考前数学选题.doc

考前数学选题
1．已知正四棱锥P－ABCD的高为4，侧棱长与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是__________．

A
C
B
x1
x2
x3
20
30
50
55
30
35
2．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，
单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图
中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，
CA的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同
一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则 x1，x2，x3的大
小关系是 ．

3．(1)若 f(x－1)为奇函数，则f(x)图象关于 对称；
(2) 函数 f(1－x)与f(1＋x)的图象关于 对称．

4．在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上且
||＝2，则＝ ．

5．已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60º，若点M为菱形某边上一点，则· 的取值范围是 ．

6．锐角△ABC中，分别角A，B，C为a，b，c，且b2＋c2－a2＝bc，cosB＋cosC取值范围是 ．

7．锐角三角形ABC中，若B＝2A，则的取值范围为__________．

8．已知实数a满足log318＝a＋2，则函数y＝3ax(x∈[0，1])的值域是_____________．

9．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且方程f(x)＝x无实数根，下列命题：
①方程f[f(x)]＝x也一定没有实数根；
②若a＞0，则不等式f[f(x)]＞x对一切实数x都成立；
③若a＜0，则一定存在实数x0，使f[f(x0)]＞x0；
④若a＋b＋c＝0，则不等式f [f (x)]＜x对一切实数x都成立．
其中正确命题的序号是______________（把你认为正确的命题的所有序号都填上）．

10．设函数f(x)＝x－sinx－cosx．
（1）试判定函数f(x)的单调性，并说明理由；
（2）已知函数f(x)的图象在点A（x0，f(x0)）处的切线斜率为，求的值．

11．某地在海滩建造海滨浴场，海岸线AOB(如图)成θ角，需建定长为l的防鲨网，P在OA上，Q在OB上．
(1) 当P，Q处于什么位置时，浴场的面积△POQ最大？
(2) 若P，Q为定点，|PQ|＜l，试在海域内确定一点M，使|PM|＋|MQ|＝l，且四边形OPMQ面积最大．
A
O
B
Q
P
θ
(3) 如果改(2)中P，Q两点不确定，那么如何确定P，M，Q的位置，使四边形OPMQ面积最大？

12．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．
（1）求事件“x＋y≤3”的概率；
（2）求事件“|x－y|＝2”的概率．

13．已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|
(1)求实数a，b间满足的等量关系；
(2)求线段PQ长的最小值；
(3)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，求半径最小时⊙P的方程．

x
y
O
A
F
P
B
M
13．如图焦点在x轴上，中心在原点的椭圆经过点Q(3，)，A、B分别是椭圆的左、右顶点，点F(4，0)是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 求点P的坐标；
(3) 设M是椭圆长轴上的一点，M到直线PA的
距离等于| MB |，求椭圆上点到点M的距离d的
最小值．

14．已知f(x)＝(x∈R)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是．
(1)求证：点P的纵坐标是定值；
(2) y＝f(x)图象能否通过平移成为奇函数或偶函数的图象，证明你的结论．

15．已知数列{an}的通项公式是an＝5n－4，证明不等式＞1对任何正整数m，n都成立．

16．设x1，x2是f(x)＝ax3＋bx2－a2x(a＞0)的两个极值点，且|x1|＋|x2|＝2．
(1) 证明：0＜a≤1；
(2) 证明：|b|≤；
(3) 若h(x)＝f ¢(x)－2a (x－x1)，证明：当x1＜x＜2且x1＜0时|h(x)|≤4a．

16．(1) f ¢(x)＝ax2＋bx－a2，由题意知Δ＝b2＋4≥0，且x1＋x2＝－，x1x2＝－a＜0，∴ x1，x2异号．|x1|＋|x2|＝| x1－x2|＝2，(x1－x2) 2＝(x1＋x2) 2－4x1x2＝4，∴b2＝≥0，
∴0＜a≤1．
(2) 设g (a)＝4a2(1－a)，则g¢(a)＝4a(2－3a)

∵∴

17．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a＞0)，方程f(x)－x＝0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．(1) 当x∈(0，x1)时，证明：x＜f(x)＜x1；(2) 设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，证明：x0＜．

18．已知函数f(x)＝ex－x（其中e为自然对数的底）．
（1）求函数f(x)的最小值；
（2）若n∈N*，证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)；
（3）若n∈N*，证明：．
18．(1) f ¢(x)＝ex－1，由f ¢(x)＞0得x＞0，由f ¢(x)＜0得x＜0，∴f(x)在(－∞，0)单调减，在 (0，＋∞)单调增．∴f(x)min＝f(0)＝1．
(2) 由(1)知f(x)＝ex－x≥1，∴ex≥x＋1，x≥ln(x＋1) (当且仅当x＝0时等号成立)．
∴＞ln(＋1)＝ln(n＋1)－lnn，1＋＋＋…＋＞(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋[ln(n＋1)－lnn]＝ln(n＋1)．
(3) ∵ex≥x＋1且x≠0时ex＞x＋1，∴≥－＋1＝，其中i＝0，1，…，n－1，∴≤e－i，∴＜e＋e－1＋…＋e－n＋1＝＜＝．