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基础物理中数学办法基础物理中数学办法第一章第一章 初等函数极限和微分初等函数极限和微分1.1 初等函数初等函数数理难以分家，是一棵苗上两瓣叶片。数理难以分家，是一棵苗上两瓣叶片。数学课不但仅是工具课，是科学思维训练。数学课不但仅是工具课，是科学思维训练。学习物理需要数学工具，此处只处理工具问题。学习物理需要数学工具，此处只处理工具问题。王竹溪、彭桓武、林家翘榜样。王竹溪、彭桓武、林家翘榜样。第第1页页第第1页页1.1.1 函数概念函数概念在物理过程中，一些物理量之间有由物在物理过程中，一些物理量之间有由物理规律决定关系理规律决定关系-函数。函数。比如：自由落体比如：自由落体 高度随时间改变高度随时间改变 自自变变量量t，因变量因变量h时间随高度改变时间随高度改变 自自变变量量h，因变量因变量t多个自变量函数叫做多个自变量函数叫做多元函数多元函数，例例一元函数一元函数自变量为实数函数叫自变量为实数函数叫实变函数实变函数；为复数函数叫；为复数函数叫复变函数复变函数。第第2页页第第2页页1.1.2 惯用初等函数惯用初等函数（1）幂幂函数函数（a，n为为常数）常数）n 可为正、负、整、分数；可为正、负、整、分数；普通形式是多普通形式是多项项式，上式只式，上式只给给出其中一出其中一项项函数式，函数式，幂幂函数一个特殊形式是函数一个特殊形式是n=0情况，即情况，即（常数）（常数）比如：交流比如：交流电电压为电电压为 在在x轴轴上以原点上以原点为为中心中心简谐简谐振振动为动为 （2）三角函数和反三角函数）三角函数和反三角函数（3）以）以e为为底指数函数和底指数函数和对对数函数数函数 ，这些函数，以及其通过有限次这些函数，以及其通过有限次四则运算与复合环节所构成函四则运算与复合环节所构成函数，统称为数，统称为初等函数初等函数。第第3页页第第3页页1.1.3 欧拉恒等式欧拉恒等式借助复数来简化运算过程借助复数来简化运算过程，（常数）（常数）复数复数z能够用两个实数能够用两个实数a和和b来表示来表示z共共轭轭复数复数记记作作z*在平面直角坐标系中，又可表示为在平面直角坐标系中，又可表示为：复数模：复数模：辐辐角角 Z与与z*模相等，辐角符号相反。模相等，辐角符号相反。第第4页页第第4页页是模是模为为1复数。高等数学能复数。高等数学能够证实够证实这这就是就是欧拉恒等式欧拉恒等式。由上两式解得。由上两式解得欧拉恒等式另一个表示式。欧拉恒等式另一个表示式。欧拉恒等式把指数函数和三角函数联系起来，欧拉恒等式把指数函数和三角函数联系起来，使三角函数运算简化。使三角函数运算简化。第第5页页第第5页页解解 对对 两两边边同同时时作立方运算得作立方运算得将上式指数函数用三角函数表示，并展开两将上式指数函数用三角函数表示，并展开两边边得得依据复数运算依据复数运算规则规则，两复数相等必是，两复数相等必是实实部和虚部分部和虚部分别别相等，相等，故有故有例例2 三角函数三角函数 试变换为试变换为三角函数和差形式。三角函数和差形式。再将上式右再将上式右边边指数用三角函数表示得指数用三角函数表示得解解 将三角函数用指数表示得将三角函数用指数表示得例例1 导出正弦和余弦函数三倍角公式。导出正弦和余弦函数三倍角公式。第第6页页第第6页页欧拉公式欧拉公式实质实质是揭示三角函数和指数函数关系，也是揭示三角函数和指数函数关系，也阐阐明两种函数明两种函数有相同运算有相同运算规则规则。由此想到，可依照欧拉公式定。由此想到，可依照欧拉公式定义义一套广一套广义义三角三角函数，叫做双曲函数。双曲正弦和双曲余弦函数定函数，叫做双曲函数。双曲正弦和双曲余弦函数定义义是是此式与三角函数基本公式此式与三角函数基本公式事事实实上，若以上，若以 jx 代替定代替定义义式中式中 x 即得即得 1.1.4 双曲函数双曲函数由双曲函数定义式知由双曲函数定义式知 相同，相同，还能够证实还能够证实三角函数，也三角函数，也可视为双曲函可视为双曲函数特例数特例 第第7页页第第7页页1.2 极限极限1.2.1 直观极限概念和无穷小量直观极限概念和无穷小量极限是主要基本概念。由简朴物理过程，得到一些直观印象。极限是主要基本概念。由简朴物理过程，得到一些直观印象。考考虑虑一个交流一个交流电电路和波路和波动动中中惯惯用函数用函数在在x=0时时，分子和分母都是零，分子和分母都是零，这这分式没有直分式没有直观观意意义义了。但能了。但能够够研究研究x由正由正值值和和负值负值向零无限向零无限趋趋近近时时，函数特点。，函数特点。作二分之一径作二分之一径为为1单单位位圆圆（图图1.2.1），），x是是圆圆心角，心角，因因因此因此 第第8页页第第8页页因在因在附近，附近，符号相同，符号相同，得得或或将上述不等式除以将上述不等式除以上式上式阐阐明明 y 在在 x 趋趋于于 0 过过程中保持小于程中保持小于 1,但又不小于但又不小于 cosx但在但在x无限无限趋趋于于零零时时，cosx无限趋近于无限趋近于1，故，故y必趋于必趋于1，记为记为在在 x 趋趋近于近于零零时时 sinx 随之随之趋趋于于零零。在。在这这种情况下种情况下x 和和 sinx是是绝对值绝对值很小很小变变量，因而上面量，因而上面给给出分式也是故意出分式也是故意义义。这类变量特点是：它绝对值小于任何给定正数，叫做这类变量特点是：它绝对值小于任何给定正数，叫做无穷小无穷小量量.第第9页页第第9页页在自变量在自变量 x 与某一指定值与某一指定值 a 差为无穷小量时，函数差为无穷小量时，函数f(x)与数与数 A 差也为无穷小量，则差也为无穷小量，则A是在是在x趋于趋于a时极限，记时极限，记为为无穷小量就是以无穷小量就是以0为极限变量为极限变量无穷小量两个性质：无穷小量两个性质：（1）有限个无穷小量和是无穷小量；）有限个无穷小量和是无穷小量；（2）有界量与无穷小量积是无穷小量。）有界量与无穷小量积是无穷小量。第第10页页第第10页页有些初等函数求极限运算，可依据对函数理解和直观判断得到。有些初等函数求极限运算，可依据对函数理解和直观判断得到。比如比如1.2.2 极限运算规则极限运算规则一些较复杂情况，还须依据规则进行运算。惯用运算规则是：一些较复杂情况，还须依据规则进行运算。惯用运算规则是：，1.一个有极限函数与常数积极限，等于该函数极限与一个有极限函数与常数积极限，等于该函数极限与常数之积。常数之积。如若如若a为常数，则为常数，则2.有限个有极限函数积（商）极限，有限个有极限函数积（商）极限，等于它们极限积（商）。等于它们极限积（商）。第第11页页第第11页页例例1 求求解解 由和差化由和差化积积公式得公式得变为变为求两个极限求两个极限积积。在上式中，第一个函数极限已。在上式中，第一个函数极限已给给出，出，故有故有3.有限个有极限函数和（差）极限等于它们极限和（差）有限个有极限函数和（差）极限等于它们极限和（差）。第第12页页第第12页页例例2 求求解解:利用二利用二项项式公式得式公式得例例3 求求解：解：在上面两例中在上面两例中x也是一个独立也是一个独立变变量。但在求极限量。但在求极限过过程中，只是程中，只是作作趋趋于零改于零改变变。因此，在作。因此，在作这这种运算种运算时时，x是是视为视为不不变变。第第13页页第第13页页以上例以上例题题，都求两个无，都求两个无穷穷小量比小量比值值极限。极限。这这种极限能种极限能够够理解理解为为两两个无个无穷穷小量大小比。小量大小比。假如两个无假如两个无穷穷小量之比是不小量之比是不为为0有界量，有界量，则则这这两个无两个无穷穷小量是同小量是同阶阶无无穷穷小量。小量。sinx与与x是同是同阶阶无无穷穷小量。且因小量。且因这这两个无两个无穷穷小量小量1.2.3 无穷小量比较无穷小量比较比如在比如在比值极限是比值极限是1，可理解为在，可理解为在x趋于零时趋于零时sinx与与x趋于相等趋于相等。在例在例2中，涉及三个无穷小量和，即：中，涉及三个无穷小量和，即：第一第一项项与与（无（无穷穷小量）之比小量）之比为为有界量，它是与有界量，它是与同同阶阶无无穷穷小量。小量。一阶无穷小量一阶无穷小量第二第二项项与与之比之比为为，这这比比值值是以是以0为为极限无极限无穷穷小量。小量。能能够认为够认为，当与，当与相比相比较时较时，相相对值对值是无是无穷穷小量。小量。高高阶阶无无穷穷小量。小量。第第14页页第第14页页1.2.4 无穷大量无穷大量 前面所说函数有极限，是指函数趋向一个拟定有界量。若前面所说函数有极限，是指函数趋向一个拟定有界量。若当自变量趋近一个指定值时，函数绝对值不小于任意给定当自变量趋近一个指定值时，函数绝对值不小于任意给定正数正数N，则这个变量（函数）叫做则这个变量（函数）叫做无穷大量无穷大量或者说它或者说它趋于趋于无穷大无穷大。左极限和右极限左极限和右极限 无穷大量与无穷小量互为倒数，也可用无穷大量与无穷小量互为倒数，也可用“阶次阶次”来描述它大小。来描述它大小。无穷小量倒数是同阶无穷大量；反之，无穷大量倒数是同阶无穷小量倒数是同阶无穷大量；反之，无穷大量倒数是同阶无穷小量。无穷小量。第第15页页第第15页页1.3 微商与微分微商与微分1.3.1 微商概念微商概念微商是从大量微商是从大量实际问题为实际问题为背景提背景提炼炼出来一个函数运算极限，它出来一个函数运算极限，它与物理学与物理学许许多基本多基本规规律和基本物理量定律和基本物理量定义义有密切关系。以有密切关系。以质质点点运运动动学学为为例，若一例，若一质质点点m在在竖竖直直Y轴轴上作非匀速运上作非匀速运动动,它位置坐它位置坐标标y是是时间时间t函数，能函数，能够够表示表示为为作竖直抛体运动时作竖直抛体运动时若要若要问问时时刻刻质质点速度是多少，只知道点速度是多少，只知道时时刻坐刻坐标标时时刻附近刻附近时时刻刻是不够，还必须知道在是不够，还必须知道在时间时间内，内，质质点点经历经历距离是距离是位置坐标位置坐标第第16页页第第16页页和和之比可之比可认为认为是表示在是表示在这这段段时间时间内平均速度，内平均速度，记为记为与与大小和符号相关大小和符号相关 瞬瞬时时速度速度是是时时极限：极限：给给定一个函数定一个函数，若与自，若与自变变量在量在点改点改变变量量相相相相应应，函数，函数值值改改变变量量为为，则则当当，比，比值值极限就叫做极限就叫做这这个函数在个函数在给给定点定点x微商，微商，记为记为或或即第第17页页第第17页页求微商运算叫做微分运算。求微商运算叫做微分运算。叫原函数；叫原函数；在数学上，把在数学上，把叫做导函数，简称导数叫做导函数，简称导数惯用初等函数导数公式有惯用初等函数导数公式有 （n为常数）（c为常数）第第18页页第第18页页1.3.2 微商几何意义微商几何意义即：微商即：微商是曲是曲线线在自在自变变量量为为x处处切切线线斜率。斜率。第第19页页第第19页页抛物线方程为抛物线方程为 在自在自变变量量为为处处切切线线斜率斜率为为 dx叫做自变量微分，叫做自变量微分，dy叫做函数微分。叫做函数微分。在引进微分概念后，可用符号在引进微分概念后，可用符号dy/dx表示微商，这个符号表示微商，这个符号也可简写为也可简写为“Dy”，“D”叫做微分算符，即：叫做微分算符，即：第第20页页第第20页页1.3.3 微分运算基本规则微分运算基本规则（1）复合函数微分运算）复合函数微分运算复合函数普通形式可表示复合函数普通形式可表示为为，定定义义中中间变间变量量 有函数有函数 则有则有 y可可视为视为以以或者或者说说原函数是原函数是幂幂函数和正弦函数函数和正弦函数组组合合-复合函数复合函数。为自变量幂函数，为自变量幂函数，复合函数微商等于它对中间变量复合函数微商等于它对中间变量微商与中间变量对自变量微商积。微商与中间变量对自变量微商积。第第21页页第第21页页例例1 求函数求函数解解 :令令，则则微分微分例例2 求函数求函数微分（微分（a为为常数）常数）解：令解：令，则则第第22页页第第22页页（2）线性组合函数微分运算）线性组合函数微分运算设设为为有限个常数，有限个常数，则则例例3 求函数求函数解解 按运算按运算规则规则逐逐项项作微分运算得作微分运算得微商。微商。例例4 求函数求函数解解 这这是两是两项项复合函数复合函数组组合。第一合。第一项项中中间变间变量量为为第二第二项项中中间变间变量量为为按按组组合函数和复合函数运算合函数和复合函数运算规则规则得得对对x微商。微商。第第23页页第第23页页（3）函数积微分运算）函数积微分运算若若则则证证：设设自自变变量改量改变变量量为为，因，因变变量改量改变变量量为为，有，有则则因此因此第第24页页第第24页页例例5 求函数求函数解解 原函数是两个复合函数原函数是两个复合函数积积。按照函数按照函数积积运算运算规则规则及复合函数运算及复合函数运算规则规则得得微商。微商。例例6 求函数求函数解解 原函数是两函数之商，定原函数是两函数之商，定义义中中间变间变量量，则则即即是两个函数之是两个函数之积积。按照运算。按照运算规则规则微商。微商。第第25页页第第25页页