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2023年9月第6 0 卷第5期四川大学学报（自然科学版）Journal of Sichuan University(Natural Science Edition)Sep.2023Vol.60No.5GCD封闭集上幂矩阵行列式的整除性朱光艳1.2，强诗瑷，林宗兵3（1湖北民族大学教师教育学院，恩施4450 0 0；2.四川大学数学学院，成都6 10 0 6 4；3.攀枝花学院数学与计算机学院，攀枝花6 17 0 0 0）摘要：设S=1，c n)为n个不同正整数构成的集合，若对任意不超过n的正整数i，j，均有gcd(i，）ES则称S是GCD封闭集.对于元素,yES(y)，若由yll和ES可推出E(y,),则称是的一个最大型因子.令Gs()表示在S中所有最大型因子构成的集合.设a和b是正整数，f是算术函数.以（f（S)（对应地（fS)表示一个n阶方阵，其第i行第j列元素为f(gcd(aj，c)（对应地f(lcm(aj,a,).令|T|表示有限集T的基数.在本文中，当alb,S为GCD封闭集且maxres(lGs（）1）2 时，我们建立了几个关于幂矩阵(f（S)与（f（S)），（f （S)与（fSJ)，（f a SJ)与（fSJ)的行列式之间的整除性结果.关键词：整除；算术函数；幂矩阵；GCD封闭集中图分类号：0 156.1Divisibility among determinants of power matrices on gcd-closed setZHUGuang-Yan 1.2,QIANG Shi-Yuan,LIN Zong-Bing3(1.School of Teacher Education,Hubei Minzu University,Enshi 445000,China;2.School of Mathematics,Sichuan University,Chengdu 610064,China;3.School of Mathematics and Computer Science,Panzhihua University,Panzhihua 617000,China)Abstract:Let S=(a1,.,an)be a set of n distinct positive integers&1,.,n,which is called GCDclosed if gcd(i,a,)ES for all integers i,j with 1i,jn.For a,yES,if the conditions y,ylz|and zES imply that zE(y,),then y is called a greatest-type divisor of x in S.Let Gs()denote theset of all greatest-type divisors of in S.Let a and b be positive integers.Denote by(fa(S)and(faSJ)the n Xn matrix with fa evaluated at the greatest common divisor and the least common multipleof c;and&,as its(i,j)-entry,respectively.Let ITl denote the cardinal number of a finite set T.In thispaper,we establish some results on the divisibility among determinants of power matrices(f(S)and(f(S),(fa(S)and(fSJ),(faSJ)and(fS),where alb,S is GCD closed and maxres(|Gs()l)2.Keywords:Divisibility;Arithmetic function;Power matrix;GCD-closed set(2010 MSC 11A05)文献标识码：ADOI:10.19907/j.0490-6756.2023.051006收稿日期：2 0 2 3-0 1-16基金项目：国家自然科学基金（117 7 130 4)；攀枝花学院博士基金（bkqj2019050）作者简介：朱光艳（198 0 一），女，湖北谷城人，博士研究生，主要研究方向为数论及其应用。E-mail：2 0 0 90 43 h b m z u.e d u.c n通讯作者：林宗兵.E-mail：l i n z o n g b i n g q q.c o m051006-1第6 0 卷四川大学学报（自然科学版）第5期1 引 言在本文中,a,b均表示正整数,S=(1,c,)表示n个不同正整数1，n 构成的集合为方便起见，总假设集合S满足条件1an.设(,)表示正整数和的最大公因子，表示和的最小公倍数，Z表示整数集，f为一个算术函数，T|表示有限个整数构成的集合T的基数令gcd(S)表示集合S中所有元的最大公因子,lcm(S)表示集合S中所有元的最小公倍数.对于任意正整数,定义幂算术函数：fa(）=（f();sa:sa（）=,并定义倒数算术函数如下：(0,若f()=0,以(fa(S)(对应地(fSJ)表示一个n阶方阵,其第i行第列元素为f在（j,;）（对应地j，,)处的取值,称为S上的幂矩阵。以(sa（i,)（简记为（Sa）和（sai，,）（简记为Sa)表示nXn矩阵,分别简称为S上的a次幂GCD矩阵和a次幂LCM矩阵.若集合S满足：由ES和dl可推出dES,则称S是因子封闭集若（i，,）ES对所有1 i,jn均成立,则称 S 是 GCD封闭集显然，任意因子封闭集是GCD封闭集，反之不真。1875年，Smithl1证明：若S是因子封闭集，则det（f(S)）=I(f*)(k）,其中f*是fk=1和Mobius 函数的Dirichlet 乘积自此以后，许多关于Smith行列式以及相关结果的推广陆续发表（参见文献2-16)其中，Apostol2推广了Smith的结果，证明:若f和g是算术函数，且(t,r)=Z(d)g(r/d),dl(t,r)则det(i,j)=g(1)f(1).f(n).若(t,r)=(t,r),r)对所有正整数t均成立,则称（t，r）为关于t模r的偶函数Bourque和Ligh4推广了Smith1和Apostol2的结果，给出当 S是因子封闭集,且(t,r)是偶函数时n阶方阵(（S)）行列式的表达式1993年，Bourque和Ligh5 进一步推广了 Smith1 和 Apostol2的结果，证明：若S是GCD封闭集，则det(f(S)=IIs.r()其中s.(k)=对于元,ES（y )，若由l,ES可推出（,)，则称是在S中的最大型因子8 对于集合S中的元素，令Gs（)表示在S中所有最大型因子所构成的集合例如,若 T=(2,4,6,8,10,12,14,16)，则4既是8 在集合T中的最大型因子，也是12 在集合T中的最大型因子，但4不是16 在集合T中的最大型因子实际上，我们有Gr(2)=,GT(4)=Gr(6)=Gr(10)=Gr(14)=(2),Gr(8)=(4),Gr(12)=(4,6),Gr(16)=(8).1999年，Hong8首次定义了最大型因子，并利用这个概念彻底解决了Bourque-Ligh3猜想.Hong9推广了 Smith1，A p o s t o l 2 和 Bourque-Ligh4的结果，证明：若S是GCD封闭集，则det(ci,)=Il f(d)g(r/d).定义如下算术函数集合Cs和Ds5,10：Cs=(f:当d|lcm(S)时,(f*)(d)EZ),Ds=(fECs:当u|,u,uES时,f(u)If().若对集合(1,n)的某个置换,有(1)|c(n),则称集合 S是一个因子链。设整数k1，S;(1ik)是因子链,且对任意整数i,j(1ijk),S可划分成S=Si U.USk,其中(max(S,),max(S,)）=g c d(S),则称集合S是由有限个拟互素因子链构成的.由文献15中定理1.3和文献16 中定理1.1可知，当a|b,并且GCD封闭集S满足条件maxres(|Gs()1)=1 时,有det(Sa)/det(S),det(Sa)|detS,detSaI detS.一个有趣的问题是：如果lb，且GCD封闭集S满足条件maXres(|Gs（)1）=1,那么det(fa(S)/det(f(S),det(fa(S)|detf(S),det(faS)|det(fS)051006-2(1)1(f*)(d)akkalk(2)第5期是否仍然成立？本文利用和发展文献5，9，11的方法和结果解决了以上问题，得到如下结果。定理1.1设f是算术函数，a，b 是正整数，且|b.如果 S是 GCD封闭集,且maXres(|Gs()/)=1,那么以下三个结论成立：(i）若fECs使得矩阵（f（S)是非奇异的，则 det(fa(S)|det(f(S);(i）若乘法函数fEDs 使得矩阵（S)是非奇异的，则det(f(S)|det(fS);(ili）若乘法函数fEDs使得矩阵（fSJ)是非奇异的，则 det(fS)|det(fS).由定理1.1可以立即推得Tan和Lin在2 0 10年得到的结果：推论1.2 12 若lb,S由有限个拟互素因子链构成,且 gcd(S)ES.则det(Sa)|det(S),det(Sa)|detS,detSaI detS.朱光艳，等：GCD封闭集上幂矩阵行列式的整除性若f是乘法函数,则det(fLSJ)=77k=1证明日由式(1）（5)可知式(6)成立由是乘法函数易推出亦为乘法函数由式(3）（5知式(7)成立。引理得证.引 理 2.410 设 f E Cs.若d|lcm(S),则f(d)EZ.3主要定理的证明定理1.1的证明由于S是GCD封闭集，且maxres(|Gs()1)=1,可设Gs(k)=(k。).根据式(6)可得det(fa(S)=(f(i)II(f()-(f().77第6 0 卷det(f(S)=II,(-1)IJI.k=iJCGs(k)f(gcd(J U(k)JCGs(k)f(gcd(J U()(6)(-1)IJI(7)此外，我们还有以下结果。定理1.3存在正整数a,b且alb,fEDsi=1,2)及GCD封闭集S:，且maxres,（|G s,（)1)=2,使得det(fa(Si)det(f(St),det(fa(Si)detf(Si),det(faS,)det(fS,).2预备知识引 理 2.19 若f是乘法函数，S是GCD封闭集，则det(fSJ)=II(f(r)s.()其中s:()=dtt,k引 理 2.2 11 设S是GCD封闭集,s.f(k）)如式(2)所定义.则s.r(a)=,(-1)(gd(J U(ae)JCGs(k)(5)引理2.3设S是GCD封闭集，f是算术函数.则k=2因为f是乘法函数,所以当（u,）=1时有 f(uo）=f(u)f(),从而fa(uv)=(f(uv)=(f(u)f(v)=(f(u)a(f()a=fa(u)fa(v).这说明 亦为乘法函数由式(7)可得det(faS)=（f(i)a:k=2又由矩阵（f（S)和（fS)均是非奇异的可知det(f(S)0,det(faS)0.计算可得det(f(S)(3)det(fa(S)k=1(f(i)IIk=2(f(a)a-(f(ck。)a*)(d)（4)051006-3(f(k)-(f(k)bdet(Sl)=(-1)-(f(a1).det(fa(S)1().R（f(a k)a-(f(。)ak2及det(fS)det(fS)(8)(9)(f()If(akk=2第6 0 卷(f(k)-(f(k)(f()-(f(ck。)a由引理2.4知f(）,f(）EZ.由fEDs知z.义alb.有(f(ck)-(f(ck)(f()-(f(at,)结合式(8)(10)得det(f(S)EZ,det(fa(S)det(fSl)det(fa(S)det(fS)det(faS)即det(fa(S)|det(f(S),det(fa(S)I det(fS),det(faS)|det(fS).定理得证.定理1.3的证明因若当函数J。=s a*，从而有。EDs.另外,有(s(S)=(S),($SJ)=Sa.取a=1,b=2(mod 4).设整数n4，Si=(i,c),其中=hk-1,1kn-3,n-2=2h-4,au-1=7h-4,=28h-4,且h=2,3（m o d 5).由最大型因子集的定义知maxres,(IGs,()1)=2.当 2 kn-3时,有Gs,(k)=(h-2),Gs(n-2)=(h-4),Gs,(cn)=(2h-4,7h-4),且（2 h-4,7h-4）=h -4由式(6)可计算得det(Si)=23 3 X5h mdet(St)=(2-1)(7b-1)(28-2b-7+1)由式(7)可计算得detS=(-1)n-4 2 7b 28(2h-1):(7b-1)(28b-4-14+1)ha由b=2(mod 4)可推出7 b=4（m o d 5)，2 8=4(mod5),2b-10(mod5)，7 b-1=2 h-10(mod 5),以及28-2b-7b+1=36-226+1=32-2 22+1=2(mod 5),286-4h-14+1=3b-24+1=四川大学学报（自然科学版）(10)h=2,3（m o d 5）意味着h是模5的原根，即h4=1(mod 5).因此hb-1=h-1=3(mod 5）或=h3-1=2(或 1)(mod 5).因而5det（Si），5d e t Si结合式（11）EZ.(13)得det(Si)det(Si),det(Si)detSi.取a=1，b=2(m o d 10).设整数n4，S=(ai,),其中EZ,=hk-1,1 S)均是非奇异的.(17)由定理1.1可知det(aa(S)|det(a*(S),det(aa(S)/det(aS),2h-1.4-12-14a-11111(-1)a1(-1)a(-1)a1(-1)a1第6 0 卷1(-1)(-1)1(-1)1(1)1(-1)111det(aaS)/det(aS).事实上，直接计算可得(18)det(a(S)=det(aSJ)=-16,det(a(S)=det(SJ)=-(-1)-1)4.因而det(a(S)det(aa(S)det(aS)det(aaS)因此，(20)det(aa(S)|det(a(S),det(aa(S)/det(aS),det(aaS)I det(S).参考文献：1Smith H J S.On the value of a certain arithmeticaldeterminant J.Proc London Math Soc,1875-1876,7:208.2Apostol T M.Arithmetical properties of generalizedRamanujan sums J.Pa c i f i c J M a t h，197 2,41:281.3Bourque K,Ligh S.On GCD and LCM matricesJ.Linear Algebra Appl,1992,174:65.4Bourque K,Ligh S.Matrices associated with clas-ses of arithmetical functions JJ.J Number Theory,1993,45:367.5Bourque K,Ligh S.Matrices associated with arith-metical functions J.Linear Multilinear Algebra,1993,34:261.6Chen L,Feng Y L,Hong S F,et al.On the divisi-bility of matrices associated with multiplicative func-1tions JJ.Publ Math Debrecen,2022,100:323.7Chen L,Hong S F.Divisibility among determinants1of power matrices associated with integer-valued ar-1111051006-51det(aSI)det(aa(S)(-1)-1)2ithmetical functions J.A I M S M a t h，2 0 2 0,5:1946.1111EZ.第6 0 卷8Hong S F.On Bourque-Ligh conjecture of leastcommon multiple matrices J.J Algebra,1999,218:216.9Hong S F.Gcd-closed sets and determinants of ma-trices associated with arithmetical functions J.Acta Arith,2002,101:321.10Hong S F.Factorization of matrices associated withclasses of arithmetical functions J.Colloq Math,2003,98:113.11Hong S F.Non-singularity of matrices associatedwith classes of arithmetical functions J.J Alge-bra,2004,281:1.12Tan Q R,Lin Z B.Divisibility of determinants ofpower GCD matrices and power LCM matrices on fi-四川大学学报（自然科学版）13 Zhao J R,Chen L,Hong S F.Gcd-closed sets anddivisibility of Smith matrices JJ.J Comb TheorySerA,2022,188:105581.14Zhu G Y,Li M,Tan Q R.Divisibility among deter-minants of power matrices on gcd-closed sets J.JSichuan Univ:Nat Sci Ed,2021,58:061005.15 2Zhu G Y.On the divisibility among power GCD andpower LCM matrices on gcd-closed sets JJ.Int JNumber Theory,2022,18:1397.16Zhu G Y,Li M.On the divisibility among powerLCM matrices on gcd-closed sets JJ.Bull AustMath Soc,2023,107:31.第5期nitely many quasi-coprime divisor chains J.ApplMath Comput,2010,217:3910.引用本文格式：中文：朱光艳，强诗瑷，林宗兵。GCD封闭集上幂矩阵行列式的整除性J四川大学学报：自然科学版，2 0 2 3，60:051006.英 文:Zhu G Y,Qiang S Y,Lin ZB.Divisibility among determinants of power matrices on gcd-closed set JJ.J Si-chuan Univ:Nat Sci Ed,2023,60:051006.051006-6