实验三积分公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

试验三 积分第1页第1页二.学习Matlab命令sum、symsum(求和)1.求和命令sum调用格式：当x为向量时，sum(x)表示向量x各个元素累加和 例1.x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;sum(x)ans=55 当x为矩阵时，则sum(x)是x每列和。例2.x=1,2,3;4,5,6;7,8,9 sum(x)ans=12 15 18第2页第2页 2.求和命令symsum调用格式 调用格式symsum(s,1,n)调用格式symsum(s,k,m,n)调用格式symsum(s(k),1,n)调用格式symsum(s(k),k,m,n)第3页第3页例5.求 解：syms k;symsum(2*k+1,k,1,10)例6.求 解：syms k n;y=symsum(k2,k,1,n)t=factor(y)%factor函数用于对y因式分解 pretty(t)%将式子t化为习惯数学书写方式第4页第4页三.定积分概念1.定积分思想：分割、取近似、求和、取极限分割：设闭区间a,b上有n+1个点，记做 把a,b分成n个小区间 这些小区间构成对a,b一个分割，记为小区间长度为 ，其中 称为分割模。求和：设f是定义在a,b上一个函数，对于a,b一个分割 ，任取点 作和式 ，称此和式为函数f在a,b上一个积分和。第5页第5页 取极限：若 存在，把此极限称为f在a,b上定积分，记做2.定积分几何意义：计算曲边梯形面积3.判断定积分是否可积充要条件达布上和与达布下和第6页第6页 设 为对a,b任一分割，由f在a,b上有界，它在每个 上存在上、下确界，记 作和 分别称为f关于分割T 达布上和与达布下和，显然第7页第7页 可积准则：函数f在a,b上可积充要条件是：4.可积函数类若函数f为a,b上连续函数，则f在a,b上可积。若函数f是a,b上只有有限个间断点有界函数，则f在a,b上可积。若f是a,b上单调函数，则f在a,b上可积。第8页第8页第9页第9页下面计算s1和s2，输入命令：x=linspace(0,1,21);%包括0，1，共21个点，20个区间y=exp(x);y1=y(1:20);%取区间左端点，计算函数值，形成小矩形s1=sum(y1)/20%各个小矩形面积和运营结果：s1=1.6725x=linspace(0,1,21);%包括0，1，共21个点，20个区间y=exp(x);y2=y(2:21);%取区间右端点，计算函数值，形成小矩形s2=sum(y2)/20%各个小矩形面积和运营结果：s2=1.7616第10页第10页 （二）同样办法将区间0,1等分成50个小区间，计算达布下和s1和达布上和s2，能够计算s1=1.7012,s2=1.7355.能够看出伴随分点逐步增长时，s2-s1值越来越小。（三）将区间0,1等分成n个小区间，取极限 （取每个子区间右端点），下面用Matlab求此极限,输入命令 syms i n;s=symsum(exp(i/n)/n,i,1,n);limit(s,n,inf)结果：ans=exp(1)-1 第11页第11页 通过绘图观测伴随分点逐步增长，达布上和与达布下和之间差越来越小，越来越靠近曲边梯形面积。在同一窗口中绘制将区间0,1等分成20个小区间和等分成50个小区间时小矩形图形。subplot(2,2,1);%第一个图形x=linspace(0,1,21);%将区间0,1等分成20个小区间y=exp(x);plot(x,y,r)hold onfor i=1:20fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i),y(i),0,b)%取每个区间左端点,绘制小矩形end注:fill函数作用是将资料点视为多边形顶点,并将此多边形涂上颜色第12页第12页 subplot(2,2,2);%绘制第二个图形for i=1:20fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i+1),y(i+1),0,b)hold onendplot(x,y,r)subplot(2,2,3);%绘制第三个图形x=linspace(0,1,51);%将区间0,1等分成50个小区间y=exp(x);plot(x,y,r)hold onfor i=1:50fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i),y(i),0,b)%取每个区间右端点,绘制小矩形end第13页第13页subplot(2,2,4);%绘制第三个图形for i=1:50 fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i+1),y(i+1),0,b)hold onendplot(x,y,g)第14页第14页第15页第15页四.用Matlab求积分1.求定积分求 调用格式 syms x;int(函数f(x),a,b)例1.求 解：syms x;int(exp(x),0,1)结果：ans=exp(1)-1第16页第16页例2：求 解：输入命令：syms x;syms t;y=int(cos(x)2,x,2,t)z=simple(y)%搜索符号表示式最简形式 pretty(z)%转化为习惯数学书写方式第17页第17页2.求广义积分例3：判断广义积分 敛散性，收敛时计算积分值。解：输入命令：syms x;int(1/sqrt(2*pi)*exp(-x2/2),-inf,inf)int(1/(1-x)2,0,2)第18页第18页3.重积分计算 用Matlab计算二重积分或三重积分时，必须将二重积分或三重积分化为相应二次积分或三次积分，再用Matlab求解。例4：求二次积分 解：输入命令：syms x;syms y;int(int(x*y,y,2*x,x2+1),x,0,1)结果：ans=1/2第19页第19页例5：计算 ，期中 分析：解：输入命令 syms x;syms y;int(int(x+y)2,y,0,1),x,0,1)结果：ans=7/6 第20页第20页 在直角坐标系下难以计算重积分能够化为极坐标计算，比如下题。例6：求 分析：若采用直角坐标系求解，积分区域：将二重积分化为二次积分 输入命令：syms x;syms y;int(int(sin(pi*(x2+y2),y,-sqrt(1-x2),sqrt(1-x2),x,-1,1)第21页第21页其结果中仍带有sum函数，表示用直角坐标系求不出这一结果，因此采用极坐标来做二重积分化为二次积分为解：输入命令：syms r;syms a;int(int(r*sin(pi*r2),r,0,1),a,0,2*pi)结果：ans=2第22页第22页4.曲线积分第一型曲线积分（对弧长曲线积分）用Matlab计算第一型曲线积分时，需要将其化为定积分，分下面两种情况：a.设有光滑曲线函数f(x,y)为定义在L上连续函数，则 b.当曲线L由方程 表示，且 在a,b上有连续导函数时，则第23页第23页例7：求曲线积分 ，其中L为曲线 在第一象限内一段。分析：曲线参数方程 曲线积分可化为 解：输入命令：syms t;int(cos(t)*sin(t),o,pi/2)结果：ans=1/2第24页第24页