unvn=hj=1Junjvnj|un|2=unun|un|=max1jJ|unj|.考虑对式(13)建立差分格式,即(unj)t+431(unju nj)-132(unju nj)+43(u nj)xx-13(u nj)xx+53(u nj)xx xx-23(u nj)xx xx=0（4）u0j=u0(xj)1jJ（5）unj+J=unj1jJ1nN-1.（6）其中：1(unju nj)=13unj(u nj)x+(unju nj)x;2(unju nj)=13unj(u nj)x+(unju nj)x.由于式(13)在时间方向上是三层,为了求解u1,用如下格式来计算,即(u0j)t+431(u0ju12j)-132(u0ju12j)+43(u12j)xx-13(u12j)xx+53(u12j)xx xx-23(u12j)xx xx=0.（7）其中：u12=12(u0+u1).2 差分格式的质量守恒性和能量耗散性引理引理18-9，11 对任意的两个unvnRJper,则unx vn=-vnunx unxvn=-vnunx unxx vn=-unxvnx unxvn=-vnunxunxxvn=-unxvnx unxx xx vn=unxx vnxx unxx xxvn=unxxvnxx.当其中un=vn时,有unxun=0 unxun=0 unxx un=-|unx|2unxxun=-|unx|2 unxx xx un=|unxx|2 unxx xxun=|unxx|2.引理引理28-9 对任意的unRJper,则1(unu n)u n=0 2(unu n)u n=0.引理引理38-10 对任意的unvnRJper,则有|ux|ux|ux|uxx|uxx|ux|(h)|uxx|84付瑶，等：Kuramoto-Sivashinsky方程的高精度差分格式第3期其中：(h)=h2sin(h).定理定理1 设u0H100Lu(xt)C83xt(0L0T),则式(4)(6)满足Qn=h2j=1J(un+1j+unj)+2h9j=1Junj(un+1j)x-h18j=1Junj(un+1j)x=Qn-1=Q0En=12(|un+1|2+|un|2)En-1E0.证明证明 把式(4)两端同时乘以h后对j从1到J求和,可知hj=1J(unj)t+4h9j=1Junj(u nj)x+(unju nj)x-h9j=1Junj(u nj)x+(unju nj)x+43hj=1J(u nj)xx-3hj=1J(u nj)xx+53hj=1J(u nj)xx xx-23hj=1J(u nj)xx xx=0.（8）由引理2可得4h9j=1Junj(u nj)x+(unju nj)x=2h9j=1Junj(un+1j)x+unj(un-1j)x+(unjun+1j)x+(unjun-1j)x=2h9j=1Junj(un+1j)x-un-1j(unj)x.（9）同理可得h9j=1Junj(u nj)x+(unju nj)x=h18j=1Junj(un+1j)x-un-1j(unj)x.（10）将式(9)(10)代入式(8)中,可得Qn=h2j=1J(un+1j+unj)+2h9j=1Junj(un+1j)x-h18j=1Junj(un+1j)x=h2j=1J(unj+un-1j)+2h9j=1Jun-1j(unj)x-h18j=1Jun-1j(unj)x=Qn-1.（11）由式(11)递推可得Qn=Qn-1=.=h2j=1J(u1j+u0j)+2h9j=1Ju0j(u1j)x-h18j=1Ju0j(u1j)x=Q0.将式(4)与2u n作内积,以及引理2和引理3可得12(|un+1|2-|un-1|2)=23(|un+1x|2+|un-1x|2)-6(|un+1x|2+|un-1x|2)-56(|un+1xx|2+|un-1xx|2)+6(|un+1xx|2+|un-1xx|2)(22(h)-2)(|un+1xx|2+|un-1xx|2)0当足够小的时候,得12(|un+1|2+|un|2)12(|un|2+|un-1|2).（12）由En的定义,再由式(12)的n递推可得EnEn-1E0.3 解的存在唯一性和有界性引理引理48-9 对任意的unRJper 存在两个正常数ab,使得|un|a|un|+b|unx|.852023年闽南师范大学学报（自然科学版）定理定理2 差分格式(4)(6)式是存在的并且是唯一的.证明证明 首先u0由式(5)唯一确定,然后通过式(7)可以唯一确定u1的值.接下来考虑用数学归纳法证明un+1是唯一存在的.设u0u1un是唯一可解的,取式(4)的un+1项可得12un+1j+29unj(un+1j)x+(unjun+1j)x-118unj(un+1j)x+(unjun+1j)x+23(un+1j)xx-6(un+1j)xx+56(un+1j)xx xx-6(un+1j)xx xx=0.（13）将式(13)与un+1作内积,以及引理2和引理3,可知0=12|un+1|2-23|un+1x|2+6|un+1x|2+56|un+1xx|2-3|un+1xx|2 12|un+1|2-2|un+1x|2+2|un+1xx|20.则|un+1|=0式(13)只有零解,因此式(4)(6)唯一确定un+1.定理定理3 式(6)(8)的解满足|un|C|unx|C|unxx|C|un|C.证明证明 由引理4可知|un+1|2+|un|2+|un+1x|2+|unx|22En2E0C因此|un|C|unxx|C 则|unx|C再根据引理4,可知|un|C.4 差分格式解的收敛性和稳定性引理引理59 (离散的Gronwall等式)假设Gn/n0是非负数列,且满足G0AGnA+Bki=1n-1Gi n=12.其中A和B均为非负数,则Gn=AeBnk n=012.定理定理4 设u0H100L u(xt)C83xt(0L0T)式(4)(6)的解un收敛到式(1)(3)的解Un,即任取一个正常数C,令 en=Un-un,可得|en|C(2+h4).证明证明 式(6)(8)的截断误差为rnj=(enj)t+431(UnjUnj)-1(unju nj)-132(UnjUnj)-2(unju nj)+43(e nj)xx-13(e nj)xx+53(e nj)xx xx-23(e nj)xx xx 1jJ1nN-1（14）e0j=01jJenj=enj+J1nN-1 由Taylor展开可得maxjn|rnj|C(2+h4).将式(14)与2e n 做内积,得rn2e n=|en|2t+431(UnUn)-1(unu n)2e n-132(UnUn)-2(unu n)2e n-43|e nx|2+3|e nx|2+53|e nxx|2-23|e nxx|2.（15）根据引理3,引理5和定理3可得rn2e n|rn|2+12(|en+1|2+|en-1|2)（16）431(UnUn)-1(unu n)2e n=8h3j=1J13unj(u nj)x+(unju nj)x-13unj(u nj)x+(unju nj)xe nj=8h9j=1JUnj(e nj)xe nj+8h9j=1Jenj(u nj)xe nj-8h9j=1JUnj(e nj)xe nj-8h9j=1Jenj(e nj)xu njC(|e n|2+|en|2+|e nx|2).（17）86付瑶，等：Kuramoto-Sivashinsky方程的高精度差分格式第3期同理有-132(UnUn)-2(unu n)2e nC(|e n|2+|en|2+|e nx|2).（18）将式(16)(18)代入到式(15)可得|en+1|2+|en|2-43(|en+1x|2-|enx|2)+3(|en+1x|2-|enx|2)+53(|en+1xx|2-|enxx|2)-23(|en+1xx|2-|enxx|2)C(|en-1|2+|en|2+|en+1x|2+|enx|2-|en-1x|2+|enxx|2-|en-1xx|2)+|rn|2.（19）再令An=|en+1|2+|en|2-43(|en+1x|2-|enx|2)+3(|en+1x|2-|enx|2)+53(|en+1xx|2-|enxx|2)-23(|en+1xx|2-|enxx|2).然后,将式(19)从1到n累加可得AnA0+Ci=1n(|ei|2+|ei-1|2+|eix|2+|eixx|2-|ei-1x|2-|ei-1xx|2)+2i=1n|ri|2.（20）根据An的定义和引理3,可得 c0(|en+1|2+|en|2+|en+1x|2-|enx|2+|en+1xx|2-|enxx|2)|en+1|2+|en|2-(|en+1x|2-|enx|2)+(|en+1xx|2-|enxx|2)An.（21）其中c0=min(1-),由式(20)(21)得|en+1|2+|en|2+|en+1x|2-|enx|2+|en+1xx|2-|enxx|2Ci=1n(|ei-1|2+|ei|2+|eix|2+|eixx|2-|ei-1x|2-|ei-1xx|2)+2i=1n|ri|2（22）令Gn=|en+1|2+|en|2+|en+1x|2-|enx|2+|en+1xx|2-|enxx|2，则式(22)可写成GnCi=1nGi+Ci=1n|ri|2.从而有GnCi=1nGi+C(2+h4)2(1-C)Ci=1n-1Gi+C(2+h4)2 对于足够小,即1-C0有GnCi=1n-1Gi+C(2+h4)2根据引理5得GnC(2+h4)2eCTC(2+h4)2即有|en|C(2+h4)|enx|C(2+h4)|enxx|C(2+h4)，从而|en|C(2+h4).5 数值实验通过数值算例来验证差分格式的有效性,以及理论分析的准确性.首先给出L范数的定义为|e(h)|=|Unj-unj|=max1jJ-1|Unj-unj|其中：Unj=u(xjtn)为精确解；unj为格式(6)(8)的数值解.定义空间和时间的收敛阶分别为872023年闽南师范大学学报（自然科学版）图1 T=1时不同时刻的数值解与精确解图像(左)和数值解的3D图像(右)Fig.1 Numerical and exact solutions at different moments(left)and 3D image of numerical solution(right)at T=1.x tuuxOrder 1=log2(|en(h)|en(/2h/2)|)Order 2=log2(|en(h)|en(/4h/2)|).取不定参数为=-1 =1,考虑L=1 T=1时如下周期初边值问题7,即ut+uux-uxx+uxxxx=(xt)t01x01，（23）u0(x)=sin(2x)x01u(x+1t)=u(xt)x01t01.其中非齐次项为(xt)=e-2tsin(4x)-e-tsin(2x)+42e-tsin(2x)+164e-tsin(2x)，精确解为u(xt)=e-tsin(2x).取空间步长为h=0.01,时间步长为=h/4,图1的左边是在不同时刻的数值解和精确解的图像对比,可以看出数值解和精确解的图像完全重合,说明了差分格式的准确性,而图1的右边是数值解的三维图像.在表1当中取h=,通过计算不同时间步长下的数值误差和在时间方向上的收敛阶,由此可得格式(46)在时间上可以达到二阶精度,在表2当中取=h2,通过计算不同空间步长下的数值误差和在空间方向上的收敛阶,由此可得这个三层线性差分格式在空间上可以达到四阶精度.图2的左边是在不同时刻的质量图像,而右边是在不同时刻的能量图像,这样可以看出很好的保持了质量的守恒性,但是能量是耗散的.表2 在T=1时的误差和空间收敛阶(=h2)Tab.2 Errors and spatial convergence orders(with=h2at)T=1.步长/hh=0.1h=0.05h=0.025误差|en|1.490 910-31.490 910-46.345 410-6收敛阶Order23.88913.987 2表1 在T=1时的误差和时间收敛阶(h=)Table 1 Errors and temporal convergence orders(withh=at)T=1.步长/hh=0.012 5h=0.006 25h=0.003 125误差|en|2.695 010-57.163910-61.808 310-6收敛阶Order11.911 51.986 188付瑶，等：Kuramoto-Sivashinsky方程的高精度差分格式第3期参考文献：1 KURAMOTO Y.Diffusion-induced chaos in reaction systemsJ.Progress of Theoretical Physics Supplement,1978,64:346-367.2 SIVASHINSKY G I.On flame propagation under conditions of stoichiometryJ.Siam Journal on Applied Mathematics,1980,39(1):67-82.3 HAQ S,BIBI N,TIRMIZI S,et al.Meshless method of lines for the numerical solution of generalized Kuramoto-Sivashinsky equationJ.Applied Mathematics and Computation,2010,217(6):2404-2413.4 MANICKAM A V,MOUDGLYA K M,PANI A K.Second-order splitting combined with orthogonal cubic spline collocation method for the Kuramoto-Sivashinsky equationJ.Computers and Mathematics with Applications,1998,35(6):5-25.5 PORSHOKOUHI M G,GHANBARI B.Application of Hes variational iteration method for solution of the family of Kuramoto-Sivashinsky equationsJ.Journal of King Saud University-Science,2011,23(4):407-411.6 SINGH B K,ARORA G,KUMAR P.A note on solving the fourth-order Kuramoto-Sivashinsky equation by the compact finite difference schemeJ.Ain Shams Engineering Journal,2018,9(4):1581-1589.7 李娟.Kuramoto-Sivashinsky方程的线性化L-差分方法J.数学的实践与认识,2020,50(9):210-222.8 钟瑞华,程宏,何育宇.Equal-Width波方程的高精度守恒差分格式J.闽南师范大学学报(自然科学版),2021,34(2):29-35.9 孙志忠,非线性发展方程的有限差分法M.北京:科学出版社,2018.10 AKRIVIS G D.Finite difference discretization of the Kuramoto-Sivashinsky equationJ.Numerische Mathematik,1992,63(1):1-11.11 GHILOUFI,AHLEM,OMRANI,et al.New conservative difference schemes with fourth-order accuracy for some model equation for nonlinear dispersive wavesJ.Numerical Methods for Partial Differential Equations:An International Journal,2018,34(2):451-500.责任编辑:钟国翔图2 不同时刻的离散质量(左)和能量(右)Fig.2 Discrete mass(left)and energy(right)at different times.x tEQ89