重视导数应用的热点题型.doc

例3 已知函数 ，当，时，取得极值，且极大值比极小值大4.
(1)求，的值；
(2)求的极大值和极小值.
例4(2007湖南)已知函数 为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.
例5 用总长m的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.

重视导数应用的热点题型
导数的应用在新高考中已成为新的热点，特别是对实际问题的解答，更应予以重视.下面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略.
1．求切线斜率
根据导数的几何意义，函数在点处的导数是曲线在点处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数.
例1 求曲线在点处的切线方程.
分析 利用隐函数求导法则，得出在点处的切线斜率，从而可求出切线方程.
解 对方程两边关于求导，得
.
解之得.易知点在曲线上，.
∴曲线在点处的切线方程为
，即.
评注：(1)两边对求导，特别要注意是的函数.(2)隐函数的导数表达式中常包含，两个变量.
2．求单调性
利用可导函数判断函数单调性的基本方法：设函数在某个区间内可导，如果导数，则函数在这个区间上为增函数；如果导数，则函数在这个区间上为减函数.
例2 (2004全国卷Ⅰ理)已知求函数的单调区间.
解 函数f(x)的导数：

（I）当时，若，则<0，若,则>0.
所以当时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（II）当
由
所以，当时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
（III）当时，由，解得,
由，解得或.
所以当时，函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.
3．求极值
利用可导函数求函数极值的基本方法：设函数在点处连续且.若在点附近左侧，右侧，则为函数的极大值；若在点附近左侧，右侧，则为函数的极小值.
例3 已知函数，当，时，取得极值，且极大值比极小值大4.
(1)求，的值；
(2)求的极大值和极小值.
解 (1) .
∵ 时有极值，则.
∴代入得
.
且.
对任意实数成立，∴.∴.

＋
0
－
0
＋

极大

极小

∴当时取得极大值，时取极小值.
即
∴.
再由，解出，.
(2)为极大值， 为极小值.
4．求最值
在闭区间上连续的函数，在上必有最大值与最小值，设函数在上连续，在内可导，先求出在内的极值，然后将的各极值与、值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例4 (2007湖南理)已知函数为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.
解 （Ⅰ）
（i）当时，令
若上单调递增；
若上单调递减.
（ii）当a<0时，令
若上单调递减；
若上单调递增；
若上单调递减.
（Ⅱ）（i）当时，在区间[0，1]上的最大值是
（ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是.
（iii）当≤时，在区间[0，1]上的最大值是
5．求实际应用问题中的最值
在实际问题中，有时会遇到函数在某区间内只有一个点使，如果函数在这一点有极值，那么可不与区间端点处的函数值比较，即可断定该极值就是最值.
例5 (2008高考)用总长m的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
解 设容器底面边长为m，另一边长为m，高为，由和.
设容器的容积为m3，则有

即
令，有
即，(不合题意，舍去)
所以当时，(m3).