抛物线及其标准方程00.doc

抛物线及其标准方程（一）教案
保康县职业高中 刘晓勇
授课班级：07级机电（一）班
授课时间：2008年12月11日
使用教材：湖北省中等职业学校教材（试用）数学（上册）

教学内容：抛物线及其标准方程（一）
教学目标：
㈠ 教学知识点
1、理解并掌握抛物线的定义
2、掌握抛物线的四种标准方程形式及其相应的焦点和准线
3、掌握根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程
㈡ 能力训练
1、培养学生类比思想，数形结合，分类讨论的思想
2、培养学生善于归纳，善于总结的能力
授课类型：新授课
教学重点：
1、物线的定义、焦点和准线的求法
2、抛物线的四种标准方程形式以及p的几何意义
教学难点：用坐标法求出抛物线的标准方程
教学关键：抛物线标准方程中一次项系数的正负与抛物线的开口方向的关系
教学方法：启发引导式 讲练结合
教具：几何画板
教学过程：
一、复习回顾，提出问题
1、平面内一个动点到一个定点的距离等于定长的动点运动的轨迹是圆；
2、平面内一个动点到两个定点的距离之和等于定长的动点运动的轨迹是椭圆；
3、平面内一个动点到两个定点的距离之差等于定长的动点运动的轨迹是双曲线。
问题：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离相等的动点运动的轨迹是什么？
【设计意图】在教学的开始，提出学生已有的认知，并以此问题为出发点，创设问题情境，激发学生的求知欲。
二、动画演示，探究问题
（几何画板动画演示，通过对动点的跟踪猜测轨迹曲线）
把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F．用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线。
（1）让学生观察演示过程中，笔尖P在运动过程中满足什么几何条件？
（2）笔尖P的运动轨迹是否为椭圆或一支双曲线为什么？
通过学生对（1）（2）问题的讨论、归纳得出：
A：笔尖P在运动过程中，满足的几何条件是到定点的距离和它到定直线l的距离相等；
B：笔尖P的轨迹既不是椭圆也不是双曲线，因为它不符合其定义，它是本节课所要研究过的内容——抛物线（板书课题）。
【设计意图】通过动画演示，以活动形式设计情景，激发学生的兴趣，使学生观察、发现和认识抛物线，对抛物线有一个较为深刻的认识，为下面进行标准方程探求营造良好的氛围，同时考查培养学生对活动所反映的数学实质的观察与概括总结能力，培养学生相互合作的意识和探索的精神。
三、师生协作，获得新知
1、从图中可以看出，抛物线是一个动点M到一个定点F与它到一条定直线l的距离相等的动点运动的轨迹．（板书抛物线的定义）
平面内一个动点M到一个定点F与一条定直线l的距离相等的动点运动的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点。直线l叫做抛物线的准线。
2、下面我们根据抛物线的定义来求其方程：
（1）回顾求曲线方程一般步骤；
（2）设定点F到定直线l 的距离为p（p＞0）, 如何建立坐标系,求出点M的轨迹方程最简洁?(让学生大胆发言、大胆尝试)
可能的结果有：
A：以过焦点Ｆ且垂直于准线ｌ的直线为ｘ轴，以焦点Ｆ为坐标原点建立平面直角坐标系；
B：以ｘ轴与准线ｌ的交点Ｋ为坐标原点建立坐标；
C：以抛物线与ｘ轴的交点为坐标原点建立坐标系，等等学生所有想到的可能。
根据学生想到的可能，适当的分组，分别求出每种建系条件下的抛物线方程，展示学生的成果ｙ2=2px+ｐ2或ｙ2=2px-ｐ2或ｙ2=2px(ｐ>0)
师生共同点评，然后比较得出最佳建系方法和标准方程。
以过F且垂直于直线l的直线为x轴，x轴与l交于Ｋ，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系（如图所示）。设F到l的距离为p（p>0），则定点F( ,0)， l的方程为x＝－ ，设动点M（x,y）是抛物线上任意一点。
由抛物线的定义得：
化简得：y2=2px （p>0）.
反之，可以证明，如果动点M（x，y）的坐标满足上述方程，那么动点M一定在抛物线上，因此我们把这个方程叫做抛物线的标准方程。它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是 ，它的准线方程是 。其中p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离。（教师作简要说明）
3、一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同。有如下四种不同的情况：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程

讨论四种位置上的抛物线标准方程，师生协作，观察、归纳，寻找异同,得出结论，教师作强调：① p的几何意义；
② 标准方程的特点：一边是二次项，一边是一次项，注意一次项系数的正负决定了抛物线的开口方向。
【设计意图】此环节旨在鼓励学生大胆探索，发散学生思维，既突出了重点又突破了难点，通过建立不同的坐标系，对比所得方程的异同，使学生认识到恰当建立坐标系的重要性。同时引导学生推出抛物线的标准方程，让大家共享结果，使每个学生都有成就感。
四、讲解例题，学以致用
例1、已知抛物线的标准方程为y2=20x，求该抛物线的焦点坐标和准线方程。
解：由抛物线的标准方程可知焦点在x轴的正半轴上，由于2p=20，即p=10，所以该抛物线的焦点坐标为（5，0），准线方程为x=-5。
例2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（4，0） （2）准线方程是y=
解：（1）由题意可知，所求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，又=4，即p=8，故所求抛物线的标准方程为有y2=16x；
（2）由题意可知，所求抛物线的焦点在y轴的正半轴上，又-=，即p=，故所求抛物线的标准方程为有x2=y。
例3、已知抛物线的焦点到准线的距离为5，试写出抛物线的标准方程。
解：由题意可知，p=5，
⑴若焦点在x轴的正半轴上，则所求抛物线的标准方程为有y2=10x；
⑵若焦点在x轴的负半轴上，则所求抛物线的标准方程为有y2=-10x；
⑶若焦点在y轴的正半轴上，则所求抛物线的标准方程为有x2=10y；
⑷若焦点在y轴的负半轴上，则所求抛物线的标准方程为有x2=-10y。
【设计意图】1.已知标准方程，能求出它的焦点坐标和准线方程； 2.掌握用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：（1）确定抛物线的形式（焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论）；（2）求p值；（3）写抛物线方程。让学生熟练应用所学知识。
五、巩固练习，强化所学
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
①x2+8y=0 ②2y2+5x=0 ③y=4x2
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程
①焦点是F(0,3) ②准线方程x= -4
③焦点到准线的距离是2
【设计意图】通过练习进一步巩固所学知识,培养和提升学生的认知水平。
六、归纳小结，反思提高
1、抛物线的定义；
2、抛物线的四种标准方程及其对应的焦点坐标，准线方程；
3、标准方程中p的意义为焦点到准线的距离；
4、注重数形结合和分类讨论的解题方法及用坐标法求曲线方程的方法。
七、作业布置： P234 T1、2⑴⑵⑶
八、板书设计：
抛物线及其标准方程

抛物线的定义： 标准方程的推导 例题

抛物线的标准方程： 练习1 练习2
九、教学反思：
抛物线是圆锥曲线重要组成部分。课本对它的介绍篇幅不长，这并不是说抛物线不重要，主要是考虑到学生对椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟知了，这里精简的介绍学生完全可以接受。
本节课主要掌握抛物线的定义及四种标准方程，目标定位上体现出能力训练等方面的要求。具体的说，就是通过抛物线概念形成教学，让学生模拟科学探索的历程，领会探索发现的科学方法，体验探索过程的快乐和艰辛，唤起学生的学习主动性，激发他们的求知欲。在四种标准方程的教学中，让学生学会类比、归纳、整合、辨析等能力的尝试。教学方法主要采用实验探索法、图表法。在得到四种标准方程后，自然要提出如何区别它们的要求。为了培养学生处理问题的能力，概括分析，归纳综合的能力。并不是直接呈现判别的方法，而是把问题原原本本直接抛给学生，让他们从分析抛物线如何定位开始，归纳出对称轴、开口方向两个标志，经过学生的分析思考，归纳整合能力加强了，真正落实了本节课的教学目标。