重视导数应用的热点题型.doc

例3 已知函数 ，当，时，取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求，的值；(2)求的极大值和极小值.例4(2007湖南)已知函数 为自然对数的底数.（）讨论函数的单调性；（）求函数在区间0，1上的最大值.例5 用总长m的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.重视导数应用的热点题型导数的应用在新高考中已成为新的热点，特别是对实际问题的解答，更应予以重视.下面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略.1求切线斜率根据导数的几何意义，函数在点处的导数是曲线在点处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数.例1 求曲线在点处的切线方程.分析 利用隐函数求导法则，得出在点处的切线斜率，从而可求出切线方程.解 对方程两边关于求导，得.解之得.易知点在曲线上，.曲线在点处的切线方程为，即.评注：(1)两边对求导，特别要注意是的函数.(2)隐函数的导数表达式中常包含，两个变量.2求单调性利用可导函数判断函数单调性的基本方法：设函数在某个区间内可导，如果导数，则函数在这个区间上为增函数；如果导数，则函数在这个区间上为减函数.例2 (2004全国卷理)已知求函数的单调区间.解 函数f(x)的导数：（I）当时，若，则0.所以当时，函数f(x)在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（II当由所以，当时，函数f(x)在区间（，）内为增函数，在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数；（III）当时，由，解得,由，解得或.所以当时，函数在区间（，0）内为减函数，在区间（0，）内为增函数，在区间（，+）内为减函数.3求极值利用可导函数求函数极值的基本方法：设函数在点处连续且.若在点附近左侧，右侧，则为函数的极大值；若在点附近左侧，右侧，则为函数的极小值.例3 已知函数，当，时，取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求，的值；(2)求的极大值和极小值.解 (1) .时有极值，则.代入得.且.对任意实数成立，.00极大极小当时取得极大值，时取极小值.即.再由，解出，.(2)为极大值， 为极小值.4求最值在闭区间上连续的函数，在上必有最大值与最小值，设函数在上连续，在内可导，先求出在内的极值，然后将的各极值与、值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例4 (2007湖南理)已知函数为自然对数的底数.（）讨论函数的单调性；（）求函数在区间0，1上的最大值.解 （）（i）当时，令 若上单调递增；若上单调递减.（ii）当a0时，令若上单调递减；若上单调递增；若上单调递减.（）（i）当时，在区间0，1上的最大值是（ii）当时，在区间0，1上的最大值是.（iii）当时，在区间0，1上的最大值是5求实际应用问题中的最值在实际问题中，有时会遇到函数在某区间内只有一个点使，如果函数在这一点有极值，那么可不与区间端点处的函数值比较，即可断定该极值就是最值.例5 (2008高考)用总长m的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.解 设容器底面边长为m，另一边长为m，高为，由和.设容器的容积为m3，则有即令，有即，(不合题意，舍去)所以当时，(m3).