1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分换元法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间联系微积分基本公式，利用这个公式计算定积分关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分两种基本办法，假如能把这两种办法直接应用到定积分计算，相信定能使得定积分计算简化，下面我们就来建立定积分换元积分公式和分部积分公式。,第1页,第1页,先来看一个例子,例1,换元求不定积分,令,则,故,第2页,第2页,为去掉根号,令,则,当,x,从0连续地增长到4时，,t,相应地从1连续地增长到3,于是,尝试一下直接换元求定积分,第3页,第3页,将上例普通化就得到定
2、积分换元积分公式,由此可见，定积分也能够象不定积分一样进行换元，所不同是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量上、下限即可计算出定积分，而无须回代原积分变量,第4页,第4页,一、换元公式,第5页,第5页,证,第6页,第6页,第7页,第7页,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,第8页,第8页,计算,解1,由定积分几何意义,等于圆周第一象限部分面积,解2,故,o,例2,第9页,第9页,令,解4,令,仍可得到上述结果,解3,第10页,第10页,解,令,例3,计算,第11页,第11页,定积分换元积分公式也能够反过来使用,为以便计,将换元公式左、右两边对调,同时把,x
3、,换成,t,，,t,换成,x,这阐明可用,引入新变量,但须注意如明确引入新变量，则必须换限,如没有明确引入新变量，而只是把,整体视为新变量，则不必换限,注,第12页,第12页,例4,计算,解,第13页,第13页,例5,计算,解,原式,第14页,第14页,例6,计算,解一,令,原式,第15页,第15页,解二,接解一,对,令,则,第16页,第16页,证,第17页,第17页,即：奇函数在对称区间上积分等于0,偶函数在对称区间上积分等于对称,部分区间上积分两倍,由定积分几何意义，这个结论也是比较明显,第18页,第18页,例8,计算,解,原式,偶函数,奇函数,四分之一单位圆面积,第19页,第19页,第2
4、0页,第20页,（1）设,（2）设,证,第21页,第21页,第22页,第22页,另证,将上式改写为,奇函数,第23页,第23页,例10 设,f,(,x,)是以L为周期连续函数，证实,证实,与,a,值无关,第24页,第24页,例11 设,f,(,x,)连续，常数,a,0 证实,证实,比较等式两边被积函数知，,第25页,第25页,第26页,第26页,例12 设,f,(,x,)连续,解,第27页,第27页,第28页,第28页,第29页,第29页,定积分换元法,几种特殊积分、定积分几种等式,二、小结,第30页,第30页,思考题,解,令,第31页,第31页,思考题解答,计算中第二步是错误.,正确解法是,第32页,第32页,练 习 题,第33页,第33页,第34页,第34页,第35页,第35页,第36页,第36页,练习题答案,第37页,第37页,
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